Лекция 6.

Непрерывные распределения

Случайная величина имеет непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f (x) такая, что для любого x0 R функция распределения представима в виде

x0

F x0 f x dt

При этом функция f (x) называется плотностью распределения случайной величины .

СФУ Т.В. Крупкина

42

Геометрический смысл функции распределения

СФУ Т.В. Крупкина

43

Равномерное распределение R [a, b]

		0,	x a,b
f	x	1
			, x a,b
		b a

	0,				x a
F x	x a			,	a x b
	b a				x b
		1,

СФУ Т.В. Крупкина

44

Нормальное распределение N (a, )

f x a, (x)			1		e			x a 2
								2 2
			2
			1			x			t a 2
F x a, (x)						e			2 2 dt
			2

СФУ Т.В. Крупкина

45

Нормальное распределение N (a, )

Графики нормальных плотностей имеют симметричную, колоколообразную форму.

а – это величина, которая характеризует положение кривой плотности на оси абсцисс.

Изменение приводит к изменению формы кривой плотности, с увеличением кривая делается менее островершинной и более растянутой вдоль оси абсцисс.

СФУ Т.В. Крупкина

46

Кривые плотностей N(a, σ) с различными а и σ

СФУ Т.В. Крупкина

47

Плотность и функция распределения
N(0,1)
		ProbabilityDensityFunction						Probability DistributionFunction
		y=normal(x;0;1)							p=inormal(x;0;1)
0,6							1,0
0,5							0,8
0,4
							0,6
0,3
							0,4
0,2
0,1							0,2
0,0							0,0
-3	-2	-1	0	1	2	3	-3	-2	-1	0	1	2	3

Многомерные СВ

n – мерной случайной величиной называется вектор (ω)=( 1(ω),2(ω), … , n(ω)),

компонентами которого являются одномерные случайные величины.

Функцией распределения n–мерной случайной величины называется функция

F 1, 2,…, n(x1, x2, …, xn)= P( 1 < x1, …, n < xn)

СФУ Т.В. Крупкина

49

Лекция 7.

Числовые характеристики

Математическим ожиданием M сл. вел. с

дискретным распределением, задаваемым законом распределения P( =xi) = pi, называется число

n

M xi pi

i1

Смысл: Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины.

СФУ Т.В. Крупкина

50

Математическое ожидание н.сл.в.

Математическим ожиданием M непрерывно распределенной сл. в. с с плотностью распределения f (x) называется число

M x f x dx.

Математическое ожидание существует, если M|ξ| < ∞.