Лабораторная работа № 1.8 изучение законов динамики вращательного движения

Цель работы: экспериментальное изучение законов динамики вращательного движения.

Абсолютно твердым телом называется система материальных точек, взаимные расстояния между которыми не изменяются.Любое движение абсолютно твердого тела можно разложить на поступательное и вращательное. Поступательное движение твердого тела описывается теми же уравнениями, что и движение материальной точки.

Основное уравнение динамики вращательного движения в случае неподвижной оси вращения z удобно спроектировать на эту ось:

. (1)

Здесь L_z - проекция момента импульса, M_z - момент внешних сил относительно оси (см. предыдущий раздел).

Проекция момента импульса L_z связана с угловой скоростью  и моментом инерции I относительно этой оси:

. (2)

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела в этом случае определяется выражением:

E=I²/2 (3)

Момент инерции тела определяется формулой:

, (4)

где суммирование проводится по всем материальным точкам тела с массами m_i, r_i - расстояния от материальных точек до оси вращения. В случае непрерывного распределения масс эту формулу можно записать в интегральном виде:

(5)

Момент инерции величина аддитивная I=I_i.

Таблица 1.

Тело	Ось	Момент инерции
Шар радиуса r	любая ось
Диск радиуса r	ось перпендикулярная плоскости диска
Цилиндр радиуса rи высотойl	ось перпендикулярная оси симметрии
Цилиндр радиуса rи высотойl	ось симметрии
Тонкий стержень длинойl	ось перпендикулярная стержню
Куб с длиной ребра l	любая ось

Момент инерции I тела относительно любой оси АА’ можно найти, зная момент инерции I₀ относительно оси ВВ’, проходящей через центр масс тела параллельно оси АА’ при помощи теоремы Гюйгенса-Штейнера:

I=I₀+md ², (6)

где m - масса тела, d - расстояние между осями.

Iε=M, (7)

где I  момент инерции тела относительно оси, ε  угловое ускорение, M - момент силы относительно оси вращения.

Уравнение (7) отражает линейную зависимость ε от M. Эту зависимость можно проверить на опыте.

Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы относительно осей, проходящих через центры масс, приведены в таблице 1.

Лабораторная работа № 1.8а изучение законов динамики вращательного движения на маятнике обербека

Цель работы: изучение зависимости момента инерции маятника

от распределения массы в пространстве и проверка уравнения динамики вращательного движения

Приборы и принадлежности: прибор Обербека, секундомер,

измерительная линейка (рулетка).

Теория метода

Рассмотрим движение системы тел, изображенной на рис.1. Крестовина (маятник) с закрепленными на ней грузами массой каждый может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции крестовины без грузов .На блок намотана невесомая нерастяжимая нить, на которой закреплен груз массой т. При движении груза нить разматывается, и крестовина вращается с постоянным ускорением.

Движение системы описывается основным уравнением вращательного

движения и вторым законом Ньютона. Уравнение вращательного движения

относительно оси Z, совпадающей с осью вращения и направленной на рис.

1 от нас, имеет вид

, (8) где- угловое ускорение маятника;- его момент инерцииотносительно оси вращения, включающий момент инерции крестовины и момент инерции грузов; -алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси Z. В данной работе на шкив наматывается нить, к концу которой привязана гиря известной массы m. При падении гири сила натяжения нити T создает момент относительно оси вращения M=Tri, (8а) Второй закон Ньютона для тела массой т

Рис. 1

запишем в проекции на ось OY

, (9)

здесь а - ускорение поступательного движения груза массой т; - алгебраическая сумма проекций всех сил, приложенных к грузу.На груз т действует сила тяжести mg и сила натяжения нити .

Поскольку нить невесома, поэтому силы натяжения нити . Следовательно, силуТ можно найти из уравнения поступательного движения гири:

ma =mg -T, (9а)

где m  масса гири, а  его ускорение. Из этих уравнений получаем, что момент силы натяжения нити

С учетом того, что на маятник действуют момент силы натяжения нити и момент силы тренияв подшипниках, выражение (1) можно представить в виде

. (10)

Из этих уравнений (8а) и (9а) получаем, что момент силы натяжения нити

M = m(g -a)r. (10а)

Остальные внешние силы (сила тяжести маятника и сила реакции опоры) вращающего момента не создают, поскольку их линия действия пересекает ось вращения. Перераспределив массы на крестовине маятника, можно повторить опыты, и определить новые значения момента инерции I_z и момента силы натяжения нити M = m(g - a)r (момент силы трения измениться не должен), который приводит к вращению системы.

Если нить нерастяжима и нет проскальзывания между нитью и блоком, то ускорение поступательного движения груза и угловое ускорение маятника связаны соотношением С учетом этих дополнительных соотношений из (3) и (4) можно получить выражения для различных физических величин.

Определим соотношения, по которым из опыта с маятником Обербека можно легко рассчитать угловое ускорение маятника ε и момент силы . Кинематический закон движения груза связывает высоту падения груза h, линейное ускорение а, и время движения груза t: . В случае плотной намотки нерастяжимой нити ускорение, а связано с угловым ускорением ε соотношением ε = a/r. Ускорение, а можно определить, измеряя время t_i, в течение которого груз опускается на расстояние h:

(11)

Тогда (12)

Решая эти уравнения совместно, и учитывая, что , можно получить следующее выражение для момента силы натяжения

(13)

С учетом выражений (5) и (7), формула для момента силы трения перепишется в виде

(14)

Из уравнений (8) и (9) можно также определить момент инерции маятника Обербека:

(15)