1.2. Действующие значения синусоидальных токов, напряжений и эдс

Измерять мгновенное значение переменного тока можно только осциллографом, производить же с ним какие-либо расчеты сложно и неудобно. Поэтому о значении синусоидального тока обычно судят по его среднему квадратическому значению за период :

.

Эта величина называется действующим значением переменного тока, или действующим током. Такой выбор определяется энергетическими соображениями.

За один период синусоидального тока мощность, выделяющаяся в виде теплоты на сопротивлении R, равна:.

Аналогичное значение мощности получается и в цепи постоянного тока , если выбрать величину постоянного тока численно равной действующему значению синусоидального тока . Отсюда следует, что действующий ток и постоянный ток через резистор эквивалентны по тепловому действию. Установим связь между действующим значением и амплитудой синусоидального тока.



.

Отсюда : 

Аналогично для синусоидальных напряжения и ЭДС получим :



Необходимо помнить, что большинство приборов, используемых для измерения периодических токов и напряжений, проградуированы именно в действующих значениях.

1.3.Изображение синусоидальных электрических величин

векторами на декартовой плоскости

Синусоидальные токи и напряжения изображаются графически в виде синусоиды (рис. 1.1.). Их можно также представить на декартовой или комплексной плоскости в виде вектора, который вращается против хода часовой стрелки с угловой скоростью. Основанием для такого изображения синусоидальной электрической величины является то, что формально проекция такого вектора на ось y изменяется аналогично мгновенному значению тока или напряжения.

На рис. 1.2.а. в момент времени t=0 переменный синусоидальный ток с амплитудой I_mи начальной фазойизображен в масштабе в виде вектора

на декартовой плоскости.

Рис. 1.2.

Из рис. 1.2. видно, что, выбрав параметры вектора следующим образом : I_m;₀ = ; ,

получим однозначное соответствие между проекцией вращающегося вектора АО на ось У (отрезок оа) и мгновенным значением тока:

i = oa =sin I_msin(+).

Изменение во времени проекции вращающегося вектора на ось OY характеризуется углом =t, поэтому, договорившись о том, что производить операции будем только с колебаниями одинаковой частоты, можно изображать вращающийся вектор в виде фиксированного в пространстве в момент времени t=0. Совокупность векторов, изображающих синусоидальные токи, напряжения и ЭДС одной частоты, называется векторной диаграммой.

1.4. Представление синусоидальных электрических величин комплексными числами и векторами на комплексной плоскости

Поместим вектор ОА, характеризующий переменный синусоидальный ток (см. рис. 1.2а), на комплексную плоскость координат, рис. 1.3.

Рис. 1.3.

Как известно, проекции радиус-вектора на действительную и мнимую координатные оси являются координатами комплексного числа, которое можно представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: A=ReA+j ImA=A cos+ j A sin=Ae^j

где ReAвещественная часть комплексного числа;

ImAмнимая часть комплексного числа;

A модуль комплексного числа;

аргумент комплексного числа;

j=мнимая единица.

Учитывая, что A=I_m,получим в

тригонометрической форме: i=I_m cos()+jI_m sin().

Величину iназывают комплексом мгновенного значения синусоидального переменного тока. Перепишемiв показательной форме :

i= I_m e^{j( t+i )} = I_me^ji e^{j t}= I_me^{j t}.

Первый множитель, входящий в это выражение, I_m = I_m e^ji

называется комплексом амплитудного значения переменного тока, или комплексной амплитудой. Модулем комплексной амплитуды I_m является вещественная амплитуда синусоидального тока, а аргументом- начальная фаза. Таким образом, комплексная амплитуда включает в себя оба параметра синусоиды: амплитуду и начальную фазу. На комплексной плоскости комплексная амплитуда изображается вектором, соответствующим комплексу мгновенного значения тока в момент времени t=0. Второй множитель в выраженииi - это экспонента

e^{j t} =,

имеет модуль, равный единице, и аргумент угол, зависящий от времени. Геометрическиэто единичный вектор, вращающийся с угловой скоростьюпротив часовой стрелки. Так как при умножении комплексных величин аргументы складываются, то любая комплексная величина, умноженная наe^jt,приобретает свойства вращающегося вектора. Как видим, существует взаимное однозначное соответствие между комплексом мгновенного значения и мгновенным значением синусоидальной функции тока. При этом комплексную амплитуду можно рассматривать как преобразование в частотную область синусоидальной функции времени заданной частоты. Для фиксированной частоты комплексная амплитуда содержит все параметры синусоидального колебанияего амплитуду и фазу. Процесс преобразования мгновенного значения тока или напряжения в комплексную амплитуду очень простой:

i = 4 sin  I_m =4 e^j 

Обратное преобразование производится элементарно:

I_m= 10 e^j i = 10 sin.

Таким образом, договорившись о том, что в цепи переменного тока всегда будут включаться источники электрической энергии одинаковых частот, можно при расчетах синусоидальные токи и напряжения заменять их комплексными амплитудами, т.е. представлять в виде комплексного числа или вектора на комплексной плоскости. Для комплексных чисел и соответствующим им векторам применимы все основные математические действия: сложение и вычитание, умножение и деление. При этом неизбежны переходы от одной записи к другой. Следует только помнить, что знак и значение аргумента комплексного числа определяется тем, в каком квадранте расположен вектор комплексного числа. Определение квадранта производится по знакам вещественной и мнимой частей числа, записанного в алгебраической форме.

При расчетах электрических цепей переменного синусоидального тока обычно интересуются не амплитудными, а действующими значениями. Поэтому обычно вместо комплексных амплитуд рассматривают комплексы действующих значений:

I=; U=.