Вариант 5

1.Решить дифференциальные уравнения первого порядка:

1.1.2xdx = 3y 2 dy.

1.2.(1 + y 2 )dx = (1 + x2 )dy.

1.3.y′− yctgx = tg 2 x, y(π3) = 2 3.

1.4.xydx −(x2 + y 2 )dy = 0.

2.Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллельные осям координат, до встречи с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1:2.

3.Решить дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие

понижение порядка:

3.1.(x −3) y′′+ y′ = 0.

3.2.2( y′)2 = ( y −1) y′′.

3.3.y′′ = 3(1 + x2 ) .

x2

4.Решить линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)

второго порядка:

4.1.y′′+3y′− 2 y = 0.

4.2.y′′−8y′+16 y = 0.

4.3.y′′+ 6 y′+13y = 0.

5.Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка:

5.1.4 y′′− y = x3 − 24x.

5.2.y′′− 2 y′+5y = e x sin 2x.

5.3. y	′′	− 2 y	′	= e	x	(x	2	′	= 2.
								+ x −3), y(0) = y (0)

6. Решить ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных):

y′′ + y = sin1 x .

7.Решить нормальную систему дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами методом Эйлера:

x&= x + 4 y,y&= x − 2 y.

54

Вариант 6

1. Решить дифференциальные уравнения первого порядка:

	1.1.	dy	−	dx	= 0.
		( y − 2)2		(x +1)3

1.2.dy = y sin xdx.

1.3.y′+ y cos x = sin x cos x, y(0) = 0.

1.4.(x − y)dy − ydx = 0.

2.Скорость остывания (или нагревания) тела пропорциональна разности

температур тела и окружающей среды. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 200С. Когда тело остынет до 250С, если за 10 минут оно охладилось от 1000С до 600С?

3.Решить дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие

понижение порядка:

3.1.y′′x ln x = y′.

3.2.yy′′ = ( y′)2 −( y′)3 .

3.3.y′′ = cos x.

4.Решить линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)

второго порядка:

4.1.9 y′′− y′− 2 y = 0.

4.2.y′′+10 y′+ 25y = 0.

4.3.y′′+5y = 0.

5.Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка:

5.1.y′′+ 6 y′+5 y = 25x2 − 2.

5.2.y′′−3y′+ 2 y = e x .

5.3. y	′′	− y	′	= 2(1	− x),	′	=1.
						y(0) = y (0)

6. Решить ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных):

		′′		′		e−2x
	y		+ 4 y		+ 4 y = x3 .

7.Решить нормальную систему дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами методом Эйлера:

x&= 7x + 2 y,y&= 3x + 2 y.

55

Вариант 7

1. Решить дифференциальные уравнения первого порядка:

y +1

1

1.1.y dy − x dx = 0.

1.2.3xdy = 2 ydx.

1.3.y′+ x2 y = x2 , y(2) =1.

1.4.xdy − y ln xy dx = 0.

2.У какой кривой отрезок любой касательной, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам?

3.Решить дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка:

3.1.2xy′′ = y′.

3.2.2 yy′′ =1 + ( y′)2 .

3.3.y′′ = 6x.

4.Решить линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) второго порядка:

4.1.y′′+ y′− 2 y = 0.

4.2.y′′−12 y′+36 y = 0.

4.3.4 y′′−8 y′+5y = 0.

5.Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

второго порядка:

5.1.y′′− 2 y′+10 y = 37 cos 3x.

5.2.y′′− 2 y = xe−x .

5.3. 2 y	′′	− y	′	=1,	′	=1.
					y(0) = 0, y (0)

6. Решить ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных):

y′′ + y = sin23 x .

7.Решить нормальную систему дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами методом Эйлера:

x&= 4x + 2 y,y&= −x + y.

56

Вариант 8

1. Решить дифференциальные уравнения первого порядка:

1.1.tgxdx + dyy = 0.

1.2.5x +3 dy = dx. y

1.3.y′− ytgx = cos1 x , y(0) = 0.

1.4.xdy − y(1 + ln xy )dx = 0.

2.Тело движется прямолинейно со скоростью υ, пропорциональной

квадрату времени. Установить зависимость между пройденным путем S и временем t, если известно, что при t=0, S=S0.

3. Решить дифференциальные уравнения высших порядков, допускающиЕ понижение порядка:

3.1.y′′+ y′tgx = sin 2x.

3.2.y′′(2 y +3) − 2( y′)2 = 0.

3.3.y′′ = sin x +1.

4.Решить линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)

второго порядка:

4.1.y′′+3y′ = 0.

4.2.y′′+14 y′+ 49 y = 0.

4.3.y′′+ 2 y′+ 2 y = 0.

5.Решить линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)

второго порядка:

5.1.y′′−8y′+12 y = −65cos 4x.

5.2.y′′+ 4 y = 5e x .

5.3. y	′′	− 4 y	′	+3y = e	5x	′	= 9.
						, y(0) = 3, y (0)

6. Решить ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа (методом вариации произвольных постоянных):

y′′ + y = tg 2 x.

7. Решить нормальную систему дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами методом Эйлера:

x&= x − y,y&= −4x + y.

57