§9. Лінії другого порядку

9.1. Еліпс

Еліпсом називається множина точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок цієї площини є сталою величиною, більшою від відстані між даними точками. Дані точки називаються фокусами.

Позначимо фокуси через ,, відстань між ними, а суму відстаней від будь-якої точки еліпса до його фокусів – через. Згідно означенню еліпса,.

Для виведення рівняння еліпса виберемо систему координат так, щоб фокуси,лежали на осі, а початок координат співпадав з серединою відрізка(рис. 9.1). Тоді фокуси матимуть координати,.

Нехай – довільна точка еліпса. За означенням, для довільної точки еліпса і тільки для точок еліпса справедлива рівність:, тобто

– це і є рівняння еліпса.

Приведемо отримане рівняння до більш простого вигляду. Для цього перенесемо перший доданок в праву сторону і піднесемо обидві частини рівняння до квадрату, отримаємо:

або

.

Піднесемо обидві частини отриманого рівняння до квадрату, отримаємо:

або .

Так як , то. Ввівши позначення, отримаємо

або

(9.1)

Можна довести, що рівняння (9.1) рівносильне початковому рівнянню. Воно називається канонічним рівнянням еліпса.

Дослідження форми еліпса за його рівнянням. Координати івходять в рівняння (9.1) в парних степенях, тому, якщо точканалежить еліпсу, то і точки,,теж йому належать. Звідси випливає, що еліпс симетричний відносно осей координат і відносно початку координат.

Для точок, що лежать в першій координатній чверті () маємо. З цієї рівності випливає, що. При:; при:. При зростаннівіддозначенняспадають віддо.

Побудуємо еліпс в першій координатній чверті і, враховуючи симетрію, відобразимо побудовану частину відносно осей координат (рис. 9.2).

Центр симетрії називаютьцентром еліпса. Точки ,– точки перетину еліпса з осями координат називаютьвершинами еліпса. Відрізок , а також його довжинаназиваютьсявеликою віссю еліпса, відрізок , а також його довжина–малою віссю еліпса.

Рівняння , де, теж є рівнянням еліпса. Фокуси такого еліпса лежать на осі(рис. 9.3).

Якщо , то рівняння (9.1) набуде вигляду

(9.2)

– рівняння кола радіуса а з центром в .

Ексцентриситет еліпса. Форма еліпса залежить від відношення .

Відношення відстані між фокусами до довжини великої осі називаютьексцентриситетом еліпса і позначають :

. (9.3)

Так як, , то. Зауважимо: якщо, то.

Підставивши в формулу (9.3) , отримаємо

або .

Звідси видно, що чим менше , тим ближче відношеннядо одиниці і, отже, тим ближче форма еліпса до форми кола. Таким чином, ексцентриситет характеризує ступінь стисливості еліпса.

Приклад 9.1. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі , якщо:

а) відстань між фокусами рівна 24, а велика піввісь рівна 16;

б) відстань між фокусами рівна 8, а ексцентриситет рівний ;

в) відстань між фокусами рівна 24, а сума півосей рівна 18.

Розв’язок. а) Щоб скласти рівняння еліпса, треба знайти і. За умовоюіабо. Із співвідношення, отримаємо. Таким чином, шукане рівняння матиме вигляд

. 

б) Так як за умовою і, тоі, звідки. Із співвідношення, отримаємо. Отже, шукане рівняння матиме вигляд

. 

в) За умовою абоі. Щоб знайтиі, використавши співвідношення, складемо систему рівнянь:

З останньої маємо

.

Таким чином, шукане рівняння матиме вигляд

. 

Приклад 9.2. Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через точки

, .

Розв’язок. Щоб скласти рівняння еліпса, треба знайти і. Так як точки,лежать на еліпсі, то їх координати задовольняють його рівнянню. Отримаємо:

.

Таким чином, шукане рівняння матиме вигляд

. 