Оптимальность

Для параметра θ может быть предложено

несколько несмещенных оценок. Мерой

D( ).

точности несмещенной оценки считают ее дисперсию

Несмещенная оценка параметра θ называется оптимальной, если она имеет минимальную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра.

112

Нижняя граница дисперсий

Для дисперсии несмещенной оценки

параметра θ выполняется неравенство Рао – Крамера:

D( )

In

In

1
	In
nM				ln fX X ,		2
nM				ln p X , 2
							113

Эффективность

Несмещенная оценка параметра θ называется эффективной, если ее дисперсия равна нижней границе Рао –Крамера:

1

D( ) In

114

Оценка максимального правдоподобия

Оценкой максимального правдоподобия (о.м.п.) неизвестного параметра θ называют значение, при котором функция правдоподобия достигает максимума (как функция от θ при

фиксированных (X1, X2,..., Xn). Это значение параметра зависит от выборки и является искомой оценкой.

115

Метод максимального правдоподобия

Для нахождения максимума функции правдоподобия L можно искать максимум ln L и решать уравнение правдоподобия

(ln L) 0.

116

Метод моментов

Теоретические моменты случайной величины зависят от параметра, а выборочные моменты зависят от элементов выборки. Но выборочные приближенно равны теоретическим. Приравняем их, и получим уравнения, связывающие параметр и элементы выборки. Выразим из них параметр. Полученная функция и называется оценкой метода моментов (о.м.м.).

117

Лекция 15. Интервальное оценивание параметров

Доверительным интервалом уровня значимости α (0< α <1) для параметра θ называется интервал I=[I1, I2], для которого выполняется условие:

P(I1(X) ≤ θ ≤ I2 (X)) = 1 – α.

Число 1 – α называется доверительной вероятностью, а I1(X), I2 (X)

–нижней и верхней доверительными границами.

СФУ Т.В. Крупкина

118

Уровень значимости α

Его обычно берут равным одному из чисел 0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.1. Уровень значимости выражает ошибку доверительного интервала. Чем меньше α, тем больше доверительная вероятность и тем надежнее доверительный интервал, но более надежный интервал является более широким и менее информативным. Стандартный уровень значимости α =0.05. Соответствующий доверительный интервал называется 95% –м.

Схема построения доверительного интервала

Надо взять статистику G(x, θ), такую, что она сама зависит от параметра θ, а ее распределение от θ не зависит, записать уравнение

P(γ1 ≤ G(x, θ) ≤ γ2) = 1 – α,

и разрешить неравенство под знаком вероятности относительно параметра θ.

Доверительный интервал для параметра a распределения N(a, σ)

I

a

x u

,

x u

.

1 / 2

n

1 / 2

n