Пример предварительной таблицы кода Хэмминга

Разряды двоичных чисел			Символы кода
3(k3)	2(k2)	1(k1)
0	0	1	m1
0	1	0	m2
0	1	1	k4
1	0	0	m3
1	0	1	k5
1	1	0	k2
1	1	1	k1

По предварительной таблице составляется проверочная таблица, в которой выписаны символы кодовой комбинации (4.6) в трех строках, формируемые по следующим правилам.

В первую строку записываются символы, против которых проставлены единицы в младшем (первом) разряде комбинации двоичного кода табл. 4.12. Так, в комбинациях 001, 011, 101 и 111 единицы находятся в младших разрядах, поэтому в первой строке проверочной таблицы (см. табл. 4.14) записывается символ т₁, против которого стоит единица в комбинации двоичных чисел 001. Далее в первую строку записывается символы k₄, k₃ и k_1.

Во вторую строку проверочной таблицы записываются символы, против которых проставлены единицы во втором разряде двоичного кода. Так, комбинации 010, 011, 110 и 111 содержат во втором разряде 1, поэтому вторая строка проверочных коэффициентов состоит из символов m₂, k₃, k₂ и k₁.

В третью строку записываются символы, против которых проставлены единицы в третьем разряде двоичного кода, это символы т₃, k₃, k₂ и k₁.

Таблица 4.15

Проверочная таблица кода Хэмминга

m1	k4	k3	k1
m2	k4	k2	k1
m3	k3	k2	k1

Число строк в проверочной табл. 4.15 равно числу контрольных символов т.

В случае кодирования более длинных информационных кодовых комбинаций табл. 4.14 и 4.15 должны быть расширены, так как должны быть записаны четвертая, пятая и т.д. строки проверочных коэффициентов. Для этого нужно лишь увеличить число разрядов двоичного кода в табл. 4.14. Например, для комбинации т₁, m₂, k₁₁, m₃, k₁₀, k₉, k₈, m₄, k₇, k₆, k₅, k₄, k₃, k₂, k₁, имеющей одиннадцать информационных символов и четыре контрольных символа, табл. 4.14 будет содержать 15 строк, а табл. 4.15 будет состоять из четырёх строк.

Состав контрольных символов с помощью проверок определяют следующим образом. Суммируют информационные символы, входящие в каждую строку табл. 4.15; если сумма единиц в данной строке четная, то значение символа т, входящего в эту строку, равно 0, если нечетная, то 1. По первой строке табл. 4.15 определяют значение символа т₁, по второй – т₂, по третьей – m₃.

Полученные по табл. 4.15 контрольные символы подставляют в полную кодовую комбинацию (4.6) кода Хэмминга, которая теперь полностью определена.

Пример 4.1

Закодировать кодом Хэмминга, исправляющим одну ошибку, информационную комбинацию двоичного кода 1101.

В информационной комбинации содержится четыре информационных разряда, т.е. k=4.

Согласно табл. 4.13 число контрольных символов m=3, и в соответствии с (4.6) размещаются они на позициях 1, 2 и 4, а информационные символы – на позициях 3, 5, 6 и 7 полной кодовой комбинации, в которой всего семь разрядов, так как n=k+m. Символы информационной части известны, а контрольные символы необходимо определить.

Полную кодовую комбинацию можно записать в виде:

т₁ m₂ k₄ m₃ k₃ k₂ k₁

? ? 1 ? 1 0 1

Для определения контрольных символов заполняем табл. 4.15 значениями информационных символов и в полученной таким образом табл. 4.16 суммируем по модулю 2 информационные символы каждой строки.

Таблица 4.16