1.13. Вопросы

Для более глубокой проработки материала рекомендуется ответить на следующие вопросы:

1. Как экспериментально определить параметры схемы замещения реальных конденсатора и катушки индуктивности?

2. Предложите и теоретически обоснуйте два экспериментальных способа определения характера нагрузки пассивного двухполюсника.

3. Объясните форму годографа общего напряжения активно-емкостной нагрузки при изменении величины ее емкости.

4. Объясните форму годографа общего напряжения активно-индуктивной нагрузки при изменении величины ее индуктивной составляющей.

5. Выведите аналитическое выражения для определения эквивалентного значения индуктивности или емкости при последовательном ( при параллельном ) соединении двух емкостных или двух индуктивных элементов.

6. Теоретически обоснуйте метод трех вольтметров для определения параметров пассивного двухполюсника.

7. Может ли правильно подключенный ваттметр показывать ноль при наличии тока и напряжения в цепи?

8. Придумайте графический метод расчета цепей с синусоидальными токами разной частоты .

2. Резонанс и частотные характеристики

2.1. Определение фазового резонанса

Ранее было отмечено, что в цепях синусоидального тока с R, L и C элементами возможны особые режимы работы, называемые резонансом напряжения и резонансом тока. Эти режимы характерны тем, что вся подводимая энергия идет на покрытие энергии рассеяния активного сопротивления, ток при этом определяется только величиной последнего и совпадает по фазе с напряжением питания. Потребляемая энергия не имеет реактивной составляющей, в то время как суммарная энергия, накапливаемая в электромагнитном поле катушки, и энергия электрического заряда конденсатора не равны нулю. Реактивная энергия перераспределяется между L и С со скоростью изменения питающего напряжения. Больше того, накопленная энергия может быть достаточно большой, что проявляется в возникновении значительных обменных токов или напряжений на соответствующих участках цепи. Приведенные выше рассуждения позволяют дать следующее распространенное определение резонанса: в заданном пассивном двухполюснике, содержащем L и С, существует резонанс, если на его входе ток и напряжение совпадают по фазе. При этом на вход двухполюсника не поступает реактивная мощность. Такой резонанс называют энергетическим, или фазовым.

Частота колебаний синусоидального тока, соответствующая режиму резонанса, называется резонансной частотой, или частотой собственных колебаний резонансного контура. Она равна частоте незатухающих гармонических колебаний напряжений на С и L, возникающих в последовательном замкнутом контуре с идеальной катушкой и конденсатором.

Резонансная частота контура равна: . (2.1)

Различают резонанс токов и резонанс напряжений, детальный математический и энергетический анализ которых приводится ниже.

2.2. Резонанс напряжений

Характерные признаки резонанса напряжений перечислены ранее. Напомним их. Резонанс напряжений возникает в последовательном контуре R, L, C (рис. 2.1.) при условии равенства индуктивной и емкостной составляющей полного сопротивления. При этом напряжения на реактивных элементахU_L иU_Cполностью компенсируют друг друга, а результирующее напряжение равно напряжению на активном сопротивлении U_R и совпадает по фазе с входным током (рис. 1.14.).

Рис. 2.1.

Зависимость параметров последовательного контура с известными параметрами R, Lи Cот частоты питающего напряжения иллюстрируется резонансными кривыми, рис. 2.2. и рис. 2.3., построенными при изменении частоты постоянного по модулю входного напряжения от 0 до.

Функции U_LиU_Cимеют следующие аналитические выражения:

; (2.2)

; ( 2.3)

Рис 2.2.

Отметим характерные особенности приведенных зависимостей. Функции имеют явно выраженные максимумы соответственно при частотах и. Максимум напряжения на конденсаторе наступает при частоте, меньшей чем резонансная,, так как на интервале [0,] сопротивление X_Cпостепенно убывает при одновременном возрастании тока, в то время как приток и сопротивление убывают одновременно.

Рис.2.3.

Аналогичные рассуждения можно провести и для доказательства справедливости . Ниже эти логические рассуждения будут доказаны математически.

Функция модуля тока от частоты имеет вид:

. (2.4)

I(имеет максимум I₀в момент резонанса. При этом,и(ток и напряжение на входе совпадают по фазе).

При возрастании частоты от 0 доразность (X_L-X_C)< 0 и убывает. Соответственно ток в цепи возрастает от нуля до максимума. Аналогично рассуждая, можно объяснить характер кривых Iина участке.

Резонансные кривые на рис. 2.3. подтверждают, что в момент резонанса разность фаз входного тока и напряжения равна нулю и при его прохождении характер цепи меняется с емкостного на индуктивный.

Резонансные кривые могут быть построены не только для конкретного контура, но и для обобщенного контура, если использовать такие связующие его R, LиСпараметры, как уже названная резонансная частота, а также характеристическое (волновое) сопротивление и добротность контура.

Характеристическое сопротивление контура определяется соотношением его индуктивной и емкостной составляющих:

. (2.5)

Такое определение взято не случайно. Ранее отмечалось, что в момент резонанса напряжение на реактивном элементе превышает напряжение на входе всей цепи. Это возможно при условии R<₀L или R_C<1.

Так как , то оба эти условия приводятся к виду

или R <

Заметим, что при резонансе и, а выражение (2.5) для волнового сопротивления дает отношение величины напряжения на индуктивном элементе к величине токав цепи в момент резонанса:

. (2.6)

Величина, равная отношению волнового сопротивления контура к последовательно включенному активному сопротивлению, называется добротностью:

. (2.7 )

Добротность - важный параметр резонансного контура. Экспериментально добротность контура можно определить в момент резонанса как отношение напряжения на реактивном элементе к входному напряжению цепи. Далее будет показано, что Q можно определить также по резонансной кривой . Чем выше Q, тем меньшее количество энергии рассеивает контур на активном сопротивлении в момент резонанса, тем лучше его энергетические показатели. Однако получение реального контура с Q>10 вызывает значительные технические трудности.

Рассмотрим зависимость формы кривой U_L от параметра добротности контура.

Преобразуем выражение 2.2, введя в него параметр добротности контура. Для этого выразим из (2.7)

,

и введем понятие относительной частоты:

. (2.8)

Уравнение 2.2 после подстановки примет вид:

Выполнив преобразования, окончательно получим

, (2.9)

где - параметр, характеризующий расстройку контура и подробно рассматриваемый в конце этого параграфа.

Аналогично рассуждая, получим . (2.10)

Значения относительных частот, при которых U_LиU_C имеют максимум, можно найти, продифференцировав (2.9) и (2.10) относительно. В результате получим:

. (2.11). (2.12)

Анализируя (2.11) и (2.12), перейдем к следующим выводам:

1) При , кривые U_C() и U_L() максимумов не имеют.

2) При заданной добротности контура всегда _С<1 и_L>1.

Последнее следует и из частотных характеристик сопротивлений контура (рис. 2.3.). На интервале частот [0,_] X_C>X_Lи, следовательно, U_C>U_L, а при__{}X_C < X_L, и соответственно U_C<U_L.

3) Частоты максимумов U_Lи U_C(соответственно_Lи_{C )}равны только при условии Q>>0. Однако при Q>5 с погрешностью 1%,справедливо U_L(_L)=U_C(_C)=UQ .Последнее утверждение можно проверить на практическом примере расчета реального контура в файлеrezon_u.mcdприложений.

Волновое сопротивление и добротность контура Q определяют внешний вид его резонансных кривых и позволяют построить обобщенные резонансные кривые для сравнения характеристик контуров с разным сочетанием значений R, L и C.

Обобщенные резонансные кривые для контуров с различной Q

(рис. 2.4.) - это зависимости .

Отметим, что ,где. (2.13)

Преобразуем выражение для Z с учетом (2.7):

Рис. 2.4.

Подставив в (2.13), получим:

. (2.14)

Формы кривых затухания при различных Q приведены на рис. 2.4.

Анализируя вид кривых и выражения (2.14), можно сделать следующее замечание.

Чем выше добротность контура, тем острее резонансная кривая и тем меньшая площадь заключена под кривой и, следовательно, меньшее количество энергии рассеивается контуром во всем диапазоне рассматриваемых частот. Контур с высокой добротностью имеет лучшие энергетические характеристики и избирательную способность. Последняя определяется шириной полосы пропускания контура,

рис. 2.5.

На графике резонансной кривой полоса пропускания контура определяется как разность относительных частот __(рис. 2.5. ), при которой ток в контуре вменьше I₀ резонансного тока. В этот момент полное сопротивление контура Z враз больше минимального, равного R. Константавыбрана не случайно. При этом значении резонансная частота равна среднему геометрическому граничных частот полосы пропускания.

Докажем это, воспользовавшись выражением (2.14).

При , получим.

Решив и преобразовав уравнение, получим .

Отсюда ,(2.15)

и . (2.16)

Складывая эти выражения, получим .

Последнее равенство справедливо только при условии __или.

Анализируя (2.14), можно утверждать, что при , ширина полосы пропускания равна величине.

Действительно, вычитая (2.16) из (2.15), получим 

поскольку , имеем.

Последнее равенство служит обоснованием метода определения величины Q по резонансной кривой.

Расстройкой контура называют параметр .

При _, расстройка имеет отрицательные значения, а при_положительные . Если контур подключен к источнику с частотой, такой, что__, то для него.

Приведенные выше рассуждения рекомендуется проанализировать при помощи файла rezon_u.mcdприложения.