Свойства функции (x)

x		x
0			1		0.3989
			2
lim	x 0
x

4 0.001

СФУ Т.В. Крупкина

32

Интегральная приближенная формула
Муавра –Лапласа
				x2			x2 x1	,
lim p x1 m np
n		npq
	x	1	x	e	t 2		x
					2 dt t dt
		2

Интегральную приближенную формулу Муавра –

Лапласа	применяют	при
n > 30, 0.1 p 0.9, nрq > 9.		33
	СФУ Т.В. Крупкина

Свойства функции Ф(x)

x x 1

lim x 0

x

lim x 1

x

0 21

3.8 0.99993.8 0.0001

1

2

Лекция 5.

Дискретные случайные величины

Пусть есть случайный эксперимент, ─ пространство элементарных событий.

Определение

Случайной величиной называется функция, отображающая в R.

: R

(То есть = (ω)).

Смысл: случайная величина – это числовая функция, принимающая значения случайным образом.

СФУ Т.В. Крупкина

35

Дискретные распределения

Случайная величина имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счетное число значений.

Значения: a1, a2,…,

Вероятности значений: pi = P( = ai) > 0

pi 1.
i 1 СФУ Т.В. Крупкина	36

Ряд распределения

Если случайная величина имеет дискретное распределение, то рядом распределения

называется соответствие ai pi, которое имеет вид :

a1 a2 a3 … P p1 p2 p3 …

СФУ Т.В. Крупкина

37

Биномиальное распределение B(n, p)

Случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами n и p, где 0 p 1, если принимает значения 0, 1, 2, …n с вероятностями P{ = k} = Cnk pk q n –k.

Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в n испытаниях схемы

Бернулли		с вероятностью успеха			p.
	0	1	…	k	… n
P	qn	npqn –1		Cnk pk qn –k	pn

СФУ Т.В. Крупкина

38

Пример

Распределение вероятностей биномиально распределенной случайной величины для n = 10 и p = 0.2

СФУ Т.В. Крупкина

39

Распределение Пуассона P

Сл. в. имеет распределение Пуассона с параметром , где >0, если принимает значения 0, 1, 2,… с вероятностями

P k k e k!

0	1	…	k	k		…
P e	e	…			e	…
			k!

СФУ Т.В. Крупкина

40

Функция распределения

Определение

Функцией распределения случайной величиныназывается функция F (x),

при каждом x R равная

F (x) = P{ < x}.

СФУ Т.В. Крупкина

41