ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1. Решить дифференциальные уравнения первого порядка:

	1.1.	dy	+	dx	= 0.
		y − y 2		x

1.2.y 2 +1dx = xydy.

1.3.y′− yctgx = sin x, y(π2) = 0.

1.4.(x2 + y 2 )dx − 2xydy = 0.

2.Локомотив движется по горизонтальному участку пути со скоростью 72 км/ч. В какой момент времени и на каком расстоянии он будет остановлен тормозом, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 его веса.

3.Решить дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие

понижение порядка:

3.1.2xy′′′ = y′′.

3.2.yy′′−( y′)2 = y3 .

3.3.y′′′ = 60x2 .

4.Решить линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)

второго порядка:

4.1.y′′−5y′−6 y = 0.

4.2.y′′− 2 y′+ y = 0.

4.3.y′′+ 4 y′+5 y = 0.

5.Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

второго порядка:

5.1.y′′+ 6 y′+9 y =10 sin x.

5.2.y′′− 2 y′−3y = e3x .

5.3. y	′′	+9 y	′	=15sin 2x,	′	= 0.
					y(0) = −7, y (0)

6. Решить ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных):

		′′		′		e2 x
	y		− 4 y		+5y = cos x .

7.Решить нормальную систему дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами методом Эйлера:

x&= x −3y,y&= y −3x.

50

Вариант 2

1.Решить дифференциальные уравнения первого порядка:

1.1.xdx = ydy.

1.2.4x3 − y′ = 0.

1.3.(x + y)dy + ydx = 0.

1.4.y′− y = e x , y(e) = ee .

2.В дне цилиндрического сосуда с водой имеется малое отверстие. Скорость вытекания воды пропорциональна квадратному корню из высоты столба воды в сосуде. За сколько времени вытечет вода из сосуда, если 3/4 ее количества вытекает за 10 секунд?

3.Решить дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие

понижение порядка:

3.1.y′′′− y′′ = 0.

3.2.yy′′−( y′)2 = 0.

3.3.y′′ = x2 + x12 .

4.Решить линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)

второго порядка:

4.1.y′′+ y′− 2 y = 0.

4.2.y′′+ 4 y + 4 = 0.

4.3.y′′− 2 y′+ 2 y = 0.

5.Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка:

5.1.y′′− 2 y′ = x2 − x.

5.2.y′′+ y = 4sin x.

5.3. y	′′	− 2 y	′	−3y = e	4 x	′	= 0.
						, y(0) =1, y (0)

6. Решить ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных):

y′′− 2 y′+ y = e x . x

7.Решить нормальную систему дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами методом Эйлера:

x&= 2x + y,y&= 3x + 4 y.

51

Вариант 3

1.Решить дифференциальные уравнения первого порядка:

1.1.ydy+1 = dxx .

1.2.(x +1) ydx = dy.

1.3.y′+ 2 y = 4x, y(0) = 3.

1.4.(x − y)dy = (x + y)dx.

2.Угловой коэффициент касательной в каждой точке кривой равен отношению удвоенного произведения координат этой точки к разности квадратов абсциссы и ординаты. Найти кривую.

3.Решить дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка:

3.1.xy VI − y′′′ = 0.

3.2.y′′′ = ( y′′)3 .

3.3.y′′′ = x + cos x.

4.Решить линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)

второго порядка:

4.1.y′′− 2 y′ = 0.

4.2.y′′− 4 y′+ 4 y = 0.

4.3.y′′+ 6 y′+10 y = 0.

5.Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка:

5.1.y′′+ y′−6 y = −x2 − 1829 .

5.2.y′′−3y′+ 2 y = sin x.

5.3. y	′′	+ y = −sin 2x,	′
			y(π) = y (π) =1.

6. Решить ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных):

y′′− y′ = 1 +1e x .

7.Решить нормальную систему дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами методом Эйлера:

x&= x − y,y&= y − 4x.

52

Вариант 4

1.Решить дифференциальные уравнения первого порядка:

1.1.y 2 dy = (1 − 2x)dx.

1.2.dy = y cos2 xdx.

1.3.y′+ y x−1 =1, y(2) = 2.

1.4.xydy −(x2 + y 2 )dx = 0.

2.Сосуд объемом в 20 л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд при непрерывном перемешивании каждую секунду втекает 0,1 л азота и вытекает такое же количество смеси. Через какое время в сосуде будет 99% азота?

3.Решить дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка:

3.1.xy′′ =1 + x2 .

3.2.y′′ = 1 −( y′)2 .

3.3.y′′′ = x +sin x.

4.Решить линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)

второго порядка:

4.1.y′′−3y′+ 2 y = 0.

4.2.y′′−6 y′+9 y = 0.

4.3.y′′− 4 y′+5y = 0.

5.Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

второго порядка:

5.1.y′′+ 7 y′+12 y = 0.

5.2.y′′+9 y = 6 cos 3x.

5.3. y

′′

− 2 y

′

+ 2 y = 4e

x

cos x,

y(π) =πe

π

,

′

π

.

y (π) = e

6. Решить ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных):

y′′− y′ = e2x cos e x .

7. Решить нормальную систему дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами методом Эйлера:

x&= 2x − y,y&= 3x − 2 y.

53