§8. Площина, пряма в просторі і на площині

8.1. Загальне рівняння площини

Положення площинив декартовійсистемі координат повністю визначається деякою точкою цієї площини і ненульовим вектором, перпендикулярним до цієї площини (рис. 8.1).

Ненульовий вектор, перпендикулярний до площини, називають нормальним вектором цієї площини.

Для довільної точки площини і тільки для точок даної площини вектор, тому їх скалярний добуток рівний нулю:. Записавши умову перпендикулярності цих векторів в координатній формі, отримаєморівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора:

. (8.1)

Це рівняння є рівнянням першої степені відносно поточних координат ,,.

Так як вектор – ненульовий, то.

Надаючи коефіцієнтам А, В, С рівняння (8.1) довільних значень, отримаємо рівняння відповідних площин, що проходять через задану точку .

Сукупність площин, , що проходять через задану точку, називають в’язкою площин, а рівняння (8.1) – рівнянням в’язки площин.

Перетворимо рівняння (8.1):

.

Ввівши позначення , отримаємо

. (8.2)

Рівняння (8.2) називають загальним рівнянням площини.

Частинні випадки загального рівняння площини:

1. Якщо , то рівняння набуде вигляду . Цьому рівнянню задовольняють координати початку координат. Отже, площина проходить через початок координат.

2. Якщо , то матимемо рівняння .Вектор . Отже, площина паралельна осі.

Якщо , топлощина паралельна осі .

Якщо , топлощина паралельна осі .

3. Якщо , то площина проходить через початок координат і паралельна осі, тобто площинапроходить через вісь. Аналогічно, рівнянням,відповідають площини, що проходить відповідно через осі,.

4. Якщо ,то рівняння (8.2) набуде вигляду або– рівняння площини, паралельної координатній площині. Аналогічно, рівнянням ,відповідають площини, паралельні площинам , відповідно.

5. Якщо ,то рівняння (8.2) матиме вигляд або– це рівняння площини. Аналогічно, – рівняння площини, – рівняння площини.

Приклад 8.1. Скласти рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора .

Розв’язок. Підставимо координати точки івектора в рівняння (8.1), отримаємо

або . 

8.2. Загальне рівняння прямої на площині

Положення прямої на площині повністю визначається деякою точкою цієї прямої і ненульовим вектором, перпендикулярним до цієї прямої (рис. 8.2).

Ненульовий вектор, перпендикулярний до прямої, називають нормальним вектором цієї прямої.

Для довільної точки прямої і тільки для точок даної прямої вектор. Записавши умову перпендикулярності цих векторів в координатній формі, отримаєморівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора:

. (8.3)

Це рівняння є рівнянням першого степеня відносно поточних координат ,.

Так як вектор – ненульовий, то.

Ввівши позначення , з рівняння (8.3) отримаємо

. (8.4)

Рівняння (8.4) називають загальним рівнянням прямої на площині.

Частинні випадки загального рівняння прямої:

1. Якщо , то рівняння набуде вигляду . Цьому рівнянню задовольняють координати початку координат. Отже, пряма проходить через початок координат.

2. Якщо , то рівняння матиме вигляд або– рівняння прямої, паралельної осі .

3. Якщо , то рівняння набуде вигляду або– рівняння прямої, паралельної осі .

Приклад 8.2. Скласти рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора .

Розв’язок. Підставимо координати точки івектора в рівняння (8.3), отримаємо

або . 