du	−	2		u = 0 – это ДУ с разделяющимися переменными.
			x +1
	dx					du		2
Разделяя переменные							=			dx , интегрируем и берём какое-либо
								x +1
						u
одно частное решение для						u(x) , например, полагая C = 0.

Получим

ln u = 2ln x +1 u = (x +1)2 .

Подставляя найденную функцию u(x) в уравнение (*), получим для определения v(x) следующее уравнение с разделяющимися переменными:

	(x +1)2	dv	= (x +1)3		dv = (x +1)dx v = ∫(x +1)dx
		dx
						(x +1)2
					v =			+C .
	Окончательно,					2
									(x +1)2
				y = uv = (x +			1)2			+C .
									2
				(x +1)4
	Ответ:		y =		+C(x +1)2		. ■
			2

4.5.Дифференциальные уравнения Бернулли

Могут встречаться такие уравнения, которые не являются линейными, но, однако, могут быть приведены к линейным с помощью некоторых преобразований. Одним из таких уравнений является уравнение Бернулли, которое имеет вид

y′+ P(x) y = Q(x) yk ,

(4.14)

где k – любое постоянное число, не равное 0 и 1 (если k = 0 или k =1, то уравнение (4.14) является линейным уравнением), и легко приводится к

линейному. Разделим (при	y ≠ 0) все члены уравнения (4.14)	на y k ,
получим
y−k y′+ P(x) y1−k = Q(x).		(4.15)
Введём новую функцию	z(x) = y1−k , (k ≠1) .	(4.16)

Продифференцировав (4.16) по x (как сложную функцию), получим

dxdz = (1 − k) y−k dydx ,

то есть

15

y

−k dy

=

1

dz

.

dz

dx

1

− k dx

Подставим z и

в уравнение (4.15):

dx

dz

+ (1 − k)P(x)z = (1 − k)Q(x) .

(4.17)

dx

ДУ (4.17) является линейным относительно z(x) . Его решение можно

1

найти методом, изложенным в п.4.4.

Зная z , легко найти y :

y = z

1−k

.

Заметим, что уравнение Бернулли можно, не преобразовывая предварительно к линейному уравнению, решить тем же способом, что и линейное уравнение, полагая сразу y = uv . Продемонстрируем это на

примере.

Пример.

Решить уравнение

dy

+

2

y =

1

y

2

.

dx

x

x

Решение.

Положим y = uv ,

тогда

dy

= u

dv

+ v

du

.

Подставляем

dx

dx

dy

dx

значения y

и

в данное уравнение, получим

dx

dv

du

2

1

u2v2 .

u

+ v

+

u

=

(*)

dx

x

x

dx

Подберём u

так, чтобы

коэффициент при

v в уравнении (*)

обратился в нуль:

du

+

2

u = 0

–

ДУ с разделяющимися переменными.

dx

x

du

2

Разделяя переменные, имеем

= −

dx ,

откуда, интегрируя,

получим

u

x

ln

u

= −2ln

x

(берём одно частное решение u(x) , поэтому

C = 0),

следовательно,

u = x−2 =

1

.

x2

получим для определения v

Подставляя значение u в уравнение (*),

следующее уравнение с разделяющимися переменными:

16

1 dv

=

1 1

v

2

x2 dx

x x4

или

dv

=

dx

.

v2

Интегрируя, имеем

x3

1

1

∫v−2dv = ∫x−3dx −

= −

+C ,

v

2x

2

2x2

откуда

v =

.

− 2Cx2

1

Окончательно имеем решение исходного ДУ в виде

y = uv =

2

.

2

1 − 2Cx2

Ответ.

y =

. ■

1 − 2Cx2

4.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 ,

(4.18)

левая часть которого представляет собой полный дифференциал некоторой

функции u=u(x,y) , т.е.

du(x, y) = P(x, y)dx +Q(x, y)dy .

Его общий интеграл имеет вид

u(x, y) = C .

Известно, что полный дифференциал функции u=u(x,y) формулой

du(x, y) = ∂∂ux dx + ∂∂uy dy .

Из равенств (4.19) и (4.21) следует, что

P(x, y) =	∂u(x, y)	,	Q(x, y) =	∂u(x, y) .
	∂x			∂y

(4.19)

(4.20)

выражается

(4.21)

(4.22)

Необходимым и достаточным условием того, что левая часть уравнения (4.18) является полным дифференциалом некоторой функции, является выполнение равенства:

17

	∂P(x, y)	=		∂Q(x, y)	.	(4.23)
	∂y
				∂x
Функция	u=u(x,y), входящая		в формулу			(4.20), находится из

уравнений (4.22).

Пример. Найти общее решение уравнения

eydx + (xey − 2 y)dy = 0.

Решение. Для данного уравнения

		P(x, y) = ey ,		Q(x, y) = xey − 2 y,
		∂P(x, y)	= ey ,		∂Q(x, y) = e y .
		∂y				∂x
	Так как	∂P(x, y) =	∂Q(x, y)		,	то наше уравнение является
			∂x
		∂y
	уравнением в полных дифференциалах.
	Следовательно,	∂u(x, y)		= ey ,			∂u(x, y)	= xey − 2 y.
		∂x					∂y

Интегрируя первое уравнение по х (у при этом считается постоянным), находим

u(x, y) = xey +ϕ( y) ,

где ϕ( y) - функция, подлежащая определению.

Дифференцируя по у найденную функцию u(x,y) и принимая во внимание равенство

∂u(x, y) = xey − 2 y ,

∂y

получим xey +ϕ′( y) = xey − 2 y ϕ′( y) = −2 y ϕ( y) = −y2 .

Тогда общее решение данного уравнения будет иметь вид

xey − y2 = C.

Ответ: xey − y2 = C. ■

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Если в дифференциальном уравнении (2.1) порядок n>1, то ДУ называется дифференциальным уравнением высшего порядка. Часто решение ДУ высших порядков с помощью специальных подстановок

18