§7. Лінії на площині, поверхні і лінії в просторі

7.1. Рівняння лінії на площині

Лінія на площині часто задається як множина точок, що має деякі геометричні властивості, які характерні тільки для цієї множини.

Введення на площині системи координат дозволяє визначити положення лінії на площині за допомогою рівняння, що пов’язує координати точок лінії.

Рівнянням лінії на площині називається таке рівняння з двома змінними, якому задовольняють координати довільної точки лінії і не задовольняють координати точок, що не лежать на ній.

Координати ідовільної точки, що входять в рівняння лінії, називаютьсяпоточними координатами.

Приклад 7.1. Скласти рівняння кола радіуса з центром в початку координат.

Розв’язок. Як відомо, коло – це множина точок площини, рівновіддалених від даної точки, яку називають центром. Візьмемо на колі довільну точку . Відстань від цієї точки до центра коларівна, тобтоабо. Отриманому рівнянню задовольняють координати довільної точки кола і не задовольняють координати точок, що не лежать на колі, так як для точок, що лежать всередині кола,, а для точок, що лежать зовні кола,.

Приклад 7.2. Перевірити, чи лежать точки ,на лінії.

Розв’язок. Підставимо в рівняння координати точки , отримаємо.

Підставимо в рівняння координати точки , отримаємо.

Отже, точка лежить на даній лінії, а точкане лежить на цій лінії.

Методи аналітичної геометрії дозволяють вивчення властивостей лінії звести до вивчення властивостей їх рівнянь. Часто замість «дано рівняння лінії » говорять «дана лінія».

Відмітимо, що множина точок площини, координати яких задовольняють рівнянню , може не утворювати лінію. Так, наприклад, рівняннюне задовольняють дійсні координати жодної точки; рівняннюзадовольняють координати тільки однієї точки –; множина точок, що задовольняє рівнянню, є двома прямимиі.

Множину точок площини, координати яких задовольняють рівнянню , називатимемофігурою.

Будь-яка лінія є фігурою, але не кожна фігура відповідає нашій уяві про лінію.

7.2. Рівняння поверхні та лінії в просторі

Рівнянням поверхні в заданій системі координат називається таке рівняння з трьома змінними, якому задовольняють координати довільної точки поверхні і не задовольняють координати точок, що не лежать на ній.

Координати ,ідовільної точки, що входять в рівняння поверхні, називаютьсяпоточними координатами.

Приклад 7.3. Скласти рівняння сфери радіуса з центром в початку координат.

Розв’язок. Як відомо, сфера – це множина точок простору, рівновіддалених від даної точки, яку називають центром. Візьмемо на сфері довільну точку . Відстань від цієї точки до центра коларівна, тобтоабо. Отриманому рівнянню задовольняють координати довільної точки сфери і не задовольняють координати точок, що не лежать на ній, так як для точок, що лежать всередині сфери,, а для точок, що лежать зовні –.

Приклад 7.4. Скласти рівняння координатної площини .

Розв’язок. Рівнянню задовольняють координати довільної точки площини і не задовольняють координати точок, що не лежать на ній. 

Лінія в просторі задається як лінія перетину двох поверхонь.

Нехай дано рівняння поверхонь ,, які перетинають по лінії.

Систему рівнянь

якій задовольняють координати довільної точки лінії і не задовольняють координати точок, що не лежать на ній, називаютьрівняннями лінії в просторі.

Приклад 7.5. В системі координат скласти рівняння кола, що лежить в площині , радіуса з центром в початку координат.

Розв’язок. Дане коло можна розглядати як лінію перетину площини і сфери радіуса з центром в початку координат:



Теоретичні питання

1. Що називається рівнянням лінії на площині?

2. Що називається рівнянням поверхні?

3. Що називається рівняннями лінії в просторі?

Задачі та вправи

7.1. Скласти рівняння множини точок площини, рівновіддалених від точок і.

7.2. Вияснити, які з точок ,,лежать на колі.

7.3. Лінії задані рівняннями: а) ; б);

в) ; г).

Вияснити, які з них проходять через початок координат.

7.4. Скласти рівняння сфери радіуса з центром в точці .

7.5. Скласти рівняння сфери з центром в точці ,що проходить через точку .