7.ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y(n) + a1y(n-1) +….. + an-1y′ + any = f(x),

(7.1)

где a1, a2,a3 ….,an-1,an – действительные числа; y = f(x) – данная функция.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
y′′+ a1 y′+ a2 y = f (x)	(7.2)
и соответствующее ему однородное уравнение (ЛОДУ)
y′′+ a1 y′+ a2 y = 0.	(7.3)

Пусть y1 и y2 – фундаментальная система решений уравнения (7.3), тогда

y = С1y1 + С2y2

(7.4)

есть общее решение уравнения (7.3).

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ).

Общее решение неоднородного уравнения (7.2) равно сумме общего решения соответствующего однородного (7.3) и частного решения неоднородного уравнения (7.2):

yон = yоо + yчн .

Доказательство. Так как yоо- общее решение уравнения (7.3), то по определению решения эта функция обращает уравнение (7.3) в верное равенство. Так как учн- частное решение уравнения (7.2), то функция учн

также обращает это уравнение в тождество.				Имеем два тождества:
	′′	′
	уоо	+ a1 yоо + a2 yоо ≡ 0
				- найдем их сумму:
( yчн)′′+ a1( yчн)′+ a2 yчн ≡ f (x)
′′	′′	′	′
( yоо + yчн) + a1( yоо + yчн) + a2 ( yоо + yчн) ≡ f (x) или
( yоо + yчн)′′+ a1( yоо + yчн)′+ a2 ( yоо + yчн) ≡ f (x).
Следовательно,		yон = yоо + yчн является общим решением
уравнения (7.2).	#

7.1. Нахождение частного решения ЛНДУ со специальной правой частью

В том случае, когда правая часть дифференциальных уравнений (7.1) и (7.2) в общем случае имеет вид

f (x) = eαx [Pm (x) cos βx +Qn (x)sin βx],

32

где Pm(x) и	Qn(x) - многочлены переменной x степеней m и n;α, β -
действительные	числа,	используется	метод	неопределенных
коэффициентов (или метод подбора).
Частное решение yчн		дифференциального уравнения (7.2) зависит в

каждом конкретном случае от вида функции f(x) и от выражения α ±iβ

(где	i = −1 ),	которое	сравнивается	с	корнями характеристического
уравнения, составленного для соответствующего ЛОДУ (7.3).
Возможны случаи:						r
1.	Если	α ±iβ	является		корнем кратности
	характеристического уравнения
			k 2 + a k + a		= 0	(*)
			1	2

(r – означает сколько раз α ±iβ совпадет с корнями характеристического уравнения). Тогда частное решение находится в виде

y

= xreαx [M

l

(x)cos βx + N

(x)sin βx],

чн

l

где

Ml (x) и Nl (x) -

многочлены со

своими неопределенными

коэффициентами, при этом l = max{m, n}.

Например, если

l = 0,

то

M0 (x) = Ax0 = A

- многочлен нулевой степени,

l =1,

то

M1(x) = Ax + B

-

многочлен первой степени,

l = 2,

то

M 2 (x) = Ax2 + Bx +C -

многочлен второй степени,

l = 3,

то

M3 (x) = Ax3 + Bx2 +Cx + D -

многочлен 3-й степени,

l, то

M

l

(x) = A xl + A xl −1 +... + A

- многочлен степени l.

0

1

l

2.

Если

α ±iβ

не

является

корнем характеристического

уравнения

(*), то

r = 0

и

x0 =1,

тогда частное решение yчн имеет

вид

y

= eαx [M

l

(x)cos βx + N

(x)sin βx].

чн

l

Пример 1. Найти общее решение уравнения

y′′−6 y′+9 y = 5e3x

Решение. Находим общее решение соответствующего ЛОДУ:

y′′−6 y′+9 y = 0 .

Его характеристическое уравнение k 2 −6k +9 = 0 имеет корни k1 = k2 = 3. Общее решение однородного уравнения при равных корнях характеристического уравнения имеет вид

yоо = C1e3x +C2 xe3x = e3x (C1 +C2 x) .

33

Правая часть неоднородного уравнения имеет вид f (x) = 5e3x.

α = 3, β = 0 α ±iβ = 3 - является кратным корнем кратности r = 2

характеристического уравнения, l = max{0,0} = 0 , поэтому

yчн = x2e3x [M0 (x)cos0x + N0 (x)sin 0x] = Ax2e3x.

Дважды дифференцируем yчн:

( yчн)′ = 2Axe3x +3Ax2e3x

( yчн)′′ = 2Ae3x + 6Axe3x + 6Axe3x +9Ax2e3x =

=2Ae3x +12Axe3x +9Ax2e3x

иподставляем полученные выражения в данное уравнение:

2Ae3x +12Axe3x

+9Ax2e3x −12Axe3x −18Ax2e3x +9x2e3x = 5e3x.

В результате получим

2Ae3x

= 5e3x 2A = 5 A = 2,5.

Тогда y

= 2,5x2e3x. А общее решение неоднородного уравнения

чн

= e3x

x) + 2,5x2e3x.

y

он

= y

+ y

(C +C

2

оо

чн

1

Ответ: y = e3x (C +C

2

x) + 2,5x2e3x. ■

1

Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения

′

y

′′

+ y

′

− 2 y = cos x −3sin x ,

если y(0) =1, y (0) = 2.

Решение. Находим общее решение соответствующего ЛОДУ

y′′+ y′− 2 y = 0.

Его характеристическое уравнение:

k 2 + k − 2 = 0,

k = −1 ±3;

k =1;k

2

= −2.

1,2

2

1

Общее решение ЛОДУ

при различных корнях характеристического

уравнения имеет вид

= C ek1x + C

ek2 x = C e x

e−2x .

y

оо

2

+ C

2

1

1

Правая часть данного уравнения:

f (x) = cos x −3sin x.

α = 0, β =1 α ±iβ = ±i

- не являются корнями характеристического

уравнения r = 0,

l = max{0,0} = 0 .

Тогда

yчн = x r eαx

[M l (x) cos βx + Nl (x) sin βx] = A cos x + B sin x.

Дифференцируя, получим

′

,

′′

= −A cos x − B sin x .

yчн = −Asin x + B cos x

yчн

′

′′

Подставим значения yчн , yчн , y

чн в данное уравнение, будем иметь

34

− Acos x − Bsin x − Asin x + B cos x −

− 2A cos x − 2B sin x ≡ cos x − 3sin x .

Приравнивая коэффициенты при сosx	и sinx в левой и правой частях,
получим систему
−3A + B =1		A = 0,
		B =1.
− A −3D = −3

Тогда

y

чн

= sin x, а

y

он

= y

оо

+ y

чн

= C e x +C

2

e−2x +sin x -

1

общее решение данного уравнения.

Найдем

′

= C1e

x

− 2C2e

−2x

+ cos x.

yон

y =1, y′ = 2 :

Используя начальные условия, найдем С1 и С2

при

x=0,

1 = C

+C

C

+C

=1

C

=1,

1

2

1

2

1

2

= C2 − 2C2 +1

C1 − 2C2 =1

C2 = 0.

Подставляя значения С1 и С2 в общее решение, получим частное

решение yчаст. = ex + sin x . Ответ: yчаст. = ex + sin x . ■

7.2. Принцип наложения (суперпозиции)

Этот метод основан на следующей теореме:

Теорема. Если правая часть f (x) ЛНДУ (7.1) представляет сумму двух функций, т.е. f (x) = f1(x) + f2 (x) , то частное решение такого ДУ можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно f1(x) и f2 (x) , т.е.

yчн = y1чн(x) + y2чн(x) .

Доказательство. Рассмотрим два уравнения:

y′′+ a1 y′+ a2 y = f1(x) и y′′+ a1 y′+ a2 y = f2 (x) .

Пусть y1чн(x) и y2чн(x) являются частными решениями этих уравнений соответственно, тогда имеем два тождества:

( y1чн)′′+ a1( y1чн)′+ a2 y1чн ≡ f1(x) - найдем их сумму:

( y2чн)′′+ a1( y2чн)′+ a2 y2чн ≡ f2 (x)

[( y1чн)′′+( y2чн)′′] + a1[( y1чн)′+( y2чн)′] +

+ a2 ( y1чн + y2чн) ≡ f1(x) + f2 (x)

или ( y1чн + y2чн)′′+ a1( y1чн + y2чн)′+ a2 ( y1чн + y2чн) ≡ f1(x) + f2 (x).

Следовательно, yчн = y1чн + y2чн является решением уравнения

35

y′′+ a1 y′+ a2 y = f1(x) + f2 (x) . #

Пример. Найти общее решение уравнения

y′′+ y′ = x + e2x .

Решение. Так как правая часть уравнения

f (x) = x + e2x = f (x) + f

2

(x) ,

то

по

теореме общее решение

1

данного уравнения будет иметь вид

yон = yоо + yчн1 + yчн2 .

Найдем

yоо. Для этого рассмотрим уравнение y′′+ y′ = 0, его

характеристическое уравнение

k 2 + k = 0 имеет корни k1=0; k2= -1.

Тогда

y

оо

= C ek1x

+C

2

ek2 x

= C e0x +C

2

e−x

= C +C

2

e−x

1

1

1

Найдем у1чн.

y′′+ y′ = x

Для этого рассмотрим уравнение

Правая часть

f1(x) = x α1 = 0; β1 = 0;l =1.

Так как

α1 ±iβ1 = 0 ± 0i = 0 - является простым корнем

характеристического уравнения r =1, тогда

y

= xr eα1x

[M

l

(x) cos β x + N

l

(x) sin β x] =

1чн

1

1

= x[(Ax + B)cos0x + (Cx + D)sin 0x] = x( Ax + B).

Подставим y1чн = Ax2 + Bx , ( y1чн)′ = 2Ax + B ,

( y1чн)′′ = 2A в

рассматриваемое уравнение

y′′+ y′ = x :

2A + 2Ax + B = x ,

используя условие равенства многочленов, получим

2A =1

1

A = 2 ,

2A + B = 0

B =1.

1 x2

Таким образом, получим

y

=

− x.

Найдем у2чн .

1чн

2

y′′+ y′ = e2x

Для этого рассмотрим уравнение

Правая часть

f2 (x) = e2x . Для

f2 (x) :α2 = 2; β2 = 0; l = 0 .

α2 ± β2i = 2 ± 0i = 2 -

не

является

корнем

характеристического

уравнения r = 0, поэтому

y2чн = xr eα2 x [Ml (x) cos β2 x + Nl (x) sin β2 x]= = x0e2x [Acos 0x + B sin 0x]= Ae2x ;

36