moskvich_fizika

В первом случае вероятность при ближенно можно считать равной

1 ⁄ 2	1
, а в последнем – постоянное значение	определяется у ровнем техноло-
гии производства данных приборов (обычно		).

3.2. Графическое представ ление биномиального распределения.

в) n	Графические представления биномиального распределения для разных
		,	,	;	г) г)	,	а		,	16,	.		0.7	∞,	const
значений n и p приведены					на рис. 3.2:								; б)		;
	∞		0	1		∞		0

а

б

в

41

	г
В предельном случае, когда	Рис. 3.2.
	,		, гистограмма переходит
в непрерывную кривую в форме с	имметричного колокольчика (рис.			3.2, б).
	∞	const

Основные характеристики бино миального распределении.

Важными числовыми характеристи ками распределения вероятностей являются наиболее вероятное значение числа частиц , среднее значение , дисперсия и ряд других связанны х с ними параметров. Форм улы нахождения этих величин в зависимости от приведен на схеме 3.2.1.

42

Схема 3.2.1.

Характеристики биномиального распределении

Наиболее вероятное

Cреднее значение m,

Дисперсия, как мера

значение

флуктуации

Максимальное значение

,

σ

вероятности

отвечает

условию

–

σ

,

,

0.

- среднее значение;

σ

характеризует абсолют-

Н

.

ную растянутость графиче-

ских кривых (ширину «ко-

локольчика», см.рис. 2)

Решение этого уравнения:

Если

, а

1,

тогда

н

.

1,∞

следовательно

σ

.

Наиболее вероятная концентрация

Относительное стандартное отклонение

частиц в объеме V1

н

н

;

α

σ

.

– концентрация, соответствующая

;

.

α

Если√

α

,0

то1. √

равномерному распределению частиц по

всему объему.

Если

, α

α

1

1

.

√

Относительные флуктуации числа частиц в пространстве возрастают с уменьшением области, в которой эти флуктуации рассматриваются. В макроскопических системах флуктуации незначительны, поэтому можно считать, что .

43

3.3. Предельные случаи биномиального распределения

В теории вероятностей анализ предельных форм биномиального распределения базируется на строгих доказательствах. Этому вопросу посвящены специальные теоремы.

На схеме 3.3.1 приведены результаты этих доказательств, имеющие

важное значение для описания статистических систем		∞).	Схема 3.3.1.
	Предельные случаи биномиального распределения

Распределение Пуассона (закон редких

			событий):			1
		∞		const
	.
				– вероятность редких
	событий!
				(см. рис. 3.2, в, г),
		σ				.

Например: технические катастрофы, биологические мутации, вылет частиц при радиоактивном распаде ядра, эффузия – молекулярное истечение газа из сосуда через небольшое отверстие в тонкой

стенке.

Распределение Гаусса (нормальное рас-

пределение): ∞, const

– распределение

√

плотности вероятности, где m непрерывно изменяющаяся величина( 1) (см.

рис. 3.2, б)).

Например: распределение молекул по компонентам скорости в состоянии теплового равновесия, распределение попаданий в мишень (прицельная стрельба), закон ошибок в метрологии.

В предельных случаях биномиальное распределение приобретает более простую математическую структуру. При решении конкретных задач, полезно, прежде всего, установить, относится ли рассматриваемая ситуация к ка- кому-либо предельному случаю. Если относится, то следует применить соответствующую формулу, что значительно упростит решение.

Среди примеров, относящихся к области применимости распределения Пуассона, особое внимание обратим на явление эффузии. Это явление заклю-

чается в следующем.				, мелен-
Газ, находящийся в сосуде при низком давлении
но истекает в окружающее сосуд разряженное	пространство через отверстие,
		~10	атм

размеры которого много меньше средней длины свободного пробега молекул

. Параметр равен среднему расстоянию, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями. Количество частиц , покидаю-

щих сосуд за малый интервал времени		с	, является случайной вели-
чиной, подчиняющейся закону редких	событий			. В дальнейшем мы
	∆ ~10		включая возможности его
рассмотрим различные аспекты этого процесса,			1

практического применения в экспериментальных исследованиях.

44

Контрольные вопросы

1.	Какое макроскопическое состояние идеального газа рассматривается при
выводе закона Бернулли?
2.	При выводе распределения вероятностей предполагается, что			. Что
следует из этого неравенства?
3.	Число микросостояний, посредством которых реализуется интересующее
нас макросостояние, записывается в виде Г		,	γ γ .	Объясните
смысл каждого сомножителя?
4. Как выражаются одночастичные вероятности		и	через объёмы	и ?

5.Докажите, что биномиальное распределение отвечает условию нормировки?

6.Выделите основные признаки случайных событий, которые описывает закон Бернулли? Приведите примеры.

7.	Чему равно наиболее вероятное значение	и среднее значение	?
8.	Чему равна дисперсия числа частиц в объёме ?
9.	Как зависит относительная флуктуация числа частиц от соотношения объ-

ёмов и ?

10.Запишите распределение Пуассона. Представьте его графически. Какие явления оно описывает?

11.Запишите распределение Гаусса. Представьте его графически. Какие явления оно описывает?

12.В чём заключается явление эффузии. Какой статистический закон применим для её описания?

45

ЛЕКЦИЯ 4

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА

4.1. Распределение энергии в статической системе

Одной из важнейших проблем молекулярной физики является вопрос о распределении энергии между отдельными частями изолированной системы. Первые теоретические исследования в этой области были проведены в середине XIX века английским физиком Джеймсом Кларком Максвеллом и австрийским учёным Людвигом Больцманом. Максвелл получил распределение молекул идеального газа по скоростям и, соответственно, по кинетическим энергиям. Больцман вывел, закон распределения частиц по энергиям во внешнем потенциальном поле. В те годы базовые понятия молекулярной статистики только начинали формироваться, канонов получения статических распределений не было. Поэтому учёные искали и находили оригинальные способы решения частных задач. В 1859 году Максвелл предложил достаточно сложный метод вывода своей знаменитой формулы. Чтобы не преодолевать трудности авторского подхода, мы обратимся к другому, более современному способу нахождения распределения.

Сорок лет спустя после открытия Максвелла американский физиктеоретик Джозайя Уиллард Гиббс вывел общий закон распределения энергии между подсистемами изолированной системы. Его метод поражает своей универсальностью и математической простотой. Поэтому сначала выведем распределение Гиббса, а затем получим закон Максвелла как его частный случай, когда подсистемой является одна частица, обладающая только кинетической энергией.

В дальнейшем нам предстоит ещё не раз обращаться к распределению Гиббса за поддержкой в обосновании законов молекулярной статистики.

Вывод распределения Гиббса

Описание системы

Рассмотрим систему, принадлежащую микроканоническому ансамблю, тогда любая её часть – подсистема, принадлежит каноническому ансамблю

(рис. 4.1).

46

Введем обозначения: εо – полная энергия системы; ε – энергия п одсисте мы; εо ε – энергия оставшейся части системы.

Рис. 4.1.

Актуальные свойства м одели системы

•Система находится в состоянии термодинам ического равновесия.

•Наличие силовых полей возможно, если это совмести мо с состоянием термодинамическо го равновесия.

•Структу ра подсистемы произвольна, её энергия может меняться дискретно или непрерывно.

•Единственное ограничение, которое должно выполняться всегда

ε

ε .

4.1

Постановка задачи

Какова вер оятность того, что рассматриваемая подсистема находится в состоянии с энергией ε ?

В ывод закона

Определение вероятности макросостояния (2. 15) справедливо для системы, принадле жащей м икроканоническому ансамблю, поэтому будем определять вероятность состояния подсистемы через ми кроскопические состояния всей системы.

Для простоты предположи м, что эн ергия подсистемы меняется дискретно.

• Запишем вероятность инт ересующ его нас макроскопического состояния системы

	Г	ε	ε	ε		Г Г	ε ε	ε ,		4.2
где				– число м икросостояний всей системы, посредством которых
осуществляется состояние с энергией					ε	у подсистемы, а			Г ε	– полное чис-
ло микросостояний системы.								expln ,
преобра•		Используя очевидное соотношение
		зуем (4.2 )
					47

ε	1	Г	.	4.3
	Г ε

Поскольку ε ε , а логарифм – медленно меняющаяся функция, разложим его в ряд Тейлора в точке ε по малому параметру ε , ограничившись в разложении линейным членом:

lnГ ε

ε

lnГ

ε

ε

∂lnГ

ε

,

4.4

Г

ε

∂ε

рых

здесь

– число микросостояний всей системы, посредством кото-

осуществляется состояние с нулевой энергией у рассматриваемой под-

системы.

• Введём обозначение для производной

β

lnГε

ε

0.

4.5

С увеличением энергии обычной физической системы число доступных ей микросостояний растёт, причём, крайне быстро, поэтому постоянная β- положительная величина. Она является характеристикой, как подсистемы, так и всей системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Через это фундаментальное свойство в статистике вводится термодинамическая температура:

1 β

,

4.6

где – коэффициент пропорциональности, называется постоянной Больцмана. Определение температуры (4.5–4.6) будем называть «первичным» или «из первых принципов». Существуют и другие способы определения температуры в молекулярной теории. Скоро вы с ними познакомитесь.

•Подставив выражение (4.4) в (4.3), используя параметр β, получаем

Гε

ε.

Гε

Постоянный множитель находится из условия нормировки вероятно-

стей.	.	4.7
Ответ:
ε

48

Если энергия подсистемы меняется непрерывно, то её значение фиксируется как ε, принадлежащая интервалу ε, ε ε . В этом случае распределение записывается в виде

ε

ε.

4.8

При выводе распределения Гиббса (его также называют каноническим распределением) мы по умолчанию полагали, что к состоянию с энергией ε приводит только одно микроскопическое состояние подсистемы.

Если это не так, то формулы (4.7) и (4.8) следует дополнить соответствующими множителями.

На схеме 4.1.1 приведены обобщенные формулы Гиббса для дискретного и непрерывного распределения энергии.

Схема 4.1.1.

Обобщённые формулы распределения Гиббса

Дискретное распределение энергии под-

Непрерывное распределение энергии под-

ε

системы:

4.9

ε

системы:

4.10

g ,

g ε

ρ ε

ε

где – кратность вырождения состояния

где

- плотность состояний с энергией

с

энергией или его статистический вес,

на интервале

.

g

ρ ε

- число микроскопическихε

состояний под-

ε

ε,ε

ε

системы, приводящих к состоянию с фик-

сированным значением ε .

4.2. Вывод распределения Максвелла

Описание системы

Система представляет собой классический идеальный газ, состоящий из тождественных частиц, в состоянии термодинамического равновесия. Внешние силовые поля отсутствуют. В качестве подсистемы рассматривается одна молекула, которая может обмениваться энергией с другими подсистемами (молекулами) в результате столкновений.

49

Актуальные свойства модели системы

• Подсистем – молекул очень большое число, следовательно, условие

εεо,

выполняется, поэтому для вывода закона можем использовать распределение Гиббса.

• Поскольку силовых полей нет, частица обладает только кинетической энергией

	ε		.	4.11
	Постановка2задачи
Какова вероятность	того, что частица обладает абсолютной ско-
ростью в интервале ,	?

Вывод закона

• По условию частица обладает только кинетической энергией, зависящей от абсолютной скорости (4.11), поэтому удобно перейти к новому аргументу

ε.

Следуя (4.10), запишем:

			,	4.12
где	– число микросостояний, которые приводят частицу к одной и той

же абсолютной скорости. Для его нахождения нам придётся вообразить пространство скоростей. Этот приём использовал Максвелл в своих оригинальных работах.

• Рассмотрим прямоугольную систему координат с осями , , , в которой отложим все возможные векторы скоростей любой молекулы газа. Концы этих векторов – скоростные точки. Совокупность всех скоростных точек образует трёхмерное пространство – пространство скоростей (рис. 4.2). Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Поэтому плотность точек может зависеть только от модуля скорости , а не от её направления

50