9.2. Гіпербола

Канонічне рівняння гіперболи. Гіперболою називається множина точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох даних точок цієї площини є сталою величиною, меншою від відстані між даними точками. Дані точки називаються фокусами.

Позначимо фокуси через ,, відстань між ними, а модуль різниці відстаней від будь-якої точки гіперболи до його фокусів – через. Згідно означенню гіперболи.

Для виведення рівняння гіперболи виберемо систему координат так, щоб фокуси,лежали на осі, а початок координат співпадав з серединою відрізка(рис. 9.4). Тоді фокуси матимуть координати,.

Нехай – довільна точка гіперболи. За означенням для довільної точки гіперболи і тільки для точок гіперболи справедлива рівність:

або ,

тобто

– це і є рівняння гіперболи. Приведемо отримане рівняння до більш простого вигляду, як це було зроблено для еліпса. Отримаємо:

.

Так як , то. Ввівши позначення, отримаємо:або

(9.4)

Можна довести, що рівняння (9.4) рівносильне початковому рівнянню. Воно називається канонічним рівнянням гіперболи.

Дослідження форми гіперболи за її рівнянням. Координати івходять в рівняння (9.4) в парних степенях, тому гіпербола симетрична відносно осей координат і відносно початку координат.

Для точок, що лежать в першій координатній чверті () маємо

.

З цієї рівності випливає, що . При:. При зростаннізначеннятеж зростають, і точкакривої при цьому необмежено віддаляється від осейі.

Побудуємо гіперболу в першій координатній чверті і, враховуючи симетрію, відобразимо побудовану частину відносно осей координат (рис. 9.5). Гіпербола складається з двох частин, які називаються вітками.

Центр симетрії називаютьцентром гіперболи. Точки – точки перетину гіперболи з віссюназиваютьвершинами гіперболи. З віссю гіпербола не перетинається. Відрізок, а також його довжинаназиваютьсядійсною віссю гіперболи, а число –уявною віссю гіперболи.

Рівняння теж є рівнянням гіперболи. Фокуси такої гіперболи лежать на осі(рис. 9.6). В цьому випадку точкиєвершинами гіперболи, а –дійсною віссю, –уявною.

Якщо , то гіпербола називаєтьсярівносторонньою.

Асимптоти гіперболи. Пряма називаєтьсяасимптотою необмеженої кривої , якщо відстаньвід точкикривоїдо цієї прямої прямує до нуля при необмеженому віддаленні точкивздовж кривоївід початку координат (рис. 9.7).

Покажемо, що гіпербола, задана рівнянням (9.4), має дві асимптоти:

і . (9.5)

Так як прямі (9.5) і гіпербола (9.4) симетричні відносно осей координат, то достатньо розглянути тільки ті їх точки, що лежать в першій координатній чверті.

Візьмемо на прямій точкуз такою ж абсцисою, як і в точки, що лежить на гіперболі(рис. 9.8) і знайдемо різницюміж ординатами прямої і вітки гіперболи:

.

Чисельник отриманого дробу є постійною величиною, а знаменник збільшується при зростанні . Отже, довжина відрізкапрямує до нуля при. Так як, тотеж прямує до нуля. Таким чином, прямі

є асимптотами гіперболи.

Для гіперболи, заданої рівнянням , асимптоти також мають вигляд (9.5).

При побудові гіперболи доцільно спочатку побудувати прямокутник з центром симетрії в початку координат із сторонами ,. Прямі, що проходять через протилежні вершини цього прямокутника, будуть асимптотами гіперболи.

Ексцентриситет гіперболи. Відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі називаютьексцентриситетом гіперболи і позначають :

. (9.6)

Так як , то.

Ексцентриситет характеризує форму гіперболи. Дійсно, підставивши в формулу (9.6) , отримаємо

або .

Звідси видно, що чим менше , тим менше відношенняі тим менші кути між асимптотами, в яких розташована гіпербола.

Якщо гіпербола задана рівнянням , то ексцентриситет знаходимо за формулою.

Приклад 9.3. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі , якщо відстань між фокусами рівна 30, а дійсна вісь рівна 16.

Розв’язок. Щоб скласти рівняння гіперболи, треба знайти і. За умовоюабоіабо. Із співвідношення, отримаємо. Таким чином, шукане рівняння матиме вигляд

. 

Приклад 9.4. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі , якщо уявна вісь рівна 10, а ексцентриситет рівний. Знайти її асимптоти.

Розв’язок. Так як за умовою і, тоі. Отримаємо:. Звідкиабо.

Отже, шукане рівняння гіперболи матиме вигляд

,

а рівняння асимптот –

. 