- •Конспект лекцій з курсу лінійної алгебри та аналітичної геометрії
- •Організація навчального процесу за кредитно-модульною системою
- •§1. Матриці
- •1.1. Основні поняття
- •1.2. Дії над матрицями
- •1.3. Транспонування матриць
- •§2. Визначники
- •2.1. Основні поняття
- •2.2. Властивості визначників
- •§3. Невироджені матриці
- •3.1. Основні поняття
- •3.2. Обернена матриця
- •3.3. Ранг матриці
- •§4. Системи лінійних рівнянь
- •4.1. Основні поняття
- •4.2. Розв’язання невироджених лінійних систем
- •4.3. Розв’язання довільних лінійних систем. Теорема Кронекера-Капеллі
- •4.4. Розв’язання лінійних систем методом Гауса
- •§5. Вектори
- •5.1. Основні поняття
- •5.2. Лінійні операції над векторами
- •5.3. Розклад вектора за базисом
- •5.4. Лінійні операції над векторами в координатній формі
- •5.5. Декартова прямокутна система координат
- •5.6. Поділ відрізка в даному відношенні
- •§6. Добутки векторів
- •6.1. Скалярний добуток векторів
- •6.2. Векторний добуток векторів
- •6.3. Мішаний добуток векторів
- •§7. Лінії на площині, поверхні і лінії в просторі
- •7.1. Рівняння лінії на площині
- •7.2. Рівняння поверхні та лінії в просторі
- •§8. Площина, пряма в просторі і на площині
- •8.1. Загальне рівняння площини
- •8.2. Загальне рівняння прямої на площині
- •8.3. Канонічні і параметричні рівняння прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •8.4. Загальні рівняння прямої в просторі
- •8.5. Рівняння прямої, що проходить через дві точки
- •8.6. Рівняння площини, що проходить через три точки
- •8.7. Кут між площинами, кут між прямими, кут між прямою і площиною
- •8.8. Відстань від точки до площини і від точки до прямої на площині
- •8.9. Умова, при якій дві прямі лежать в одній площині
- •Пряма на площині
- •Площина
- •Пряма в просторі. Пряма і площина
- •§9. Лінії другого порядку
- •9.1. Еліпс
- •9.2. Гіпербола
- •9.3. Парабола
- •9.4. Еліпс, гіпербола, парабола з осями, паралельними осям координат
- •Відповіді
- •8.11. . 8.12.. 8.13..
- •8.15. . 8.16.. 8.17..
- •Індивідуальні завдання
- •Тестові завдання з лінійної алгебри
- •Відповіді
- •Тестові завдання з аналітичної геометрії
- •Відповіді
9.3. Парабола
Канонічне рівняння параболи. Параболою називається множина точок площини, кожна з яких однаково віддалена від даної точки і даної прямої. Дану точку називають фокусом, а дану пряму директрисою.
Позначимо фокус через . Відстань від фокусадо директриси називаєтьсяпараметром параболи і позначається .
Для виведення рівняння параболи виберемо систему координат так, щоб вісьпроходила через фокусперпендикулярно директрисі в напрямку від директриси до фокуса. За початок координат виберемо середину між фокусом і точкою перетину директриси з віссю. Тоді рівняння директриси матиме вигляд:, а координати фокуса(рис. 9.9).
Нехай – довільна точка параболи. Проведемо відрізокперпендикулярно директрисі, тодіЗа означенням для довільної точки параболи і тільки для точок параболи справедлива рівність:
, тобто
– це і є рівняння параболи. Приведемо отримане рівняння до більш простого вигляду. Для цього піднесемо обидві частини рівняння до квадрату і приведемо подібні, отримаємо:
. (9.7)
Можна довести, що рівняння (9.7) рівносильне початковому рівнянню. Воно називається канонічним рівнянням параболи.
Дослідження форми параболи за її рівнянням. Координата входить в рівняння (9.7) в парному степені, тому парабола симетрична відносно осі.
Так як , то з рівняння (9.7) випливає, що. А отже, парабола розташована справа від осі.
При :– парабола проходить через початок координат і точканазиваєтьсявершиною параболи.
При зростанні значення модулятеж зростають.
Парабола побудована на рис. 9.10.
Рівняння ,,теж є рівняннями параболи.
Парабола має нескінченні вітки. Асимптот у параболи немає.
Ексцентриситет параболи вважають рівним одиниці.
Приклад 9.5. Скласти канонічне рівняння параболи, якщо вона симетрична відносно осі і проходить через точку.
Розв’язок. Так як парабола симетрична відносно осі , то її рівняння має вигляд. Підставимо координати точкив це рівняння, отримаємо:або, звідки. Отже,– шукане рівняння.
9.4. Еліпс, гіпербола, парабола з осями, паралельними осям координат
Розглянемо еліпс з центром в точці з осями, паралельними осям координат (рис. 9.11).
Перейдемо від системи координат до нової системи координатза допомогою паралельного переносу. При цьому початок координатперейде в точку, а осі,будуть паралельними осям,і однаково з ними направленими. Як відомо, формули перетворення координат при паралельному переносі осей координат на площині мають вигляд:
, . (9.8)
Так як нові осі координат співпадають з осями еліпса, а початок координат – з його центром, то відносно системи координат канонічне рівняння еліпса матиме вигляд:
. (9.9)
Підставивши в рівняння (9.9) замість їх вирази з (9.8), отримаєморівняння еліпса з центром в точці з осями, паралельними осям координат:
. (9.10)
Аналогічно отримаємо рівняння гіперболи з центром в точці з осями, паралельними осям координат:
, (9.11)
якщо дійсна вісь паралельна осі , і
, (9.12)
якщо дійсна вісь паралельна осі .
Парабола з вершиною в точці задаєтьсярівнянням:
, (9.13)
якщо вісь симетрії паралельна осі , і
, (9.14)
якщо вісь симетрії паралельна осі .
Рівняння (9.10) – (9.14) є рівняннями вигляду
.
Останнє є частинним випадком загального рівняння кривої другого порядку на площині
.
Теоретичні питання
Що називається еліпсом?
Записати канонічне рівняння еліпса.
Що називається ексцентриситетом еліпса?
Що називається гіперболою?
Записати канонічне рівняння гіперболи.
Що називається асимптотою кривої?
Записати рівняння асимптот гіперболи.
Що називається ексцентриситетом гіперболи?
Що називається параболою?
Записати канонічне рівняння параболи.
Записати рівняння еліпса з центром в точці з осями, паралельними осям координат.
Записати рівняння гіперболи з центром в точці з осями, паралельними осям координат.
Записати рівняння параболи з вершиною в точці з осями, паралельними осям координат.
Задачі та вправи
9.1. Знайти довжини осей, координати фокусів і ексцентриситет еліпса .
9.2. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо:
а) ; б); в);
г) ; д); е).
9.3. Знайти рівняння гіперболи, що проходить через точки
і .
9.4. Знайти рівняння асимптот гіперболи та кут між ними.
9.5. Задана рівностороння гіпербола . Знайти рівняння еліпса, фокуси якого співпадають з фокусами гіперболи, якщо відомо, що еліпс проходить через точку.
9.6. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, симетричною відносно осі , якщо відстань від її фокуса до вершини дорівнює 4.
9.7. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, симетричною відносно осі , що проходить через точку.