Получим еще одно ДУ с одной неизвестной функцией: y или z. Исключим z из первых двух ДУ системы (9.1). Вычитая почленно первое ДУ из второго, имеем

	dy			−	dx	= x − y,
	dt				dt
откуда
		dy		+ y =			dx	+ x.	(9.3)
		dt					dt

Проинтегрировав последовательно ДУ (9.2) и (9.3), найдем x и y. Из уравнения (9.2) найдем

x = C e−t +C

2

e2t .

(9.4)

1

Подставляя в (9.3), имеем

dy

+ y = 3C2e2t ,

откуда

dt

y = C3e−t +C2e2t .

Наконец, из

y + z =

dx

, найдем

dt

z =

dx

− y z = (C +C

2

) e−t +C

2

e2t .

dt

1

Ответ:

x= C1e−t +C2e2t ,

y= C3e−t +C2e2t , z = −(C1 +C3 )e−t +C2e2t . ■

10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА

Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами всегда интегрируются в элементарных функциях, поэтому они представляют особый интерес для изучения.

44

Пусть дана однородная линейная система

dy1dx

dy2dx

dyn

dx

= a11 y1 + a12 y2 +... + a1n yn ,
= a21 y1 + a22 y2 +... + a2n yn ,	(10.1)
.......................................

= an1 y1 + an2 y2 +... + ann yn ,

____

____

где aik -

действительные числа,

i = 1, n , k = 1, n .

Будем искать решение системы (10.1) в виде

y

= γ

1

eλx

,

y

2

= γ

2

eλx ,...,

y

n

= γ

n

eλx ,

(10.2)

1

где λ – некоторое число, а числа

γ1, γ2, γ3 ,…,γn

не равны одновременно

нулю.

Подставляя (10.2) в (10.1), сокращая eγx и группируя члены, получим

следующую систему уравнений для нахождения чисел γ1, γ2, γ3 ,…,γn:

(a

−λ)γ

1

+ a

γ

2

+ a

γ

3

+... + a

γ

n

= 0,

11

12

13

1n

a21γ

1 + (a22 −λ)γ

2 + a23γ3 +... + a2nγ n

= 0,

(10.3)

.................................................................

a

γ

+ a

n2

γ

2

+ a

γ

+... + (a

nn

−λ)γ

n

= 0.

n1 1

n3 3

Эта

система

имеет

интересующее

нас

ненулевое

решение

относительно γ1, γ2, γ3 ,…,γn только в том случае, если ее определитель равен нулю, т.е. если λ является корнем уравнения

a11 −λ	a12	a13	...	a1n
a21	a22 −λ	a23	...	a2n
a31	a32	a33 −λ	...	a3n		= 0.	(10.4)
...	...	...	...	...
an1	an2	an3	...	ann −λ

Уравнение (10.4) называется характеристическим, а его корни

характеристическими числами системы (10.1).

Рассмотрим случай, когда все корни λ1 , λ2 , λ3 ,..., λn

характеристического уравнения действительные и различные. В этом случае, подставляя поочередно каждый корень λi (i =1,2,3,..., n) в место λ

в	(10.2),	решая	систему	(10.3),	найдем	значения
γi1,γi2 ,γi3 ,...,γin (i =1,2,3,..., n) , не равные одновременно нулю.

45

Получим n частных решений:
	γ11eλ1x , γ12eλ1x				,..., γ1n eλ1x
	γ21eλ2 x , γ22eλ2 x ,..., γ2n eλ2 x
							(10.5)
....................................
		λn x	, γn2e	λn x	,..., γnn e	λn x	.
γn1e

Беря линейные комбинации решений (10.5) с произвольными постоянными С1,С2,С3,…,Сn , получим общее решение системы (10.1):

y

= C γ

11

eλ1x

+C

γ

12

eλ1x

+C

n

γ

1n

eλ1x ,

1

1

2

eλ2 x

eλ2 x

y

2

= C γ

21

eλ2 x

+C

γ

22

+C

n

γ

2n

,

1

2

..........................................................

y

n

= C γ

n1

eλn x

+C

γ

n2

eλn x

+C

n

γ

nn

eλn x .

1

2

n

Кратко:

yk

= ∑Ciγik eλi x , k(1,2,..., n).

i=1

Пример.

Рассмотрим систему

dx

= x + y,

dt

dy

= −2x + 4 y.

dt

Решение. Найдем решение данной системы в виде

x = γ1 eλt , y = γ 2 eλt .

Составим характеристическое уравнение:

1 −λ

1

= 0,

λ2 −5λ + 6 = 0.

−2 4 −λ

Оно имеет корни λ1 = 2, λ2 = 3.

Построим частное решение, соответствующее корню λ1 = 2. Числа γ1 и γ 2 найдем из системы

−γ1 +γ 2 = 0,			−γ1 +γ 2		= 0,
	+ 2γ 2	= 0.		+γ 2	= 0.
− 2γ1			−γ1

Система сводится к решению одного уравнения:

−γ1 +γ 2 = 0,

следовательно одно из чисел γ1 , γ 2 можно выбрать произвольно.

46

Положив γ1 =1,	получим γ 2				=1.
Имеем частные решения:			x	= e2t	, y	= e2t .
			1		1
Аналогично находим частное решение,
характеристическому числу λ2			= 3 :
			x2 = e3t , y2 = e3t ,
Тогда общее решение имеет вид:
			x = C e2t +C				2		e3t ,
				1
			y = C e2t +C					2	e3t .
				1
Ответ: x = C e2t +C		e3t ,		y = C e2t		+C				e3t .
1	2				1				2

соответствующее

■

47