Вопросы для самоконтроля:

1. Что называют дифференциальным уравнением, порядком дифференциального уравнения. Общее и частное решение ДУ. Задача

Коши для ДУ п – го порядка.

2.Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особое решение.

3.Дифференциальные уравнения с разделенными переменными, его общий интеграл и общее решение.

4.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, его общий интеграл.

5.Какое дифференциальное уравнение называется однородным? Запишите его в общем виде.

6.Возможно ли функцию f (x, y) = 53xx −− 22 yy представить в виде функции

отношений xy или xy ? Можно ли то же самое сделать для функции

f (x, y) = 3x − 2 y + 2 ? 5x − 2 y +1

7.Какая подстановка используется для интегрирования однородного уравнения?

8.Какая функция называется однородной измерения k ? Приведите примеры однородных функций нулевого, первого, второго измерений.

9.Какое дифференциальное уравнение называется линейным первого порядка? Запишите его в общем виде.

10.Какую подстановку используют для решения линейных дифференциальных уравнений?

11.Какой вид имеет ОДУ Бернулли?

12.Как интегрируется уравнение Бернулли?

13. При каком условии уравнение	P(x, y)dx +Q(x, y)dy = 0 является
уравнением в полных дифференциалах?

14.Какой вид имеет общее решение (общий интеграл) уравнения в полных дифференциалах?

15.Запишите дифференциальное уравнение второго порядка в общем

виде.

16.Какой вид имеют начальные условия в задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка?

17.	Как	понижается	порядок	в уравнениях вида: y(n) = f (x) ,
′	′′	′ ′′
F(x, y , y ) = 0 ,		F( y, y , y ) = 0 .
18.	Дайте	определение	линейного	однородного дифференциального

уравнения (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами n-го порядка.

19.Докажите свойства частных решений линейного однородного ДУ.

20.Дайте определение линейно зависимых и линейно независимых функций на (a,b).

48

21.Докажите, что для линейно зависимых функций определитель Вронского равен нулю.

22.Сформулируйте теорему о линейно независимых решениях ЛОДУ.

23.Дайте понятие фундаментальной системы решений ЛОДУ.

24.Докажите теорему об общем решении ЛОДУ второго порядка.

25.Какую форму имеет общее решение линейного однородного ДУ n-го порядка?

26.В каком виде записывается общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами второго порядка в случае действительных различных корней; равных, комплексных корней характеристического уравнения?

27.Какой общий вид имеет линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n-го порядка?

28.Докажите теорему об общем решении линейного неоднородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами?

29.Как найти общее решение ЛНДУ, если известно одно его частное решение и общее решение соответствующего ЛОДУ?

30.В чем суть метода неопределенных коэффициентов при отыскании частного решения ЛНДУ?

31.В чем состоит метод Лагранжа нахождения общего или частного решений ЛНДУ произвольного порядка?

32.В чем состоит смысл краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка?

33.Дайте определение системы обыкновенных ДУ первого порядка.

34.Что называется решением системы дифференциальных уравнений

(СДУ).

35.Какой вид имеет нормальная система ДУ.

36.Сформулируйте задачу Коши для нормальной СДУ.

37.Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной СДУ.

38.Сформулировать суть метода исключения неизвестных для решения СДУ.

39.Привести схему интегрирования однородной линейной СДУ с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

40.Дать определение характеристического уравнения и характеристических чисел однородной линейной СДУ. Указать вид ее общего решения.

49