- •Конспект лекцій з курсу лінійної алгебри та аналітичної геометрії
- •Організація навчального процесу за кредитно-модульною системою
- •§1. Матриці
- •1.1. Основні поняття
- •1.2. Дії над матрицями
- •1.3. Транспонування матриць
- •§2. Визначники
- •2.1. Основні поняття
- •2.2. Властивості визначників
- •§3. Невироджені матриці
- •3.1. Основні поняття
- •3.2. Обернена матриця
- •3.3. Ранг матриці
- •§4. Системи лінійних рівнянь
- •4.1. Основні поняття
- •4.2. Розв’язання невироджених лінійних систем
- •4.3. Розв’язання довільних лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі
- •4.4. Розв’язання лінійних систем методом Гауса
- •§5. Вектори
- •5.1. Основні поняття
- •5.2. Лінійні операції над векторами
- •5.3. Розклад вектора за базисом
- •5.4. Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •5.5. Декартова прямокутна система координат
- •5.6. Поділ відрізка в даному відношенні
- •§6. Добутки векторів
- •6.1. Скалярний добуток векторів
- •6.2. Векторний добуток векторів
- •6.3. Мішаний добуток векторів
- •§7. Лінії на площині, поверхні і лінії в просторі
- •7.1. Рівняння лінії на площині
- •7.2. Рівняння поверхні та лінії в просторі
- •§8. Площина, пряма в просторі і на площині
- •8.1. Загальне рівняння площини
- •8.2. Загальне рівняння прямої на площині
- •8.3. Канонічні і параметричні рівняння прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •8.4. Загальні рівняння прямої в просторі
- •8.5. Рівняння прямої, що проходить через дві точки
- •8.6. Рівняння площини, що проходить через три точки
- •8.7. Кут між площинами, кут між прямими, кут між прямою і площиною
- •8.8. Відстань від точки до площини і від точки до прямої на площині
- •8.9. Умова, при якій дві прямі лежать в одній площині
- •Пряма на площині
- •Площина
- •Пряма в просторі. Пряма і площина
- •§9. Лінії другого порядку
- •9.1. Еліпс
- •9.2. Гіпербола
- •9.3. Парабола
- •9.4. Еліпс, гіпербола, парабола з осями, паралельними осям координат
- •Відповіді
- •8.11. . 8.12.. 8.13..
- •8.15. . 8.16.. 8.17..
- •Індивідуальні завдання
- •Тестові завдання з лінійної алгебри
- •Відповіді
- •Тестові завдання з аналітичної геометрії
- •Відповіді
Відповіді
1.1. а) 23, б), в), г).1.2. ,,.
1.3. а) , б), в), г).1.4. а) ,
б) . 1.6. а) ,б) 102, в) . 2.1.а) 31, б) 260.
2.2. а) 0, б) 0, в) -25600. 2.3. .2.4. 11.
3.1. а) ,б) не існує, в) ,г) не існує.
3.2. а) 3, б) 3, в) 1. 4.1. . 4.2.
5.1. . 5.2.а) так, б) так, в) ні. 5.3. а) так, б) так.
5.4. . 5.5.. 5.6.. 6.1.0. 6.2. .
6.3. .6.4. .6.5. .6.6. 24. 6.7. .6.8. -5. 6.9. 182. 6.10. а) ні; б) ні. 7.1. .7.2. Точка В. 7.3. б) і в). 7.4. . 7.5. . 8.1. а) ,б) ,в) ,г) . 8.2.а) проходить через початок координат, б) паралельна осі , в) паралельна осі, г) співпадає з віссю, д) відтинає відрізки довжиною 2 і 7 на осях,відповідно, е) співпадає з віссю . 8.4.а) ,б) ,в) ,г) . 8.5..
8.6. 1) проходить через початок координат, 2) проходить через вісь ,
3) паралельна осі , 4) паралельна координатній площині . 8.7.. 8.8.. 8.9.. 8.10.-15, -10 і 6.
8.11. . 8.12.. 8.13..
8.15. . 8.16.. 8.17..
8.18. . 9.1. . 9.2. а) , б), в), г),
д) , е).9.3. .9.4. .9.5. .9.6. або.9.7. .
Індивідуальні завдання
1. Знайти матрицю , де– одинична матриця третього порядку, якщо:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2. Обчислити визначник трьома способами:
а) за означенням (правило трикутника);
б) розклавши визначник за елементами рядка або стовпчика;
в) звівши за допомогою властивостей до трикутного вигляду.
1. . 2.. 3..
4. . 5.. 6..
7. . 8.. 9..
10. . 11.. 12..
13. . 14.. 15..
16. . 17.. 18..
19. . 20.. 21..
22. . 23.. 24..
25. . 26.. 27..
28. . 29.. 30..
31. . 32.. 33..
34. . 35..
3. Розв’язати систему: а) матричним способом; б) за формулами Крамера; в) методом Гауса.
4. Дослідити систему лінійних рівнянь на сумісність. У випадку сумісності розв’язати її.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23.24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35.
5. В базисі дано вектори. Показати, що векториутворюють базис, і знайти координати векторав базисі.
.
6. Задано вершини піраміди . За допомогою засобів векторної алгебри знайти:
1) довжину ребра ;
2) кут між ребрами і;
3) площу грані ;
4) проекцію вектора на вектор;
5) об’єм піраміди .
1. |
A1( 1, –1, 0) |
A2( 3, -2, -3) |
A3( -2 , 1, 4) |
A4( 1, 5, 8) |
2. |
A1( 0, 4, -4) |
A2( 5, 1, -1) |
A3( -1, -1, 3) |
A4( 0, -3, 7) |
3. |
A1( 7, 7, -5) |
A2( 3, 3, -3) |
A3( 5, 14, -13) |
A4( 3, 5, -2) |
4. |
A1( 1, -2, -3) |
A2( 5, -2, 1) |
A3( 2, 1, -4) |
A4( 1, -2, 3) |
5. |
A1( 0, 3, -4) |
A2( -1, -3, 4) |
A3( 2, -1, 3) |
A4( -5, 1, 1) |
6. |
A1( 8, 0, 1) |
A2( 2, 2, 3) |
A3( -5, 3, 2) |
A4( 4, -4, 0) |
7. |
A1( -6, 4, 2) |
A2( -3, -4, 0) |
A3( 0, -1, 2) |
A4( -3, 0, 3) |
8. |
A1( -1, 5, -8) |
A2( 1, -2, 0) |
A3( -3, -4, 3) |
A4( -3, -6, 2) |
9. |
A1( 1, 12, -15) |
A2( -1, 1, -5) |
A3( -1, 3, -4) |
A4( 3, 5, -7) |
10. |
A1( 12, -2, 10) |
A2( 9, 0, 8) |
A3(1, -4, 0) |
A4( 2, -6, 2) |
11. |
A1( 10, 0, 2) |
A2( 7, 2, 0) |
A3( -1, -2, -8) |
A4( 0, -4, -6) |
12. |
A1( -8, 3, -1) |
A2( 3, 5, 9) |
A3( -7, 1, 1) |
A4( 0, 7, 7) |
13. |
A1( 13, 1, 6) |
A2( 10, 3, 4) |
A3( 2, -1, -4) |
A4( 3, -3, -2) |
14. |
A1( 3, 1, -2) |
A2( 4, -2, 0) |
A3( 11, 5, 6) |
A4( 14, 3, 8) |
15. |
A1( 1, 0, -8) |
A2( 0, 2, 8) |
A3( -10, 6, -2) |
A4( 11, 4, 0) |
16. |
A1( 4, 0, 6) |
A2( 6, 9, -5) |
A3( 8, 2, 3) |
A4( 4, -2, 5) |
17. |
A1( 6, 1, 10) |
A2( -1, -5, 4) |
A3( 9, -1, 12) |
A4( -2, -3, 2) |
18. |
A1( -4, 5, -5) |
A2( 4, 5, 3) |
A3( 7, 7, 5) |
A4( -3, 3, -3) |
19. |
A1( -7, 1, 1) |
A2( 0, 7, 7) |
A3( -8, 3, -1) |
A4( 3, 5, 9) |
20. |
A1( 6, 1, -1) |
A2( 2, -3, 1) |
A3( 2, -1, 2) |
A4( 4, 8, -9) |
21. |
A1( -3, 4, -3) |
A2( -2, 2, -1) |
A3( 8, 6, -7) |
A4( 5, 8, 5) |
22. |
A1( -1, -5, 4) |
A2( 9, -1, 12) |
A3( 6, 1, 10) |
A4( -2, -3, 2) |
23. |
A1( 3, 5, -7) |
A2( -1, 1, -5) |
A3( -1, 3, -4) |
A4( 1, 12, -15) |
24. |
A1( -4, 2, -1) |
A2( 0, 6, -3) |
A3( -2, -13, 11) |
A4( -4, 4, 0) |
25. |
A1( -5, 1, 1) |
A2( 0, 3, -4) |
A3( -1, -3, 4) |
A4( 2, -1, 3) |
26. |
A1( 1, 4, -1) |
A2( 4, -1, 2) |
A3( 1, -8, 8) |
A4( 5, 3, 2) |
27. |
A1( 4, 2, -1) |
A2( 2, -1, 4) |
A3( -2, 3, 4) |
A4( -1, -1, 1) |
28. |
A1( 7, 7, -5) |
A2 ( 3, 3, -3) |
A3( 3, 5, -2) |
A4( 5, 14, -13) |
29. |
A1( -1, 4, -4) |
A2( 5, 0, -1) |
A3( -4, -1, 3) |
A4 ( 0, -3, 6) |
30. |
A1( 0, 7, -2) |
A2( -2, 9, -10) |
A3( -3, 4, 0) |
A4( -6, 2, -1) |
31. |
A1( 2, 6, -3) |
A2( 1, 3, -1) |
A3( -8, 4, 0) |
A4( -5, -2, 1) |
32. |
A1( 0, 5, -3) |
A2( -2, 1, -4) |
A3( -4, -7, 1) |
A4( 3, -1, 7) |
33. |
A1( 1, 7, 0) |
A2( -1, 5, -9) |
A3( 4, 4, 8) |
A4( -3, 2, -1) |
34. |
A1( 0, 2, -4) |
A2( 1, 10, -8) |
A3( -2, -2, 0) |
A4( 5, 7, -1) |
35. |
A1( -3, 0, -3) |
A2( -2, 4, -11) |
A3( 8, -4, 0) |
A4( -7, -2, 6) |
7. Дано вершини трикутника . Знайти:
а) рівняння сторони ; б) рівняння та довжину висоти;
в) рівняння та довжину медіани ; г) точкуперетину висотиі медіани; д) рівняння прямої, що проходить через точкупаралельно стороні.
1. . 2..
3. . 4..
5. . 6..
7. . 8..
9. . 10..
11. . 12..
13. . 14..
15. . 16..
17. . 18..
19. . 20..
21. . 22..
23. . 24..
25. . 26..
27. . 28..
29. . 30..
31. . 32..
33. . 34..
35..
8. Дано чотири точки ,,,. Знайти: а) рівняння прямої; б) рівняння прямої, паралельної до прямої; в) рівняння площини, що проходить через точкуперпендикулярно до прямої; г) рівняння площини; д) рівняння прямоїперпендикулярної до площинита координати точкиїх перетину; е) відстаньвід точкидо площини; є) кут між прямоюі площиною; ж) кут між координатною площиноюі площиною.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
,,,.
9. Скласти канонічні рівняння: а) еліпса; б) гіперболи; в) параболи ( А, В – точки, що лежать на кривій, F – фокус, a –велика піввісь, b – мала піввісь, - ексцентриситет,- рівняння асимптот гіперболи,- директриса параболи, 2с – відстань між фокусами).
1. а) ; б); в).
2. а) ; б); в) вісь симетрії.
3. а) ; б); в).
4. а) ; б); в) вісь симетрії.
5. а) ; б); вісь симетрії.
6. а) ; б); в).
7. а) ; б); в).
8. а) ; б); в) вісь симетрії.
9. а) ; б); в).
10. а) ; б); в).
11. а) ; б); в) вісь симетрії.
12. а) ; б); в).
13. а) ; б); в) вісь симетрії.
14. а) ; б); в).
15. а) ; б); в).
16. а) ; б); в) вісь симетрії.
17. а) ; б); в).
18. а) ; б); в).
19. а) ; б); в) вісь симетрії.
20. а) ; б); в).
21. а) ; б); в) вісь симетрії.
22. а) ; б); в).
23. а) ; б); в).
24. а) ; б); в).
25. а) ; б); в) вісь симетрії.
26. а) ; б); в) вісь симетрії.
27. а) ; б); в).
28. а) ; б); в) вісь симетрії.
29. а) ; б); в).
30. а) ; б); в).
31. а) ; б); в).
32. а) ; б); в).
33. а) ; б); в).
34. а) ; б); в) вісь симетрії.
35. а) ; б); в) вісь симетрії.