8. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

8.1.Понятие о системе дифференциальных уравнений

иее решении

Совокупность соотношений вида

F (x, y , y

2

, y

3

,..., y

n

, y′

, y′

, y′

,...y′ ) =

0,

1

1

1

2

3

n

F2 (x, y1 , y2 , y3 ,..., yn , y1′, y2′ , y3′,...yn′ ) = 0,

....................................................

(8.1)

Fn (x, y1 , y2 , y3 ,..., yn , y1′, y2′ , y3′,..., yn′ ) = 0,

где y1 , y2 ,...yn -

искомые

функции

от

независимой

переменной x,

называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Всякая совокупность n функций
y1 (x), y2 (x), y3 (x),...yn (x),	(8.2)

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале(a, b),

называется решением системы (8.1) в этом интервале, если она обращает все ДУ системы (8.1) в тождества, справедливые при всех значениях

x (a, b) .

Процесс нахождения решений системы (8.1) называется

интегрированием этой системы.

Пример. Рассмотрим систему

	x	2	′	2	− z	= 0,
			( y )				(*)
			z′−	2 y =		0
Эта система имеет решение
y = x, z = x2 , ( −∞ < x < +∞)							(**)

Действительно, подставляя (**) в систему (*), получим тождества

	x2 1 − x2 ≡ 0,			( −∞ < x < +∞). ■
		2x −	2 x ≡ 0,

40

8.2. Нормальная форма системы дифференциальных уравнений

СДУ первого порядка

			dy1		= f (x, y , y		,..., y ),
dx					1	1 2	n
dy
				2
					= f2 (x, y1 , y2		,..., yn ),	(8.3)
dx
.......................................
dy				n	= fn (x, y1 , y2 ,..., yn ),
dx

разрешенная относительно производных от искомых функций, называется

системой дифференциальных уравнений в нормальной форме или нормальной системой.

Если при помощи некоторых преобразований из данной системы удается получить интегрируемое уравнение, то оно называется

интегрируемой комбинацией.

Пример. Пусть дана система

dy				=	z		,
					(x − y)	2
dx							(8.4)
dz					y
				=				.
						2
dx					(z − y)

Решение. Система (8.4) – нормальная. Разделив первое ДУ на второе, получим интегрируемую комбинацию:

	dy	=		z	,
	dz			y
Разделяя переменные и интегрируя, получим
∫ydy = ∫zdz			y2 − z2 = C1.			(8.5)

Вычитая почленно второе уравнение системы (8.4) из первого, найдем еще одну интегрируемую комбинацию:

	d ( y − z)	= −	1	.
	dx		y − z

41

Разделяя переменные и интегрируя, получим
∫( y − z)d ( y − z) = −∫dx ( y − z)2 = −2x +C2 .	(8.6)

Совокупность соотношений (8.5) и (8.6) в общей теории СДУ называется общим интегралом системы.

Ответ: y2 − z2 = C1,

( y − z)2 = −2x +C2. ■

8.3. Задача Коши для нормальной системы

Задача Коши для нормальной системы (8.3), ставится так:

найти решение y1 = y1 (x), y2 = y2 (x),..., yn = yn (x),

удовлетворяющее начальным условиям (условиям Коши)

y	= y0	, y	2	= y0	,..., y	n	= y0	,	(8.7)
1	1			2			n

где x0 , y10 , y20 ,..., yn0 - заданные числа.

Геометрически находится интегральная кривая, проходящая через заданную точку (x0 , y10 , y20 ,..., yn0 ).

8.4. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы

Теореме Пикара. Если правые части системы (8.3) непрерывны в некоторой окрестности начальной точки (x0 , y10 , y20 ,..., yn0 ) и имеют непрерывные в этой окрестности частные производные по y1 , y2 , y3 ,..., yn , то система (8.3) имеет единственное решение (8.2),

определенное в некоторой окрестности точки x0 и удовлетворяющее начальным условиям (8.7).

Условия теоремы Пикара, в частности, заведомо выполнены, если правые части нормальной системы есть многочлены относительно

y1 , y2 , y3 ,..., yn , коэффициенты которых непрерывны в окрестности начального значения x0 . При этом начальные значения y10 , y02 , y 03 ,..., y0n можно брать произвольно.

42

9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

ИСКЛЮЧЕНИЯ.

Пусть задана система n уравнений (8.3):

			dy1			= f (x, y , y		,..., y	),
dx					1		1	2	n
dy
				2
						= f2 (x, y1 , y2 ,..., yn ),
dx
.......................................
dy				n		= fn (x, y1 , y2 ,..., yn ).
dx

Метод исключений состоит в том, что из системы (8.3) при помощи дифференцирования одного из уравнений и замены y1′, y2′ , y3′,..., yn′ исключают все искомые функции, кроме одной, для которой получается уравнение n–го порядка. Найдя общее решение этого уравнения, находим остальные неизвестные функции без дальнейших квадратур.

Пример. Рассмотрим систему

dx					= y + z,
dt
dy					= x + z,	(9.1)
dz
			dz		= x + y.
dt

Решение. Дифференцируя первое уравнение и пользуясь вторым и третьим, получаем

	d 2 x	=	dy	+	dz	= 2x + z + y,
	dt 2		dt		dt

но

y + z =

dx

,

поэтому

d 2 x

= 2x +

dx

dt

dt 2

dt

или

d 2 x

−

dx

− 2x = 0.

(9.2)

dt 2

dt

43