moskvich_fizika

лоты в нем осуществляется не в процессе тепловой диффузии (теплопроводности), а конвективными потоками сверхтекучей жидкости. В результате теплопроводность гелия в сотни раз превышает теплопроводность серебра.

Гелий II обладает еще целым рядом интереснейших свойств, с некоторыми из них вы можете познакомиться в [1].

Сверхтекучесть – сугубо квантовое явление, не объясняемое классической физикой. Гелий II – это единственная квантовая жидкость. При теоретическом рассмотрении адекватной моделью материального тела является конденсат идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе-Эйнштейна. Обсуждение этой модели выходит за рамки данного курса.

Контрольные вопросы

1.Какие превращения называются полиморфными? Приведите примеры.

2.Приведите примеры фазовых переходов первого и второго рода.

3.Назовите три признака равновесия фаз.

4.Сформулируйте условие равновесия фаз химически однородного вещества.

5.Дайте классификацию фазовых переходов по Эренфесту.

6.Какие свойства вещества могут меняться скачкообразно при фазовых переходах а) первого рода, б) второго рода?

7.Что называется диаграммой состояния? Поясните на рисунке. Какая точка на диаграмме называется тройной точкой? Сколько тройных точек может содержать диаграмма состояния.

8.Какую информацию можно получить с помощью фазовой диаграммы вещества?

9.Почему кривая испарения заканчивается критической точкой, а кривая плавления такой точки не имеет?

10.Запишите уравнение Клапейрона-Клаузиуса, поясните его смысл.

11.Каким способом можно вывести уравнение Клапейрона-Клаузиуса? К каким фазовым превращения оно применимо?

12.Опишите λ-переход в жидком гелии. Как проявляется сверхтекучесть

II? Какие интересные свойства жидкого гелия вам известны?

191

ЛЕКЦИЯ 16

ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В РЕАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

16.1. Релаксационные процессы в молекулярных системах

В равновесных системах, изучением которых мы занимались до настоящего времени, температура и другие макроскопические параметры были постоянными во всех частях системы. Если это условие нарушено, то система является неравновесной. Наличие градиентов температуры, концентрации частиц, электрического потенциалов приводит к возникновению потоков энергии, вещества или заряда. Подобные процессы являются необратимыми и называются процессами переноса.

Изолированная система, предоставленная самой себе, будет постепенно переходить к равновесному состоянию. Как вы помните, время, в течение которого система достигает равновесного состояния, называется временем ре-

лаксации и обычно обозначается буквой	. Если отклонение от равновесия
происходит по нескольким параметрам, то	τвремена релаксации по этим па-

раметрам различаются между собой. Распределение Максвелла по скоростям мы вывели и применяли для идеального газа, однако оно также справедливо для реальных газов и жидкостей, лишь бы система находилась в термодинамическом равновесии. Время, в течение которого система приходит к распределению Максвелла, называется временем релаксации к распределению Максвелла или временем термализации τ .

Неравновесная смесь нескольких газов придет к распределению Максвелла с разными для каждой компоненты временами термализации . В

отсутствие внешних силовых полей, как мы знаем, концентрация частиц постоянна по всему объему, занимаемому системой. Выведенная из равновесия по этому параметру макросистема спустя время релаксации τ вернется к однородному распределению молекул. Однако это время релаксации не равно времени термализации той же системы. Время релаксации для концентрации частиц во внешнем силовом поле, например, в поле тяжести, отличается от времени релаксации для концентрации в отсутствии консервативных сил. Оценка различных времен релаксации имеет большое значение. Процессы с самыми короткими временами релаксации приводят систему очень быстро к состоянию равновесия по этим параметрам и анализ приближения системы к равновесию по оставшимся параметрам существенно упрощается.

Сравнение времен релаксации предполагает, что размер системы фиксирован, имеется в виду её масса, объем, количество частиц. Время релаксации растет с увеличением размеров системы. Самопроизвольный переход отдельных макроскопических малых частей системы в равновесное состояние осуществляется значительно раньше, чем устанавливается равновесие между этими частями.

192

В термодинамике неравновесных систем исходят из представления о локальном равновесии. Суть его в том, что хотя в целом состояние системы является неравновесным, отдельные её малые части равновесны (квазиравновесны) в том смысле, что термодинамические параметры в этих физически малых частях медленно изменяются во времени и от точки к точке. Размеры этих равновесных областей в неравновесной системе выбираются таким образом, чтобы время изменения термодинамических параметров было намного больше времени τ релаксации в них и намного меньше времени релаксации всей системы τ

ττ .

Исходное положение о локальном равновесии позволяет построить последовательную феноменологическую термодинамику необратимых процессов, рассмотрение которой выходит за рамки этого курса.

Строгая молекулярно-кинетическая теория явлений переноса очень сложна. Она сводится к приближенным решениям, так называемого, кинетического уравнения Больцмана. Уравнение Больцмана – это нестационарное интегро-дифференциальное уравнение для функции распределения , , в неравновесном состоянии. Рассмотрением этого уравнения вы займетесь в курсе «Статистическая физика», после того, как существенно усилите свою математическую подготовку. Мы же ограничимся элементарной теорией явлений переноса, а именно, методом средней длины свободного пробега. Прежде чем обратиться к микроскопической теории, проанализируем процессы переноса в рамках феноменологического похода.

16.2. Стационарные уравнения переноса в газах, жидкостях и твердых телах

Типичными явлениями переноса, если отклонения от равновесия невелики, являются теплопроводность, диффузия (самодиффузия), внутреннее трение, электропроводность. Подобные процессы могут быть стационарными и нестационарными. Ограничимся рассмотрением только стационарных процессов.

Уравнения переноса были получены в XIX веке в рамках феноменологической, а точнее, сугубо математической теории. Все они имеют однотипную структуру, отражающую причинно-следственную связь. В качестве причины рассматривается наличие градиента некоторого макроскопического параметра, следствием же является возникновение потока определенного молекулярного свойства. Реакция системы на внешнее воздействие в конкретных процессах переноса однозначно определяется принципом Ле Шателье-

Брауна.

193

Например, если температура в системе меняется от точки к точке (grad T ≠ 0), то внутри системы возникнет поток энергии и именно в том направлении, чтобы «уменьшить несправедливость» и выровнять температуру во всей системе. Аналогичным образом реагирует система, в которой есть градиент концентрации каких-то молекул, а именно возникновением потока этих молекул, направленного так, чтобы равномерно распределить молекулы по объему занимаемому системой. Конечно, если система неизолированная, то можно поддерживать постоянные значения градиентов макроскопических параметров. Система, разумеется, не сможет перейти в равновесное состояние, но потоки молекулярных свойств будут существовать всё то время, которое будут существовать градиенты параметров.

Рассмотрим стационарные одномерные уравнения теплопроводности, самодиффузии и внутреннего трения.

Уравнение теплопроводности

Уравнение теплопроводности называется уравнением Фурье и имеет

вид

где								,			16.1
	– плотность потока теплоты (внутренней энергии),										– градиент тем-
пературы вдоль направления оси ,					– коэффициент теплопроводности (теп-
лопроводность). Размерности входящих в уравнение величин таковы:
		Вт							Вт
		м	,		м	,			м	.

Знак « - » в правой части (16.1) обусловлен тем, что направление плотности потока противоположно градиенту (рис. 16.1).

Рис.16.1.

194

Уравнение самодиффузии

Уравнение самодиффузии называется уравнением Фика:

,

16.2

Рис. 16.2.

модифф узии.

где - плотно сть потока концентрации « меченых» атомов, т.е. атомов, близк х по размерам и свойствам ато-

мам фона, например изотопов. – градиент концентра-

ции м еченых атомов, а – коэффициент самодиффузии. Размерности выше указанных величин таковы:

с · м ,		м ,	м · с .

Знак « - » в правой части (16.2) присут ствует на том же основании, что и в (16.1). Рис. 16.2 поясняет процесс са-

Уравнение внутреннего трения

Прежде чем записать уравнение внутреннего трения представьте себе неограниченную среду (газ или жи дкость), движущуюся плоскопараллельными слоями в горизонтальном направлении. Скорость этого макроскоп ического движения меняется в н аправле нии, перп ендикулярном к слоям. Это направление примем за ось (Рис. 16.3).

Рис.16.3.

195

Допустим для определенности, что с	корость	возрастает с возрас-
танием . Рассеч ем мысленно среду на две	половины плоскостью		, парал-

лельной слоям. Тогда верхняя половина среды будет действовать на н ижнюю с силой, направленной вправо, а нижняя на верхню ю – с силой, направленной влево. Э то и ест ь силы внутреннего трения или вязкость.

	Уравнение внутреннего трения называется уравнением Ньютона
где		η		,	16.3
	- плотность потока импульса,	- градиент скорости упорядоченного

движения молекул, η - коэффициент вязко сти (динамическая вязкость). Размерности названных величин таковы:

м	,		с , η Па · с.

Направления плотности потока импульса и (cмотрите поясняющий рис. 16.4).

Представленные выше уравнения переноса справедливы для газов, жидкостей и твердых тел. Специфика системы «зашита» в коэфф ициентах переноса. Их значения зависят от внутренней структуры вещества и его состояния (температуры, давления). В рамках макроскопиче ского п одхода коэффициенты переноса определяют из экспериментов. Молекулярно-кинетическая теория позволяет получить значения этих коэффициентов с использованием соответствующих моделей материальных тел.

противоположны

Рис. 16 .4.

1 6.3. Внутренняя теплопроводность и внешняя теплопередач а

Рассмотрим более детально явление теплопроводности, имеющ ее важное практическое значение. Формула (16.1), определяющая плотность потока теплоты , относится к слу чаю, когда распределение температуры в среде непрерывно и теплопровод ность χ также является непрерывной функцией координат. Теплопроводность в этом случае называется внутрен ней теплопроводностью. В стационарном случае температура не м еняется от времени, а является функцие й только пространственных координат. Поэтому все стационарные задачи на внутреннюю теплопроводность сводятся к двум вопросам. Требует ся найти либо распределение температуры в среде с заданны ми гра-

196

ничными условиями, либо получить функциональну ю зависи мость χ от координаты. Рассмотрим простейшие случаи, когда среда однородна и поэтому

χconst.

Стационарное распределение температур ы в бесконечной плоско-параллельной пластинке

Дана бесконечная пластинка толщины живаются при постоянных температурах и Требует ся найти распределение температуры

,поверхности которых поддер-

.Она изобра жена на рис. 16.5.

внутри пластинки.

Запиш ем (16.1) для этой задачи в виде

con st.

16.3

Если const, из (16.3) следует

Рис. 16.5.

const

.

16.4

После интегрирования (1 6.4) получим

,

16.5

где

- постояная интегрирования. Таким образом,

температура меняется с

координатой

по линейному закону. Константы

и

нах одятся из гранич-

ных

условий.

При

, а

при

. Соответственно

. На

йденные значения

и

подставим в

(16.5) и по-

0

лучим

,формулу для распределения температуры в пластинке:

.

16.6

Стационарное распределение темпера туры между двумя концентрическими бесконеч но длинными цилиндрами

На рис. 16. 6. изображена исследуемая система.

Однородн ая среда заполняет пространство между двумя цилиндрическими п оверхностями с радиусам и и . Г раничные условия стационарны:

,.

197

Требуется	найти	зависимость температуры
от расстояния от	до аксиальной оси. Полный по-
ток через цилиндрическую повер хность радиуса
единичной длины равен		постоянной величиной,
Этот поток является·2π · 1.
независящей от радиуса цилиндрической поверх-
ности. З апишем это условие
Следовательно	2π	const.			Рис. 16.6.
				.	16.7

Выразим левую часть этого уравне ния согласно (16.1), тогда получим

. 16.8

После интегрирования (1 6.8) находим решение в об щем виде

		ln	.	16.9
Константы	и	находятся из граничных	условий. При	, a при
	. Соответственно		,
		ln		16.10
		ln	.

Вычтем из второго уравнения перв ое и получим значение

.

ln

Подставив полученное в ыражение для в любое из уравнений (16.10) определим . Окончательно решение имеет ви д

198

ln	ln	ln .	16.11
ln	ln

Стационарное распределение температур ы между двумя концентрическими сферами

На рис. 16. 7. изображена исследуемая система.

	Пространство между сферами радиусов и
заполнено однородно й средой. Поток									теплоты
через сферическую поверхность радиуса									равен
			эта величина постоянна и не зависит от
радиуса сферы. Поэтому							уравнен	ие для плотности
4π	,
потока имеет вид
Рис. 16.7.						.			16.12
После и нтегрирования (16.12) получим

.

Из граничных условий находим и . Окончательно решение имеет вид

1. 16.13

Ещё раз отметим, что распределения температур в слоях вещ ества с

зависим ость			или		войдет в		χ	const
разной симметр ией полу чены при условии, что								. Если это не так, то
						соответству ющие дифференциальные
уравнения.	Это приведет к тому, что распределение температуры в слоях бу-
		χ		χ

дет отличаться от (16.6), ( 16.11) и (16.13).

Внешняя теплопередача

Внешней теплопередачей называется теплопередача между двумя различными телам и, не находящимися в тепловом равновеси и друг с другом. Приведем примеры:

1. Процесс охлаждения нагретого металлического те ла поток ом воды или воздуха.

199

2.Процесс теплопередачи между отапливаемым домом и окружающим воздухом.

Идеализируя ситуацию, можно считать, что в каждый момент времени тело имеет одну и ту же температуру . Аналогично и окружающая среда может характеризоваться в каждый момент времени одной и той же температурой из-за происходящих в ней процессов перемешивания. В результате возникает тепловой поток через границу тел, обусловленный скачком температуры на этой границе. Нормальная составляющая этого потока зависит от материала обеих сред, а также от их температур. При небольшой разности температур тела и среды выполняется закон Ньютона, который заключается в том, что плотность потока пропорциональна разности температур на границе тела с окружающей средой

		α	α	.	16.14
	где		- коэффициент теплопередачи,	нормаль	проведена от тела к среде.

Опыты показали, что формула Ньютона (16.14) выполняется приближенно. Коэффициент теплопередачи является эмпирическим параметром и не представляет столь важную характеристику как теплопроводность среды.

Контрольные вопросы

1.Какие процессы называются процессами переноса? Приведите примеры.

2.Почему переход системы к равновесию может характеризоваться несколькими, отличающимися друг от друга временами релаксации?

3.Что называется временем термализации?

4.Почему время релаксации зависит от размеров системы?

5.В чем суть представления о локальном равновесии?

6.Какое уравнение является основой молекулярно-кинетической теории явлений переноса?

7.Какая связь существует между процессами переноса и принципом Ле Ша- телье-Брауна?

8.Запишите стационарные одномерные уравнения теплопроводности, самодиффузии и внутреннего трения. Какова область их применимости?

9.Какова размерность коэффициентов теплопроводности, самодиффузии и вязкости?

10.Как зависит от координат плотность теплового потока в слое вещества, имеющем плоскую, цилиндрическую и сферическую симметрию?

11.Как используются граничные условия для нахождения распределения температуры в слое вещества?

12.Что называется внешней теплопередачей? Запишите формулу Ньютона, описывающую этот процесс. Какова область её применимости?

200