- •Конспект лекцій з курсу лінійної алгебри та аналітичної геометрії
- •Організація навчального процесу за кредитно-модульною системою
- •§1. Матриці
- •1.1. Основні поняття
- •1.2. Дії над матрицями
- •1.3. Транспонування матриць
- •§2. Визначники
- •2.1. Основні поняття
- •2.2. Властивості визначників
- •§3. Невироджені матриці
- •3.1. Основні поняття
- •3.2. Обернена матриця
- •3.3. Ранг матриці
- •§4. Системи лінійних рівнянь
- •4.1. Основні поняття
- •4.2. Розв’язання невироджених лінійних систем
- •4.3. Розв’язання довільних лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі
- •4.4. Розв’язання лінійних систем методом Гауса
- •§5. Вектори
- •5.1. Основні поняття
- •5.2. Лінійні операції над векторами
- •5.3. Розклад вектора за базисом
- •5.4. Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •5.5. Декартова прямокутна система координат
- •5.6. Поділ відрізка в даному відношенні
- •§6. Добутки векторів
- •6.1. Скалярний добуток векторів
- •6.2. Векторний добуток векторів
- •6.3. Мішаний добуток векторів
- •§7. Лінії на площині, поверхні і лінії в просторі
- •7.1. Рівняння лінії на площині
- •7.2. Рівняння поверхні та лінії в просторі
- •§8. Площина, пряма в просторі і на площині
- •8.1. Загальне рівняння площини
- •8.2. Загальне рівняння прямої на площині
- •8.3. Канонічні і параметричні рівняння прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •8.4. Загальні рівняння прямої в просторі
- •8.5. Рівняння прямої, що проходить через дві точки
- •8.6. Рівняння площини, що проходить через три точки
- •8.7. Кут між площинами, кут між прямими, кут між прямою і площиною
- •8.8. Відстань від точки до площини і від точки до прямої на площині
- •8.9. Умова, при якій дві прямі лежать в одній площині
- •Пряма на площині
- •Площина
- •Пряма в просторі. Пряма і площина
- •§9. Лінії другого порядку
- •9.1. Еліпс
- •9.2. Гіпербола
- •9.3. Парабола
- •9.4. Еліпс, гіпербола, парабола з осями, паралельними осям координат
- •Відповіді
- •8.11. . 8.12.. 8.13..
- •8.15. . 8.16.. 8.17..
- •Індивідуальні завдання
- •Тестові завдання з лінійної алгебри
- •Відповіді
- •Тестові завдання з аналітичної геометрії
- •Відповіді
8.8. Відстань від точки до площини і від точки до прямої на площині
Відстань від точки до площини. Нехай в системі координат задані площинаі точка(рис. 8.10).
Відстань від точкидо цієї площини рівна модулю проекції векторана напрямок нормального вектора, дедовільна точка площини. Отже,
.
Так як точка належить даній площині, то, тобто. Отримаємо:
. (8.23)
Приклад 8.9. Знайти відстань від точки до площини.
Розв’язок. За формулою (8.23)
Відстань від точки до прямої на площині. Нехай в системі координат задана прямаі точка.
Відстань від точки до цієї прямої знаходиться за формулою
. (8.24)
Вивід формули (8.24) аналогічний до виводу формули (8.23).
8.9. Умова, при якій дві прямі лежать в одній площині
Нехай прямі ізадані рівняннями
, .
Їх напрямні вектори відповідно і(рис.8.11).
Точка лежить на прямій, а точка– на прямій. Умовою, при якій дві прямі належать одній площині, є компланарність векторів,,, тобто (,,або
. (8.25)
При виконанні умови (8.25) прямі іперетинаються, якщо вектори,неколінеарні, і, якщо.
Приклад 8.10. Вияснити, чи перетинаються прямі
,
і, якщо перетинаються, знайти їх точку перетину.
Розв’язок. Точка лежить на першій прямій, а точка– на другій. Напрямні вектори даних прямих відповідноі. Умовою, при якій прямі перетинаються, є компланарність векторів,,. Знайдемо мішаний добуток даних векторів
.
Отже, умова (8.25) виконується, тобто прямі перетинаються.
Знайдемо точку перетину прямих, розв’язавши систему їх рівнянь:
Таким чином, точка перетину даних прямих має координати .
Теоретичні питання
Записати рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.
Записати загальне рівняння площини.
Записати рівняння прямої на площині, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.
Записати загальне рівняння прямої.
Записати канонічні рівняння прямої.
Записати параметричні рівняння прямої.
Записати рівняння прямої, що проходить через задану точку з заданим кутовим коефіцієнтом.
Записати рівняння прямої з заданим кутовим коефіцієнтом.
Записати загальні рівняннями прямої в просторі.
Записати рівняння прямої, що проходить через дві точки.
Записати рівняння прямої у відрізках.
Записати рівнянням площини, що проходить через три точки.
Записати рівняння площини у відрізках.
Як визначається кут між площинами?
Які умови паралельності та перпендикулярності двох площин?
Як визначається кут між прямими, заданими: а) загальними рівняннями; б) канонічними рівняннями; в) рівняннями з заданим кутовим коефіцієнтом?
Які умови паралельності та перпендикулярності двох прямих, заданих: а) загальними рівняннями; б) канонічними рівняннями; в) рівняннями з заданим кутовим коефіцієнтом?
Як визначається кут між прямою і площиною?
Які умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини?
Чому рівна відстань від точки до площини і від точки до прямої на площині?
Записати умову перетину двох прямих у просторі.
Задачі та вправи