moskvich_fizika

Рис. 4.2.

• Число микросостояний с а бсолютной скоростью в интервале

,пропорциональн о объёму бесконечно тонкого шарового

слоя со средним радиусо м	и толщиной			(рис. 4.2 ).
Объём этого слоя равен
с ледовательно,		Ω		4π	,				4.13
• Подстави м (4.14) в (4.12), тогда				4	4π	.	.		4.14
				/					4.15
Постоянная , это п роизведе ние двух констант							и	. Е ё значение нахо-
дится из условия нормир овки вероятностей
		4π	1		/		.		4.16
Вычислив интеграл в знаменателе (4.16), получим
ответ:		β	/		/	4π		.	4.17
		2π

51

Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по абсолютным значениям скорости.

Прежде чем переходить к анализу полученной формулы проясним значение параметра β.

Найдём среднюю кинетическую энергию молекулы:

			3	1	.	4.18
2	2	2	2	β

Таким образом, β характеризует важнейшую величину статистической системы – среднюю кинетическую энергию молекул.

Используя формальное определение температуры (4.6) запишем

ε		3	,	4.19
	2	2
	2	ε .		4.20
	3

Формулы (4.19, 4.20) являются основными определениями температуры в статистике. Из них следует, что температура – это мера средней кинетической энергии молекул.

4.3. Плотность вероятности и характерные скорости распределения Максвелла

Плотность вероятности распределения (4.17) обозначим как						и за-
пишем её в явном виде, используя определение температуры,
				/	4π .	4.21
Примерный вид	для	различных температур приведён на рис. 4.3.
		2π

Борьба двух противоположных тенденций, а именно, убывание вероятности состояний с ростом скорости и возрастание плотности состояний приводят к образованию максимума функции и несимметричной форме колокольчика на графике.

52

Рис. 4 .3.

С увеличением температуры максимум функции смещается в сторону больших ск оростей, а его вел ичина у меньшается, при этом площ адь под каждой кривой остаётся равной единице.

Схема 4.3.1.

Ха рактерны е скорости распределения Максвелла

ость

Наиболее вероятная ско-

Средняя скор

Средняя квадратичная ско-

рость .

рость

.

Соответствует максимумув

По определению

среднего

кв

кв

функции

и опреде-

8

3 .

0.

в

.

π .

ляется из условия

,

к в

3

.

Обратите внимание, что все три характерные скорости пропорциональны, их числовые коэффи циенты имеют очень близкие значения и находятся в

пределах от √2 д о √3 .

Характерные скор ости молекул азота и кислорода при темп ературе T=300K равны примерно 400 – 50 0 м/с. Их величины сравнимы со скоростью звука в воздухе.

53

4.4. Распределение Максвелла по компонентам скорости

Формальный переход от сферической системы коорди нат в пространстве скоростей (р ис. 4.2) к декартовой (рис. 4.4) приводит закон Максвелла к следующему виду:

, ,				/							.			4.25
Это распределение отвечае2тπна вопрос: какова вероятность того, что
молекула обладает скоростью с компонент,					ами		,	,	,	в интервалах?				,
	Как,		видно из (4.2						,5), вероятность вы ражает-
ся произведением одномерных вероятностей, по-
скольку		по своей						сути		является вероятностью
произведения трех независимых событий:
где	,	,								,				4.26
Рис. 4.4.							2π			/			.	4.27
Аналогичный вид имеют вероятности

и. Одномерная пл отность

	вероятности типа		совпадает	с гаус-
	совской	функц ией	распределения и на
	графике	(рис.4. 5)	изображается	симмет-
	ричным колокольчиком.
	Площадь заштрихованной			полоски	,	Рис. 4. 5.
	на рис.	4.5 рав на вероятности того, что
	ия скорости молекулы лежи т в инте рвале					.
	проекцПриведённые выше формулы распределения					Максвелла для сфериче-

ской и декартовой систем координат позволяют находить средние значения различных микроскопических и макроскопических параметров, зависящих от абсолютной скорости или отдельных компонент скорости в соответствии с общей процедурой усреднения.

Для применения этих формул к системе частиц необходимо использовать теорему о сложени и вероятностей. Число частиц, скорости которых за-

ключены между ,	,	.	4.28
		54

Относительное число частиц со скоростями в том же интервале

.

4.29

Применение одномерного распределения к системе частиц даёт соответствующие формулы, определяющие абсолютное и относительное количество частиц с компонентами скорости , заключёнными в интервале

,.

,

.

4.30

Таким образом, абстрактная величина вероятности проявляется в конкретной и ясной форме: это не что иное, как доля частиц, обладающих той или иной скоростью.

4.5. Экспериментальная проверка распределения Максвелла

Закон Максвелла неоднократно подвергался экспериментальной проверке, начиная с опыта Штерна, осуществлённого в 1920 году. В большинстве опытов используется такое явление как эффузия. С помощью нескольких щелей получают узкий молекулярный пучок, который направляется на устройство, сортирующее молекулы по скоростям, после чего частицы регистрируют тем или иным способом. Для сортировки молекул наиболее часто используют метод вращающихся дисков (опыт Ламмерта) и метод вращающегося цилиндра (опыт Цартмана).

На схеме 4.5.1 дано краткое описание этих методов. Более подробное их описание можно найти в [14].

Существуют и принципиально иные способы проверки данного закона. Например, наблюдается экспериментально уширение линии спектра излучения, движущихся возбуждённых молекул газа за счёт эффекта Допплера. Ширина спектральных линий определяется распределением молекул по скоростям.

55

		Схема 4.5.1.
Измерительная схема Цартмана	И	змерительная схема Ламм ерта
Для сортировки молекул по скоростя м	Для сортировк и молекул по скоростям ис-
используется вращающийся цилиндр со	пользуется метод вращающихся д исков с
щелью:		щеля ми вдоль радиуса:

Когда щель попадает на линию пучка,

через неё внутрь цилиндра входит пор-

ция молекул.

Молекулы с различными скоростями

Если щели по вёрнуты на угол относи-

достигают противоположной стенки ци-

линд ра с различным запаздыванием по

тельно друг друга, то при

угловой скоро-

φ

отношению к моменту прохождения ще-

сти диски повернутся на угол

в тече-

ли и поэтому по падают на разные участ-

промежутка времени

t=φ/ω. Поэтому

ние ω

φ

ки внутренней стенки цилиндра. Точка

через обе щели, расстояние между кото-

попадания на стенке смещается против

рыми

, пройдут молекулы со скоростью

вращения на расстояние

Меняя

(или

) можно пропускат.

ь моле-

ω

ω ·

·

ω

кул ы с разными (определёнными) скоро-

где

- угловая скорость вращения,

ци-

ω

стями

линдра, - его

диаметр; – время пр о-

2

2

лета молекулы от щели до с тенки со ско-

ростью .

Измеряя число

молекул, п

опавших н

а

Измеряя число молекул, прошедших

различные участки, внутренней пове

рх-

сквозь щели в каждом опыте, выч сляют

ности цилиндра можно вычислить ра

с-

распределение молекул по скоростям.

пределение молекул в пучке по скоро

-

стям.

Регистрация молекул производится различными методами в зависимости от иx свойств. В простейшем случае они осаждаются на стеклянную пластинку и по степени прозра чности пластинки, измеряемой фотометрированием, можно судить об их числе.

Опытные проверки блистательно подтвердили справедливость распределения Максвелла.

56

	Контрольные вопросы
1.	На какой вопрос отвечает распределение Гиббса? Какова область его при-
менимости?		ε при выводе закона Гиббса?
2.	Как используется условие ε
3.	Как определяется параметр β в распределении Гиббса?

Какие существуют основания считать, что β 0?

4.Запишите распределение Гиббса в обобщенной форме, если энергия системы является а) непрерывной случайной величиной;

б) дискретной случайной величиной. Поясните смысл всех сомножителей в формуле.

5.На какой вопрос отвечает распределение Максвелла?

6.Что называется пространством скоростей? С какой целью эта модель используется при выводе распределения Максвелла?

7.	Как вычислить нормировочную постоянную в формуле Максвелла?
8.	Как определяется температура в статистике?
9.	График плотности вероятности		выглядит как асимметричный коло-
кольчик, а график		– как симметричный колокольчик. С чем это связа-
но?

10.Какие скорости молекул называются характерными? Чему они равны?

11.Как определить долю частиц в системе, обладающих абсолютной скоро-

стью в интервале	?
12. Как осуществлялась,	проверка распределения Максвелла в опыте Цартма-
на и в опыте Ламмерта?

57

ЛЕКЦИЯ 5

МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ

Критерием справедливости или истинности любой физической теории является эксперимент. Напомним, что одной из основных задач молекулярной статистики является установление связи между средними микроскопическими параметрами молекулярной системы и её макроскопическими характеристиками. Все макроскопические параметры системы могут быть получены из микроскопических представлений, но их экспериментальное определение требует макроскопических измерений.

Начнём с рассмотрения такого макроскопического параметра как давление. По определению, давление – это отношение силы, действующей нормально к поверхности, к величине этой поверхности. Силу можно выразить через изменение импульса:

В газе импульс					·	1	.	5.1
	передаётся стенке молекулами, сталкивающимися с

ней. Таким образом, из (5.1) следует, что давление газа – это величина, численно равная нормальной составляющей импульса, передаваемого молекулами газа за 1 секунду стенке сосуда площадью 1 квадратный метр. Исходя из этого заключения, проведём расчёт давления газа.

5.1. Вывод формулы для давления идеального газа

Описание системы

Рассматриваемая система – идеальный газ, который находится в сосуде в состоянии термодинамического равновесия. Внешних силовых полей нет.

Постановка задачи

На основе микроскопических представлений требуется получить уравнение, определяющее давление .

Актуальные свойства модели системы

Распределение молекул идеального газа по скоростям подчиняется закону Максвелла. Поскольку вклад в давление вносят только нормальные к стенке составляющие импульсов молекул, то для предстоящих расчетов потребуется применение одномерного распределения по компоненте скорости.

58

Отсутствие внешних воздействий позволяет считать концентрацию частиц одинаковой во всех частях сосуда.

Вывод уравнения

• Изобразим рассматриваемую систему на схематическом рисунке

(рис. 5.1):

Рис. 5.1.

Обозначим направление перпендикулярное стенке сосуда как ось X, тогда вклад в давление будут вносить только «иксовые» составляющие импульсов молекул, ударяющихся о стенку. Мысленно выделим цилиндр (он показан на рис. 5.1) объёмом , у которого площадь основания S=1м2, а длина равна

составляющей скорости . Индекс (+) обозначает направление вдоль оси к стенке. Длина цилиндра такова, что только те молекулы, которые находятся внутри цилиндра, успеют за 1 секунду достигнуть стенки сосуда и столкнуться с ней.

• Импульс, передаваемый одной молекулой сосуда при столкновении с

•		∆	2	.
ней равен
	Обозначим			вклад в давление, который даёт группа молекул, или

«команда», с некоторой фиксированной скоростью, точнее со скоростями в

интервале (	,	), тогда		,
где		- число молекул со скоростями		в выделённом объёме
цилиндра (рис. 5.1).
•		, где –	,	концентрация частиц, об-
ладающих скоростями в интервале (				);
		·	·1	,
				,

59

здесь

– равновесная концентрация молекул в объёме V,

–одномерная плотность вероятности распределения Максвелла.

•Таким образом,

2	.	5.2
• Полученное уравнение (5.2) интегрируем по	области	значений

0, ∞ , поскольку, летящие в отрицательном направлении молекулы

∞,0 не сталкиваются с данной стенкой сосуда, следовательно, не вносят вклад в давление:

2

2	/				.
	2
Ответ:	.				5.3
Подобные расчёты для компонент давления					дадут такой же ре-
зультат. Как и следовало ожидать, в изотропной среде, ,					давление газа изо-
тропно. Это утверждение известно как закон Паскаля					5.4
	.

В заключение обсудим вопрос о давлении, создаваемом смесью различных в химическом отношении газов. Отдельные компоненты смеси идеальных газов можно считать независимыми, поэтому каждая компонента создаёт давление равное (5.3). Полное давление смеси газа равно сумме давлений

компонент или сумме парциальных давлений

...

...

.

5.5

Таким образом, мы сформулировали закон Дальтона.

60