moskvich_fizika

Анализ этой схемы приводит нас к выводу, что, приступая к исследованию свойств молекулярной системы в конкретных условиях, требуется прежде всего ответить на два вопроса.

1.Можно ли считать систему идеальной (неидеальной)?

2.Классическая или квантовая модель применима к описанию молекулярной системы в данных условиях?

Классических и квантовых моделей, хорошо зарекомендовавших себя при решении различных задач молекулярной физики, достаточно много. С самыми популярными из них начнем знакомиться прямо сейчас.

2.2. Идеальные статистические системы

Продвигаться от простого к сложному – один из важнейших принципов стратегии обучения. Поэтому мы начнем освоение статистического подхода на примере молекулярных систем находящихся при таких условиях, когда их можно считать идеальными.

Замкнутая система, содержащая большое число структурных элементов, называется статистической системой. Полная энергия идеальной статистической системы является аддитивной величиной:

,	2.1
где – энергия структурного элемента системы,	– число структурных эле-

ментов системы. Чтобы применить (2.1) к реальной макросистеме необходимо определиться с моделью материального тела. Другими словами, необходимо выяснить каковы структурные элементы системы, какие формы движения им присущи в конкретных условиях и по каким законам классической или квантовой механики можно рассчитать их одночастичные энергии .

Если к структурным элементам системы применимы квантовые модели, то такую систему условимся называть квантовой системой. Соответственно, классической системой будем называть такую систему, в которой движения молекул подчиняются законам классической механики.

На схемах, приведенных ниже, даны краткие сведения об основных моделях идеальных систем и критерии их применимости. Модель идеального газа предназначена для описания поступательного движения частиц в конфигурационном пространстве. Для одноатомного газа характерно только такое движение. Обратите внимание, что использование классической модели идеального газа возможно при температурах значительно превышающих температуру вырождения , которая пропорциональна концентрации частиц в степени 2/3 и обратно пропорциональна массе молекулы газа.

21

случае многоатомного газа	его,	необходимо учитывать и
другиеВвиды движения в зависимости от,		температуры, такие как колеба-

ния атомов и вращения молекул. С этой целью в классической теории привлекаются механические модели молекул, а именно пространственные структуры материальных точек (шаров) с жесткими или упругими связями. В области применимости квантовых представлений применяются соответствующие модели осцилляторов и ротаторов с дискретными энергетическими состояниями.

Осциллятор – любая система, поведение которой обнаруживает устойчивый периодический характер.

Ротатор – вращающееся твердое тело.

Широко используемой в различных областях физики магнитных явлений, включая теорию ферромагнетизма и радиоспектроскопию, является модель системы спинов. Это сугубо квантовая модель, не имеющая классического аналога.

При решении задач вы с удивлением обнаружите, что некоторые состояния таких разных систем, как классический идеальный газ и система спинов описываются одним и тем же статистическим законом. Возможно, что восприятие вами квантовых моделей, особенно в первое время, будет сопряжено с некоторыми трудностями, имеющими скорее психологический, чем научный характер. Так получается, что мы изучаем молекулярную физику сразу после классической механики.

Не надо бояться квантовых моделей. Для понимания самого основного и существенного вполне достаточно той информации, что вы найдете на схемах 2.2.2 - 2.2.5. Не надо бояться квантовых моделей ещё и потому, что самой популярной моделью в нашем курсе будет классический идеальный газ (одноатомный и многоатомный). Скоро вы убедитесь, что эта простая модель позволяет рассмотреть очень широкий круг молекулярных явлений. Только сначала надо освоить язык теории вероятностей и молекулярной статистики.

22

Модели идеальных систем

Схема 2.2.2.

Классические модели

Квантовые модели

Идеальный газ

Молекула – материальная точка, объ-

Молекула – объект, подчиняющийся за-

ект классической механики. Частицы

конам квантовой механики. Ее движение

взаимодействуют по закону упругого

описывается волновой функцией.

столкновения шаров, только в момент

их максимального сближения

Температура вырождения газа

,

здесь m – масса молекулы,

– концентрация частиц,

k=1,38·10-23Дж·К-1 – постоянная Больцмана.

Критерий применимости модели:

Критерий применимости модели:

Отсутствует пространственная

Существует пространственная

конкуренция между частицами.

конкуренция частиц.

Энергия

поступательного движения

Энергия поступательного движения од-

одной частицы:

ной частицы:

.

,

где Lx, Ly, Lz – размеры сосуда, в котором

находится газ;

.,

– квантовые чис-

трех

, ,

1,2,3…

Любое

сочетание

ла.

,

квантовых чисел определяет одно из

разрешённых дискретных энергетических

состояний молекулы.

Примеры

0,2

• Все молекулярные газы (азот, кислород, водород, гелий) имеют

значит

они далеки от вырождения, и их следует рассматривать как классические системы.

• Электронный газ в хорошо проводящих металлах всегда вырожден, поскольку

за.

10

Для его описания подходит только квантовая модель идеального га-

его

• Электронный газ в таких устройствах как электронно-лучевые трубки, вакуумные

лампы (диоды, пентоды) соответствует модели классического идеального газа, по-

скольку его ~10 .

23

Схема 2.2.3.

Классические модели	Квантовые	модели

Система гармонических осцилляторов

Характеристическая температураколебаний молекул.

– частота колебаний осциллятора

Кр итерий применимости модели:

Критерий применимости модели:

.

.

Эн ергия одномерного осциллятора:

Энергия одномерного о сциллято ра:

,

, квантовое число оп-

f – жесткость

связи

р еделяет дискретные состояния

x – смещение относительно положения

0,1,2…

наи меньшая энергия,

равновесия.

эн ергия нулевых колебаний

(

0)

ме

ханическая

модель двухатомной мо-

лекулы с упругой связью.

24

Схема 2.2.4.

Классические модели	Квантовые модели

Система ротаторов

Характеристическая температура вращения молекулы

4π .

– момент инерции молекулы относительно оси вращения.

Критерий применимости модели:					Критерий применимости модели:
Энергия изменяется непрерывно по										.
					Энергетические уровни						дискретны.
степеням свободы. Энергия.				одномер-	Энергия одномерного ротатора:
ного ротатора:										квантовое число
									момент импульса частицы
			.		определяет				1 ,
	вр	2
– угловая					L, каждому				значению		соответствует
скорость					2l+1 возможных квантовых состояний.
		Максимальное число вращательных сте-
		пеней свободы равно трем:							. Для
		линейных молекул			максимальное число
					2.		вр	3
				вр

25

Схема 2.2.5.

Кван

товая модель

Система спинов

Спин –

специфическое квантовое свойство, собственный механический мо-

мент частицы. Спином характеризуются элементарные частицы ( электроны, про-

тоны), ядра атомов. Если заряженная частица обладает спином, то она обладает и

спиновым магнитным моментом проекции которого на выделенную ось принима-

ют

зна чений.

Энергия частицы,

обладающей магнитным моментом

во

внеш2

нем1магнитном поле В определяется скалярным произведением:

.

Квантовое число, определяющее это свойство – s, может приниматьε

целыеµ

и

полуцелые значения. Количество проекций спина на выделенное направление рав-

но

2

1

.

2

Пример.

Электрон обладает спином

,

проекция его механического момента на

случайным образом два значения:

выделенное направление может принимать1

2

1

2·

1 2,

·

.

Проекция магнитного момента электрона также может принимать одно из двух значений . Во внешнем магнитном поле В возм ожны два энергетических состояния электрона:

2.3. Элементарные сведения из теории вероятностей

Приведем самые основные и необходимые нам для дальнейшего обсуждения темы определения, аксиом ы и теоремы теор ии вероятностей. Для более обстоятельного ознакомления с ними рекомендуем [1 1,14] и, онечно, учебник по теории вероятностей [4]. Достаточно подробно с рассмотрением примеров этот учебный материал представ лен в наших методических указаниях к семинарским занятиям. Поэтому позволим себе прибегнуть к краткому стилю и зложения этой темы.

Случайные соб ытия

Случайное событие – событие, которое при осуществл ении некоторого комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. При мечание: осуществление некоторого комплекса условий в теории вероятности называется ис пытанием.

26

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении либо события А, либо события В, либо обоих этих событий. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

События независимы, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, наступило или не наступило другое событие.

События являются взаимно исключающими или несовместными, ес-

ли вероятность наступления одного события исключает наступление другого. Совокупность взаимно исключающих событий (попарно несовместно событий) образует полную группу, если каждый исход испытаний принадле-

жит ей.
Событие	называется достоверным, если оно должно наступить при
каждом испытании.
Событие	называется невозможным, если оно не происходит ни при
каком испытании.

Определения вероятности событий

Вероятность случайного события есть количественная мера ожидаемой возможности его появления.

Аксиоматическое определение вероятности. Каждому событию А соответствует неотрицательное действительное число . Это число назы-

вается вероятностью события . Классическое определение вероятности.

Вероятностью события	называют отношение числа благоприятствующих
этому событию исходов	к общему числу всех равновозможных несовмест-
ных исходов , образующих полную группу,
	/	1,		.	0/	0. 0	2.2
Согласно (2.2							1.

Требование равно возможности всех исходов испытаний является очень сильным. Если a priori нет способов обоснования этого положения, то следует воспользоваться другим (статистическим) определением вероятности.

27

Статистическое или частотное определение вероятности.

Вероятностью	случайного события			называется		предел отношения
числа испытаний	, в которых событие		произошло, к общему числу испы-
таний , при условии		∞	lim		.	2.3

Теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей взаимно исключающих событий. Вероятность суммы взаимно исключающих событий равна сумме вероятностей этих событий

. 2.4

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению этих событий

. 2.5

Условие нормировки вероятности

Рассмотрим совокупность взаимно исключающих событий, образующих полную группу. Согласно теореме сложения вероятностей взаимно исключающих событий:

1

1, 2.6

∑1 – условие нормировки вероятности.

Состояния физической системы всегда однозначны, т.е. образуют полную совокупность событий. Условие нормировки для вероятности состояния физической системы отражает факт: если физическая система существует,

то она находится в одном из доступных ей состояний.

28

Случайная величина

Случайной величиной называется величина, которая в результате испытаний примет одно из возможных (допустимых) значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Примечание. В молекулярных системах микроскопические параметры, такие как скорости, импульсы, энергии, отдельных частиц являются случайными частицами.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенной вероятностью.

Дискретную величину можно задавать в табличной форме , или графически в форме гистограммы.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Плотность вероятности

Если состояние системы характеризуется случайной величиной , принимающей любые значения от до , то определение вероятности (2.1) лишено смысла, поскольку множество значений не является счётным. В этом случае вероятность определяется в дифференциальной форме:

.

2.7

Утверждается, что для достаточно малого интервала изменений пропорциональна величине достаточно много интервала измерений переменной , а коэффициент пропорциональности не зависит от величины этого интервала и называется плотностью вероятности

. 2.8

Знание плотности вероятности позволяет найти вероятность для любой области, в которой определена плотность.

Условие нормировки для плотности вероятности записывается следующим образом

1. 2.9

29

Важными числовыми характеристиками случайной величины x являются ее среднее значение и дисперсия σ . Определения этих параметров приведены на схемах 2.3.1 и 2.3.2.

Схема 2.3.1.

Процедура усреднения случайных величин

Непрерывная величина	Дискретная величина

2.10	,	2.11
	суммирование по всем	доступным
где x – принимает значения в интер-	значениям параметра x.
вале (-∞,+∞);
f(x) – плотность вероятности
		Схема 2.3.2.

Флуктуация –

отклонение случайной величины от ее среднего значения.

Абсолютная мера флуктуации – дисперсия:

σ

,

(2.12)

σ – стандартное (среднеквадратичное) отклонение.

Относительная мера флуктуации:

α– относительное стандартное отклонение. (2.13)

2.4.Основные понятия молекулярной статистики

Состояния статистической системы подразделяют на макроскопические и микроскопические. Макроскопическим состояниям системы называется ее равновесное состояние, характеризующееся макроскопическими параметрами

(см. 1.5).

30