Cравнение амплитуд и начальных фаз дает
Im
= cUm
=u+
.
Следовательно, ток в емкостном элементе
опережает напряжение по фазе на 900, а отношение амплитуд напряжения и тока
определяется величиной, называемой
емкостным сопротивлением:Xc=
.
Уменьшение емкостного сопротивления с увеличением частоты обусловлено ростом тока смещения с увеличением скорости изменения напряженности электрического поля на обкладках конденсатора.
Найдем мгновенное значение мощности в емкостном элементе:
pC=
uc
i= Ucm
Im
sin(t+u
+
)
sin(t+u
)=
=Uc Isin(2t+2u).
Проиллюстрируем выкладки графиками для i , uc , pc рис. 1.9.).
Рис. 1.9.
Особенностью энергетического процесса в емкостном элементе является то, что здесь мощность положительна при возрастании напряжения, а не тока, как в цепи с индуктивностью.
Как и в цепи с индуктивным элементом здесь наблюдаются процессы
колебания энергии электрического поля:
.
В первую четверть периода, когда ток и
напряжение больше нуля, конденсатор
заряжается, мощность положительная. В
это время идет накопление энергии в
электрическом поле конденсатора,
поступающей от источника питания. Во
вторую четверть периода напряжение
больше, а ток меньше нуля, мощность
отрицательна. Энергия поля возвращается
обратно в источник. Во втором полупериоде
процессы повторяются при другом
направлении тока.
Амплитуду колебания мощности в цепи с конденсатором называют реактивной емкостной мощностью:
Qc = Uc I= Xc I2 .
Реактивную мощность индуктивного характера принято считать положительной, а емкостного - отрицательной.
Запишем закон Ома в комплексной форме на емкостном элементе :
Um
=Um
eju
;
Im
=Im
eji
=CUm
e
=CUm
eju
e
,
учитывая, что ej
=j
, -j=
получим:Im
=
.
Перейдем к комплексам действующих значений: I =U / Xс,
где Xс
=
-
комплексное емкостное сопротивление.
Векторная диаграмма на комплексной плоскости тока и напряжения емкостного элемента представлена на рис. 1.10.
Рис. 1.10.
1.6. Комплексный метод расчета линейных электрических цепей при синусоидальных токах
Как известно, расчет любой электрической цепи можно произвести на основе законов Кирхгофа, составив и решив систему уравнений. Применение законов Кирхгофа для мгновенных значений синусоидальных токов и напряжений приводит к дифференциальным уравнениям. Например, для цепи с последовательно включенными активным и индуктивным элементами уравнение второго закона Кирхгофа имеет вид :
.
Полное решение i(t) этого линейного дифференциального уравнения, как известно, складывается из частного решения, определяемого видом функции u(t), и общего решения однородного дифференциального уравнения, получаемого при u(t)=0. Составляющая тока приu(t)=0 может существовать только за счет запасов энергии в магнитном поле индуктивного элемента и будет затухать вследствие рассеяния энергии на активном элементе. Таким образом, спустя небольшой промежуток времени после включения, в цепи остается ток, определяемый только частным решением уравнения цепи. Этот ток называется током установившегося режима. В дальнейшем будем анализировать именно этот режим. Предположим, что приложенное к исследуемой цепи напряжение изменяется по закону:u(t)=U0sin(t+u).
Как показано ранее (см. п.1.5), в активном и индуктивном элементах ток установившегося режима также будет изменяться по синусоидальному закону: i(t)=Imsin(t+).
Задача сводится к отысканию амплитуды и начальной фазы тока при заданной частоте. При необходимости определения токов ветвей или напряжений на участках цепи требуется суммирование синусоидальных функций времени. Эта операция связана с громоздкими и трудоемкими вычислениями. Громоздкость выкладок вызвана тем, что синусоидальная величина при заданной частоте определяется не одной, а двумя величинами - амплитудой и фазой. Существенное упрощение достигается при изображении синусоидальных функций времени комплексными числами. Возможность такого представления для синусоидальных токов и напряжений показано ранее (см. п. 1.4.).
Метод, основанный на изображении действительных синусоидальных функций времени комплексными числами, называется комплексным методом. Его называют также символическим методом, так как он основан на символическом изображении функции времени функцией частоты. В комплексном способе используется очень важное свойство экспоненциальной функции, состоящее в том, что дифференцирование комплексной экспоненты во времени равносильно умножению ее на j, а интегрирование - делению наj:
;
.
В результате, все дифференциальные уравнения, составленные по законам Кирхгофа, заменяются алгебраическими уравнениями в комплексной форме. Решая эти алгебраические уравнения, находим комплексные токи и от них переходим к мгновенным значениям. Таким образом, комплексный метод существенно упрощает расчеты потому, что он является методом алгебраизации дифференциальных уравнений.