Пример. На вращающийся в жидкости диск действует замедляющая его движение сила трения, пропорциональная угловой скорости вращения. Найти зависимость угловой скорости от времени, если вначале диск вращался со скоростью 100 оборотов в минуту, а по истечении одной

минуты -

60 оборотов в минуту.

Решение. Пусть ω(t) -

угловая скорость движения диска. Тогда,

согласно закона изменения момента количества движения, имеем

I

dω

= M ,

(*)

dt

где I

– момент инерции диска, М -

момент сил, действующих на диск.

По

условию

М = k0ω

( k0 = const ), поэтому

уравнение (*)

принимает вид

dω

k0

= kω,

k =

.

dt

I

Его решение

ω =ω0ekt .

t

Пусть

ω измеряется в оборотах за минуту, а время

- в минутах.

Тогда

ω0 =100, т.е.

60 =100еk , откуда еk

= 0,6 . Таким

образом, требуемая зависимость имеет вид ω =100 (0,6)t

об/мин. ■

6. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами - наиболее изученный тип дифференциальных уравнений высших порядков. Многие задачи техники и естествознания приводят к линейным однородным дифференциальным уравнениям.

6.1. Основные теоремы о структуре общего решения уравнения. Определитель Вронского

Линейное однородное уравнения n–го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y(n) + a1 y(n−1) + a2 y(n−2) +... + an−1 y′+ an y = 0 ,

(6.1)

где все коэффициенты a1,a2,…,an – числа (в частности, некоторые могут быть нулями).

23

Рассмотрим основные свойства линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами на примере уравнения второго порядка

y′′+ a1 y′+ a2 y = 0.

(6.2)

Теорема 1.

Если

y1(x) и

y2(x) – два решения уравнения (6.2), то

функция

y1(x) + y2(x)

также является решением этого уравнения.

Доказательство: По определению решения ЛОДУ имеем

y1′′+ a1 y1′ + a2 y1 ≡ 0 ,

y2′′ + a1 y2′ + a2 y2 ≡ 0 .

Выполнив операцию сложения этих тождеств, получим

(y (x) + y

2

(x))″ + a (y (x) + y

2

(x))′ + a

2

(y (x) + y

2

(x))≡ 0 ,

1

1

1

1

откуда и следует что y1(x)+ y2(x) является решением ЛОДУ (6.2). #

Теорема 2.

Если

y1(x) – решение уравнения (6.2), то функция

C1y1(x),

где C1 - произвольная постоянная,

также является решением

этого уравнения.

Доказательство: По определению решения ЛОДУ имеем

y1′′(x) + a1 y1′(x) + a2 y1 (x) ≡ 0,

умножая обе части тождества на C1, получим

(C1 y1(x))″ + a1(C1 y1(x))′ + a2 (C1 y1(x))≡ 0,

откуда и следует что C1y1(x) является решением ЛОДУ (6.1.2). #

Следствие 1: Если y1(x) и y2(x) – два решения ЛОДУ (6.2), то

функция				y(x)=C1y1(x)+C2y2(x),			(6.3)
где C1, C2 – произвольные постоянные, также является решением этого
уравнения.
Выясним, при	каких			y1(x) и		y2(x) формула (6.3) определяет	общее
решение ЛОДУ (6.2).
Рассмотрим определитель
W (x) =			y1 (x)	y2 (x)		= y1 (x) y2′ (x) − y1′(x) y2 (x),	(6.4)
			y1′(x)	y2′ (x)

который называется определителем Вронского этих функций или вронскианом (И.Вронский (1778-1853) – польский математик, который впервые ввел определитель в рассмотрение).

Теорема 3. Если y1(x) и y2(x) являются решениями уравнения (6.2), то для определителя Вронского этих решений справедлива формула

24

′	(6.5)
W (x) + a1W (x) = 0.

Доказательство: Найдем от W(x) производную по x:

W ′(x) = (y1 (x) y2′ (x) − y1′(x) y2 (x))′ =

=y1′(x) y2′ (x) + y1 (x) y2′′(x) − y1′′(x) y2 (x) − y1′(x) y2′ (x) =

=y1 (x) y2′′(x) − y2 (x) y1′′(x).

Так как y1(x) и y2(x) являются решениями уравнения (6.1.2), то

y1′′(x) + a1 y1′(x) + a2 y1 (x) ≡ 0, y2′′(x) + a1 y2′ (x) + a2 y2 (x) ≡ 0.

Умножим первое уравнение на (-y2), а второе на y1 и, сложив их, получим

− y1′′(x) y2 (x) − a1 y1′(x) y2 (x) − a2 y1 (x) y2 (x) + y1 (x) y2′′(x) +

+ a1 y1 (x) y2′ (x) + a2 y2 (x) y1 (x) ≡ 0

y1 (x) y2′′(x) − y1′′(x) y2 (x) + a1 ( y1 (x) y2′ (x) − y1′(x) y2 (x) ≡ 0

или	′
	W (x) + a1W (x) = 0. #

Теорема 4. Пусть W(x) – определитель Вронского решений y1(x) и y2(x) ЛОДУ (6.2). Если при некотором х0 W(x0)=0, то W(x) обращается в нуль при любом х : W(x)=0.

Доказательство: Пусть W(x0)=0, а так как функция W(x) удовлетворяет уравнению (6.5) и условию W(x0)=0, то из теоремы существования и единственности следует, что других решений уравнения

(6.5) не существует, что и нужно было доказать. #
Следствие 2. Если при некотором х0			W(x0) ≠ 0, то		W(x) отлично от
нуля при любом	х R .						х1
Доказательство: Предположим противное: при					некотором
W(x1)=0. Тогда	согласно	теоремы 4	W(x)=0,	что		противоречит
условию W(x0) ≠ 0. #
Терема 5. (Формула Лиувилля).
Пусть W(x) – определитель Вронского решений y1(x)						и y2(x)	ЛОДУ
(6.1.2), тогда			x
			− ∫a1dx
	W (x) = W (x ) e x0 .						(6.6)
		0
Доказательство: Если W(x0)=0, то по теореме 4				W(x)=0 и формула
(6.6) верна. Если же W(x0) ≠ 0, то, в силу следствия 2,					W(x) ≠ 0 ни при
каком х. Тогда, разделив (6.5)		на W(x),	получим

25

dW = −a dx .

W

1

Интегрируем обе части в пределах от х0

до х:

x

x

x

x

∫

dW

= − ∫a1dx ln

W (x)

x = −a1x

x

W

x0

x0

0

0

ln

W (x)

−ln

W (x )

= −a (x − x ) ln

W (x)

= −a (x − x ) .

0

1

0

W (x0 )

1

0

Потенцируя, получим

x

W (x)

= e−a1 ( x−x0 )

− ∫a1dx

W (x) = W (x ) e x0

. #

W (x0 )

0

Определение. Систему y1(x) и y2(x) решений ЛОДУ (6.2) назовем

фундаментальной системой, если W(x) ≠ 0

ни при одном значении х.

Как показывает следствие 2, для этого достаточно

проверить,

что

W(x) ≠ 0

при каком-нибудь одном значении

х=х0.

Теорема 6 (об общем виде решения ЛОДУ).

Если

y1(x) и y2(x)

образуют фундаментальную систему решений

ЛОДУ (6.2), то общее решение этого уравнения будет иметь вид:

y(x)=C1y1(x)+C2y2(x),

(6.7)

где C1 и C2 – произвольные постоянные.

Результаты исследований для ЛОДУ второго порядка могут быть перенесены и на линейные однородные уравнения n–го порядка (6.1).

Система решений	y1,	y2,…,	yn	уравнения		(6.1) называется
фундаментальной, если ее определитель Вронского:
	y1	y2	y3	...	yn
W (x) =	y1′	y2′	y3′	...	yn′		≠ 0 .
	y′′	y′′	y′′	...	y′′
	1	2	3		n
	...	...	...	...	...
	y(n−1)	y(n−1)	y(n−1) ...		y(n−1)
	1	2	3		n

Если y1, y2,…, yn образуют фундаментальную систему решений уравнения (6.1), то

y =С1y1+С2y2+С3y3+…+Сnyn,

где С1,С2,…Сn – произвольные постоянные, есть общее решение уравнения (6.1).

26