2.3. Колебания энергии при резонансе

В последовательном L, C, R контуре в общем случае полная мощность, отдаваемая подключенным источником гармонических колебаний, состоит из мощности рассеяния P на активном сопротивлении и реактивной мощности Q, обусловленной обменом энергии между генератором напряжения и полями индуктивного и реактивного элементов.

Обозначим сумму энергии магнитного и электрического поля как W=W_M+W_E, где W_M иW_{Е -}запас энергии в магнитном и электрическом поле соответственно.

Если в цепи установится ток, то напряжение на конденсаторе равно, следовательно,

Рассмотрим процессы колебания энергий в различных режимах работы. В режиме резонанса _, покажем, что при этом.

Действительно , откуда.

С учетом сказанного можно записать: .

Используя последнее равенство, запас реактивной энергии в каждый момент времени можно представить как

, то есть при резонансе сумма энергий электрического и магнитного полей с течением времени не изменяется, причем максимальные значенияW_HиW_EравныW.

На рис. 2.6 приведены кривые обмена энергией вRLC-контуре, соответствующие моменту резонанса.

Рис. 2.6.

Из рисунка видно, что между конденсатором и катушкой происходит непрерывный обмен энергией. При этом цепь в целом ведет себя как активное сопротивление, и возврата энергии из полей LилиCк источнику приложенного напряжения нет.

При добротности контура , энергия, посылаемая источником к активному сопротивлению, меньше, чем энергия, запасенная в магнитном или электрическом поле, что проявляется в повышенном, по сравнению с входным, напряжением на индуктивности и емкости.

При частоте, отличной от резонансной, , и максимумы энергии в магнитном и электрических полях неравны друг другу, как неравна нулю и реактивная энергия источника (рис2.7.).

Рис. 2.7.

Это значит, что, например, при (рис.2.7.), энергия магнитного поля в каждый момент времени суммирует энергию поля конденсатора и энергию, доставляемую источником питания. Колебания W совпадают по фазе с колебаниями W_L, то есть цепь имеет индуктивный характер. При, цепь по аналогичным причинам приобретает ёмкостной характер.

В цепях сложной конфигурации и энергетические процессы имеют более сложный характер.

Более подробно процессы обмена энергией можно смоделировать посредством программы energi.mcdприложения .

2.4. Резонанс токов

Резонанс токов наблюдается в параллельном контуре, и его внешние энергетические проявления подобны энергетике резонанса напряжений.

На резонансной частоте потребляемая контуром мощность полностью рассеивается на активном сопротивлении, обмена реактивной энергией с источником нет, так как она полностью перераспределяется между катушкой индуктивности и конденсатором.

Если воспользоваться параллельными схемами замещения реальной катушки и реального конденсатора, то схема замещения реального R,L,Cконтура примет вид, представленный на рис. 2.8.

Рис. 2.8.

Для схемы справедливо:

(2.17)

или ,

где .

Из последнего выражения видно, что взаимная компенсация реактивных проводимостей, а следовательно, и резонанс при параллельном соединении имеет место при условии , или, то есть при тех же условиях, что и резонанс в последовательном контуре. В силу эквивалентности последовательных и параллельных схем замещения существует очевидное соотношение их основных параметров.

Таблица 1

При последовательном При параллельном

соединении соединении

В обоих случаях:

Анализируя выражение (2.17), для полного тока можно отметить следующее.

Если g - проводимость активной ветви неизменна, то полная проводимость Zцепи при резонансе достигает своего наименьшего значения равного g, так как в этот момент b=0. Полное сопротивление цепиZпри этом максимально, а ток в цепи минимален (в отличие от момента резонанса в последовательном контуре). В момент резонанса при условииили, (2.18)

ток I_L (как и токI_C) будет превышать ток на активном сопротивлении.

Поэтому резонанс в параллельном контуре называют резонансом токов.В

момент резонанса , и условие (2.18) можно записать как, или, или,

где величина называется волновой проводимостью, а отношениезатуханием контура .

Резонансные кривые (рис.2.9.) для параллельного контура при неизменном напряжении питания U, неизменныхR, LиCэто зависимости I() , I_L(),I_C().

Аналитические выражения функции общего тока и токов в ветвях имеют вид:

;

;;.

Рис.2.9.

Следует обратить внимание, что I()имеет минимум при частоте, равной резонансной, кривые I_L() и I_C()экстремумов не имеют.

Обобщенные резонансные кривые идеального контура (рис.2.10.) наглядно показывают влияние затухания dна форму резонансных кривых.

Рис.2.10.

При выводе аналитической зависимости обобщенной резонансной кривой следует принять во внимание следующие равенства:

;,

с учетом которых проводимость контура можно записать как .

Окончательно получим

.

Анализируя графики, легко заметить следующее. Чем меньше затухание цепи, тем острее резонансная кривая и тем ярче выражен резонанс.

При резонанседает отношение тока в индуктивной (или емкостной) ветви к напряжению на входе контура, а- отношение тока в неразветвленной части контура к току в индуктивной или емкостной ветви.

Приравняв , получим равенство.

Проведя рассуждения, подобные сделанным при анализе выражения 2.14,можно сформулировать аналогичное правило и для параллельного контура. Затухание контура можно определить по его резонансной кривой, как длину отрезка заключенного между точками пересечения кривой с линией

.

При расчете параметров параллельного колебательного контура можно воспользоваться файлом rezon_i.mcdприложения.