y2чн = Ae2x ; ( y2чн)′ = 2Ae2x ; ( y2чн)′′ = 4Ae2x ;

2x

′

′′

подставим в уравнение

y

′′

+ y

′

= e

.

Значения y2чн, ( y2чн) , ( y2чн)

Получим:

1

4Ae2x + 2Ae2x = e2x 6Ae2x = e2x 6A =1, A =

.

6

1

Таким образом, получаем

y2чн =

e

2x

.

6

Тогда общее решение данного уравнения:

y

= y

+ y1 + y

2

= C

+ C

e−x +

1

x 2 − x +

1

e2x .

он

оо

чн

2

чн

1

2

6

Ответ: y = C1 +C2e−x + 12 x2 − x + 16 e2x . ■

7.3. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Если частное решение дифференциального уравнения (7.1) или (7.2) найти нельзя или сложно методом неопределенных коэффициентов, но известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (7.3), то для нахождения общего решения ЛНДУ (7.1) или (7.2) применяют метод Лагранжа.

Рассмотрим ЛНДУ (7.2):		y′′+ a1 y′+ a2 y = f (x) .
Общее решение этого неоднородного уравнения находят из общего
решения	соответствующего	однородного	уравнения,	т.е.
yоо = C1 y1 (x) +C2 y2 (x) , заменяя произвольные			постоянные С1,	С2

соответствующими функциями от х, т.е. в виде:

yон = C1 (x) y1 (x) +C2 (x) y2 (x) ,

где у1(х), у2(х) - фундаментальная система решений ЛОДУ (7.3), а С1(х) и С2(х) - удовлетворяют системе

C1′(x) y1 + C2′ (x) y2 = 0,

C1′(x) y1′ + C2′ (x) y2′ = f (x).

(7.5)

(7.6)

Пример.			Методом			Лагранжа	найти	частное	решение
		′′		1
уравнения	y		+ y = cos x .

Решение: Составляем соответствующее однородное уравнение:

y′′+ y = 0 .

37

Его

характеристическое

уравнение

k2+1=0

имеет

корни

k1,2 = ±

−1 = ±i

Фундаментальной системой решений соответствующего однородного

уравнения будут функции

y1=cosx; y2=sinx.

Будем искать общее решение данного уравнения в виде

yон = C1 (x) y1 +C2 (x) y2 = C1 (x) cos x +C2 (x) sin x

(*)

С1(х) и С2(х) определяются из системы (7.3.2):

С′(x) cos x + C

′ (x) sin x = 0

1

2

1

− C1′

(x) sin x + C2′ (x) cos x =

.

cos x

Для решения системы применим формулы Крамера

C1′(x) =

∆1

; C2′ (x) =

∆2

,

∆

∆

где

∆ =

cos x

sin x

−sin x

cos x

∆1 =

0

sin x

1

cos x

cos x

∆2

=

cosx

0

- sinx

1

cosx

C1(x) = −∫tgxdx =

= cos2 x +sin2 x =1

	= −	sin x	= −tgx
		cos x
			С1′(x) = −tgx, C2′ (x) =1
	=1,

ln cos x +C1; C2 (x) = ∫dx = x +C2 ,

где С1 и C2 - произвольные постоянные.

Подставляем значения С1(x) и C2(x) в формулу (*), получим общее решение исходного уравнения:

yон = (ln cos x +C1 ) cos x + (x +C2 ) sin x. Ответ: yон = (ln cos x +C1 ) cos x + (x +C2 ) sin x. ■

Замечание. В приведенном выше примере получен результат

yон = (ln cos x +C1 ) cos x + (x +C2 ) sin x.

Сравнивая его с общим решением соответствующего ЛОДУ

yоо = C1 cos x +C2 sin x ,

видим, что

38

yон = C1 cos x +C2 sin x + (сosx ln cos x + x sin x) =

= yoo + (cos x ln cos x + x sin x).

Слагаемое в скобках является частным решением исходного ЛНДУ и, таким образом, при решении ЛНДУ методом Лагранжа получили выполнение теоремы о структуре общего решения ЛНДУ:

yoн = yоо + yчн.

7.4. Понятие о краевой задаче

Наряду с задачей Коши для дифференциальных уравнений часто возникает необходимость найти такое решение ДУ (2.1) при n≥2, которое принимало бы заданные числовые значения на концах (границах) рассматриваемого отрезка [a,b], решение находится внутри этого отрезка.

Такие задачи называются краевыми (граничными) задачами.

В простейшем случае для обыкновенного ДУ второго порядка F(x, y, y′, y′′) = 0 краевые значения имеют вид

y = y0 при x = a ,

y = y1 при x = b.

Геометрически здесь речь идет о нахождении интегральной кривой y=y(x), соединяющей две заданные точки М0(а,y0) и М1(b, y1).

Пример. Решите краевую задачу для уравнения y′′+ y = 0 с

краевыми условиями y(0)=1, y(π/2)=0.

Решение: Находим общее решение данного уравнения. Составим

характеристическое уравнение k2+1=0, откуда k1,2=±i, α=0, β=1,

yоо = C1 y1 +C2 y2 = eαx (C1 cos x +C2 sin x) = = C1 cos x +C2 sin x.

Для определения произвольных постоянных С1 и С2 воспользуемся краевыми условиями:

	1 = C1 cos0 +C2 sin 0				C1	=1
		π		π			.
			+C2 sin			= 0
	0 = C1 cos	2		2	C2
Тогда	y = cos x (0 ≤ x ≤ π ) .
			2
Ответ:	y = cos x (0 ≤ x ≤	π ) . ■
		2

39