mat.analiz_1

кількість дев’яток дорівнює кількості цифр в періоді, а кількість нулів дорівнює кількості цифр до періоду.

Отже, кожний нескінчений періодичний десятковий дріб, у якого цифра 9 не стоїть у періоді (Чому?), можна перетворити у раціональне число.

Висновок. Подання раціонального числа нескінченним

періодичним десятковим дробом встановлює між множиною раціональних чисел і множиною всіх нескінченних періодичних десяткових дробів взаємно однозначну відповідність, тобто кожному раціональному числу відповідає нескінченний періодичний десятковий дріб, різним раціональним числам відповідають різні дроби, і для кожного нескінченного періодичного десяткового дробу можна знайти раціональне число, яке розкладається саме в цей дріб.

Властивості раціональних чисел [6 ].

Ці властивості відомі вам з шкільного курсу математики [17].

Властивість 1 (впорядкування). Довільні два раціональні числа тп і qр зв’язані між собою одним і тільки одним знаком

>, < або =, причому якщо тп > qр, то qр< тп .

Властивість 2 (додавання). Існує правило, за допомогою якого двом довільним числам тп і qр ставиться у відповідність

третє число, яке називається їх сумою і позначається символом:

с =	т	+	р	:=	mq + np	.
	п		q		nq

Властивість 3 (множення). Існує правило, за допомогою якого двом довільним числам тп і qр ставиться у відповідність

третє

30

число, яке називається їх добутком і позначається символом:

с = mn qp := mpnq .

Правило впорядкування має властивість:

Властивість 4 (транзитивності).

a,b,c Q : a < b i b < c a < c .

Операція додавання має чотири властивості.

Властивість 5 (переставна або комутативна).

a,b Q : a +b=b + а.

Властивість 6 (сполучна або асоціативна).

a,b,c Q : (a +b)+с = а+(b +c).

Властивість 7 (особлива роль нуля).

0 Q, a Q : a +0 = a .

Властивість 8 (існування протилежного числа).

a Q b Q : a +b = 0.

Аналогічні чотири властивості має операція множення. Властивість

9 (переставна або комутативна).

a,b Q : a b=b а.

Властивість 10 (сполучна або асоціативна).

a,b,c Q : (a b) с = а (b c).

Властивість 11 (особлива роль одиниці).

1 Q, a Q : a 1 = a .

Властивість 12 (існування оберненого числа).

а ≠ 0, a Q b Q : a b =1.

Операції додавання і множення зв’язані між собою.

Властивість 13 (дистрибутивна або розподільча

властивість множення відносно суми).

a,b,c Q : (a +b) c = a c +b c .

Операції впорядкованості, додавання і множення зв’язані між собою.

31

Властивість 14. a,b, c Q :a < b a +c < b +c .

Властивість 15. a,b, c Q :a < b i c > 0 a c < b c.

Властивість 16 (аксіома Архімеда). Для будь якого числа c > 0

існує натуральне число п, яке більше с.

32

План:

1.Множина дійсних чисел, властивості дійсних чисел.

2.Абсолютна величина (модуль, норма) дійсного числа, її властивості.

3.Зображення дійсних чисел на числовій прямій.

Мета лекції: Усвідомити, що число є одним з фундаментальних математичних понять, знати, що є різні підходи до побудови теорії дійсних чисел, розуміти, що при практичному використанні дійсних чисел ми користуємось поданням Вейєрштрасса.

Множина дійсних чисел, властивості дійсних чисел.

На минулій лекції ми показали, що кожне раціональне число тп , m Z, n N можна подати у вигляді нескінченного

періодичного десяткового дробу і навпаки, для кожного нескінченного періодичного десяткового дробу можна знайти раціональне число, яке розкладається саме в цей дріб.

Виникає питання, чи не можна, крім нескінченних періодичних дробів, в яких цифра 9 не стоїть в періоді, розглядати нескінченні періодичні десяткові дроби? Такі дроби існують, наприклад: 0,101001…100...01…

п

Означення 3.1.Число, яке подається у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу, називають ірраціональним числом.

Означення 3.2. Нескінченний періодичний десятковий дріб вигляду

а =α0 ,α1α2 ...αп..., α0 N {0}, αi {0;1;2;...9 }, i =1, 2,...

33

називають невід’ємним дійсним числом. Якщо принаймні одна цифра з αі > 0, i =1, 2,... або α0 ≠ 0 , то дріб називають додатним

дійсним числом. Від’ємним дійсним числом називають нескінченний десятковий дріб вигляду а = −α0 ,α1α2...αп..., де на цифри αі

накладаються вищезазначені умови.

Дійсне число ↔нескінченний десятковий дріб

нескінченний		нескінченний
періодичний		неперіодичний
десятковий дріб		десятковий дріб

Раціональне число

Ірраціональне число

М

ножин

у всіх дійсних чисел позначають буквою R , а множину ірраціональних

чисел – I . Отже,

R = Q I

, N Z Q R, I R.

Означення

3.3.

Невід’ємні дійсні числа а =α0 ,α1α2...αп...і

b = β0 , β1β2...βп...

називаються рівними, якщо вони мають

однакові цифри на відповідних розрядах, або десяткові дроби є

двома поданнями одного і того ж раціонального числа:

а)

α0 = β0 , α1 = β1, α2 = β2 , ..., αп = βп,...,

б)

а =α0 ,α1α2 ...αп−1 (αп +1)000...,

b =α

0

,α α

...α

α

999... .

1 2

п−1 п

Отже, надалі домовились нескінченні періодичні десяткові дроби з цифрою 9 у періоді не включати в множину дійсних чисел.

34

Означення 3.4. Невід’ємні числа а і b називаються не рівними, якщо порушується умова а) означення 3.3, тобто існує номер k, для якого порушується рівність цифр:

α0 = β0 ,

α1 = β1,..., αk −1 = βk −1, αk ≠ βk .

Якщо αk

< βk , то кажуть, що число а менше числа b: a < b.

Якщо αk

> βk , то кажуть, що число а більше числа b: a > b .

Означення 3.5. Нехай числа а і b від’ємні. Будемо вважати, що

a > b , якщо додатні числа – а і – b зв’язані нерівністю −a < −b.

Аналогічно

df

Якщо

a > 0, ab < 0, то будемо

a < b − a > −b .

вважати, що a > b .

Для кожного невід’ємного десяткового дробу а =α0 ,α1α2...αп...

введемо

послідовність

нижніх

десяткових

наближень

а− =α

0

,α α

...α

п

(десяткові

наближення

з

недостачею)

і

п

1 2

послідовність

верхніх

десяткових

наближень

а+ =α

0

,α α

...(α

п

+1)=α

0

,α α

...α

п

+10−п

(десяткові

наближення

з

п

1 2

1 2

надлишком). Тоді ап− ≤ а ≤ ап+ .

і

Означення 3.6. Сумою двох дійсних чисел

а =α0 ,α1α2...αп...

b = β0 , β1β2...βп...

називається

дійсне

число

a +b R,

яке

задовольняє нерівності a− +b− ≤ a +b ≤ a+ +b+

n = 0,1, 2,...

n

n

n

n

Означення 3.7. Добутком двох дійсних чисел а =α0 ,α1α2...αп... і

b = β0 , β1β2...βп...

називається

дійсне

число

a b R ,

яке

задовольняє нерівності

а) an−bn− ≤ a b ≤ an+bn+, якщо а ≥ 0, b ≥ 0; б) an−bn+ ≤ a b ≤ an+bn−, якщо а < 0, b ≥ 0;

в) an+bn+ ≤ a b ≤ an−bn− якщо а < 0, b < 0 .

Означення 3.8.	Різницею a −b двох дійсних чисел
а =α0 ,α1α2...αп...	і b = β0 , β1β2...βп... називається дійсне число

35

	c R таке, що	c +b = a . Часткою	a	двох дійсних чисел
			b
	а =α0 ,α1α2...αп...і	b = β0 , β1β2...βп... називається дійсне число
	c R таке, що c b = a.

Можна довести існування і єдність вказаних операцій [6], а також довести, що для дійсних чисел виконуються всі 16 основних

властивостей, які мають місце і для раціональних чисел.

Абсолютна величина (модуль, норма) дійсного числа, її властивості.

Перейдемо до розгляду ще одного важливого поняття дійсного числа – модуля числа.

Означення 3.9. Модулем дійсного числа а називають саме це число, якщо воно додатне чи нуль, або протилежне йому число

–а, якщо a від’ємне:

а

а, якщо а ≥ 0,

(3.1)

:=

− а, якщо а ≤ 0.

Приклад 1.

5

= 5, оскільки 5 > 0,

−

5

= −(−5)= 5 , оскільки 5< 0,

0

= 0 .

Властивості модуля сформулюємо у вигляді теорем.

Теорема 3.1. Модуль довільного числа є число невід’ємне:

a R : a ≥ 0.

Доведення. Якщо

a ≥ 0, то

a

:= a ≥ 0,

a R :

a

≥ 0.

a < 0, то

a

:= −a > 0,

Теорема 3.2. Модулі протилежних чисел рівні :

a R : a = −a .

Доведення.

Якщо

a ≥ 0, то

a

= a,

a

=

−a

= a.

−a < 0, i

−a

= −(−a)= a,

36

Якщо

a < 0, то a = −a,

−a > 0, i −a = −a,

Отже, a R : a = −a .

Теорема 3.3. a R : a

Доведення.

a = −a = −a.

≥ a i a ≥ −a .

Якщо a ≥ 0, то a := a ≥ a , і a ≥ −a – правильні нерівності. Якщо a < 0, то a := −a ≥ a , і a := −a ≥ −a – правильні нерівності.

Теорема 3.4. Модуль суми не перевищує суми модулів і більший або дорівнює модулю різниці модулів чисел a і b:

a,b R :

a

−

b

≤

a + b

≤

a

+

b

.

(3.2)

Доведення.

Згідно з теоремою 3.3 маємо

a

≥ a,

+

a

≥ −a,

+

b

≥ b,

,

(3.3)

b

≥ −b,

(3.4)

a

+

b

≥ a +b

a

+

b

≥ −(a +b).

(3.3)

Якщо число a +b ≥ 0 , то

a +b

:= a +b ≤

a

+

b

,

(3.4)

a +b < 0 , то

a +b

:= −(a +b) ≤

a

+

b

,

Отже, a,b R :

a +b

≤

a

+

b

.

(3.5)

Розглянемо тепер різницю модулів чисел a і b:

a

−

b

=

(a −b)+b

−

b

(3≤.5)

a −b

+

b

−

b

=

a −b

,

(b − a)+ a

(3.5

)

т.3.2

b

−

a

=

−

a

≤

b − a

+

a

−

a

=

b − a

=

a −b

Отже, a,b R :

a

−

b

≤

a + b

.

(3.6)

Оцінимо модуль суми двох дійсних чисел a і b.

a + b = (a −(−b))(3≥.6)a − −b = a − b , тобто доведена ліва частина вихідної нерівності.

37

Теорема 3.5. Модуль добутку (частки) двох дійсних чисел a і b дорівнює добутку (частці, b ≠ 0):

a,b R :

a b

=

a

b

,

(3.7)

a

=

a

, b ≠ 0.

(3.8)

b

b

Доведення.

ab

:= ab,

Якщо a ≥ 0, b ≥ 0 , то ab ≥ 0 і

a

b

=

a

b

a

b

:= ab,

ab

:= −ab,

a > 0 , b < 0 , (a < 0, b > 0 ) то ab < 0 і

a b

=

a

b

a

b

:= −ab,

ab

:= ab,

a < 0

, b < 0 , то ab > 0 і

a b

=

a

b

a

b

:= (− a) (− b)= ab,

Для частки чисел доведення аналогічне.

Зображення дійсних чисел на числовій прямій.

Означення 3.10. Числовою віссю називають пряму, на якій вибрано певну точку О (початок відліку), масштабний відрізок ОЕ, довжина якого дорівнює одиниці та вказано додатний напрям.

Цілі числа на числовій прямій зображають в такий спосіб.

Якщо m > 0 , то вправо від точки О відкладають одичний відрізок ОЕ т разів. Якщо ж т < 0 , то одиничний відрізок відкладають вліво

від точки О (рис. 3.1)

−

5

3

4

2

1

3

4 1

О

х

В

О

Е

А

х

В

А Е

б)

т

Рис.3.1

відрізок ОЕ

Якщо

ж

число

раціональне, то

одиничний

п

розділимо на п рівних частин і відкладемо т таких частин вправо від

38

точки О, якщо m > 0 , або вліво від точки О, якщо т < 0 . Отже, кожне раціональне число буде зображено точкою на числовій прямій.

Однак раціональними числами не вичерпуються всі точки числової прямої. Зокрема, якщо точку А вибрати так, щоб довжина відрізка ОА дорівнювала діагоналі квадрата з стороною, рівною одиниці, то за теоремою Піфагора довжина ОА буде дорівнювати 2

(рис.3.2).		Отже, на числовій прямій є точки, які будуть зображенням
						ірраціональних чисел.
						Покажемо тепер навпаки, що
		1			2	кожній точці числової прямої можна
О		Е		А	х	поставити у	відповідність певний
						нескінченний десятковий дріб.
						Отже,	розглянемо точку М

числової осі, яка лежить справа від точки О (аналогічні міркування і для точки М, яка лежить зліва від точки О), і проведемо вимірювання відрізка ОМ. Тут можливі два випадки:

1. Відрізок ОЕ відкладається в ОМ ціле число α0 разів без остачі

(рис.3.3).		В цьому			випадку	процес	вимірювання вважають
1				α0		завершеним, а точці		М
						ставиться у відповідність		ціле
О Е				М	х
						число α0 , яке можна подати у
						вигляді	нескінченного

α0 α1

ОЕ М1 М2 М х

десяткового дробу: α0 ,000... =α0 ,(0).

2.Відрізок ОЕ відкладається в ОМ ціле число α0 разів з остачею М 1М, меншою від ОЕ (рис.3.4). Тут кажуть, що ціле число α0 є результатом вимірювання відрізка ОМ з недостачею з точністю

39