Конспект лекций Дин метеорология_2003

заповнення областей зі зниженим тиском, але це, у свою чергу, знову викликає відхилення вітру.

3.2.2 Оцінки агеострофічних відхилень по полю геострофічного вітру або тиску

Визначення агеострофічних відхилень, незважаючи на удавану простоту визначальних математичних виразів, являє собою досить складну задачу. По-перше, тому, що не можна ототожнювати часові похідні: локальну й індивідуальну. По-друге, виміри швидкостей реального вітру завжди виконуються з меншою точністю, чим виміри тиску. Тому бажано побудувати такий алгоритм, який би дозволяв визначати агеострофічні відхилення винятково по полю тиску.

Дотепер ми розглядали рівняння Ейлера в повному обсязі, але якщо ми введемо в розгляд характерні масштаби швидкостей і відстаней окремо для горизонтальної і вертикальної площин відповідноU , L, W , Z , то

очевидно, що для крупномасштабних процесів WZ << UL або WU UL <<1, а це

означає, що останній член у повній похідній, відповідальний за вертикальний перенос, менший інших доданків і ним можна знехтувати. Тоді дістанемо систему з двох рівнянь для визначення агеострофічних складових вітру:

u' = −

1

∂v

+ u

∂v

+ v

∂v

v′ =

1

∂u

+ u

∂u

+ v

∂u

(3.34)

,

l

∂t

∂ x

l

∂t

∂ x

∂ y

∂ y

Рішення даної нелінійної системи з відповідними умовами може бути отримано дуже приблизно. На практиці, однак, звичайно використовують прийом І.О.Кібеля, який запропонував зробити наступні перетворення. Представимо складові швидкості у вигляді суми геострофічного вітру та агеострофічного відхилення і підставимо їх у виписану систему рівнянь.

1 ∂vg

∂v'

∂vg

∂v'

∂vg

∂v'

u' = −

+

+ (u g

+

+ (vg

+

,

l

∂t

∂t

+ u')

∂ x

+ v')

∂ y

∂ x

∂ y

1 ∂ug

∂u'

∂ug

∂u'

∂ug

∂u'

v' =

+

+ (ug

+

+ (vg

+

l

∂t

∂t

+ u')

∂ x

+ v')

∂ y

.

∂ x

∂ y

Відкинувши всі доданки, що містять як множники u', v' , ми дістанемо

систему рівнянь, що складається тільки з геострофічних складових:

u' = −

1

∂vg

+ u

∂vg

+ v

∂vg

,

v' =

1

∂ug

+ +u

∂ug

+ v

∂u g

.(3.35)

g

g

g

g

l

∂ x

l

∂ x

∂ y

∂t

∂ y

∂t

91

Якщо тепер зробити підстановку виразів для складових геострофічного вітру через горизонтальні градієнти тиску (3.3), то можна отримати явні вирази для зв'язку агеострофічних відхилень з полем тиску:

1

∂

1

∂ p

1 ∂ p

∂

1

∂ p

1

∂ p

∂

1 ∂ p

u' = −

−

+

l

+

l ρ ∂ y

∂ y

∂t l ρ ∂ x

∂ x l ρ ∂ x

l ρ ∂ x

l ρ ∂ x

1

1 ∂ ∂ p

1 ∂ p ∂

2

p

1

1

∂l ∂ p

1 ∂

2

p

∂ p

= −

−

+

−

+

l

l ρ ∂ x ∂t

2

∂ y

2

2

∂ y

∂ x

l ρ ∂ x ∂ y

( l ρ)

∂ x

l ρ ∂ x

l

ρ

1

∂ ∂ p

1

∂ p ∂ 2 p

∂ p ∂2 p

=

+

−

,

2

3

2

2

l

ρ

∂ x ∂t

l

ρ

∂ y

∂ x

∂ x ∂ x ∂ y

v' =

1

∂

1 ∂ p

1 ∂ p

∂

1 ∂ p

1

∂ p

∂

−

1

−

+

−

−

+

l

l ρ ∂ y

l ρ ∂ y

∂ x

l ρ

∂t

l ρ ∂ y

l ρ ∂ x ∂ y

1

1 ∂ ∂ p

1 ∂ p ∂

2

p

1

1

∂l ∂ p 1 ∂

2

p

∂ p

=

−

+

+

2

−

2

l

l ρ ∂ y ∂t

l ρ ∂ y ∂ x ∂ y

ρ ∂ y ∂ y

l

ρ ∂ y

l ρ ∂ x l

1

∂ ∂ p

1

∂ p ∂

2

p

∂ p ∂

2

p

= −

+

−

2

3

2

2

.

l

ρ ∂ y ∂t

l

ρ

∂ y ∂ x ∂ y

∂ x ∂ y

=

=

∂∂ py =

=

(3.36)

Тут прийняті сталість густини уздовж ізобаричної поверхні і незмінність параметра Коріоліса від широти.

3.2.3 Роль агеострофічних відхилень вітру

уформуванні вертикальних рухів в атмосфері

Незважаючи на малість агеострофічних відхилень, відомо, що з ними пов'язані поява дивергенції маси і розвиток вертикальних рухів, які відіграють важливу роль в еволюції баричних утворень і розвитку хмарності. Розглянемо роль агеострофічних відхилень у формуванні вертикальних рухів. З цією метою скористаємося рівнянням нерозривності для стисливої рідини і визначимо зміни вертикального потоку кількості руху (або вертикальної швидкості, що при сталості густини одне і теж):

∂ ρw		∂ ρ	∂ ρu		∂ ρv	(3.37)
∂ z	= −	∂ t −	∂ x	+	∂ y
і проінтегруємо його від z1 до z2 . Тоді отримаємо

	z2	∂ ρu			∂ ρv		z2	∂ ρ
	ρ 2 w2 − ρ1w1 = − ∫			+		d z −	∫		d z .	(3.38)
			∂ x		∂ y			∂ t
	z						z
	1						1
						92

Перетворимо спочатку перший доданок правої частини рівняння. Скористаємося складовими швидкості у вигляді суми u = u′+ ug , v = v′+ vg , а далі виразимо складові геострофічного вітру через

градієнти тиску. Виконуючи послідовно зазначені операції і нескладні перетворення, знаходимо:

∂ ρu

∂ ρv

∂ ρ(ug

+ u′)

∂ ρ(vg + v′)

=

−

+

= −

+

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

∂ ρu′

∂ ρv′

∂

1 ∂ p

∂

1 ∂ p

= −

+

−

−

+

=

∂ x

∂ y

∂ y

∂ x

l ∂ y

l

∂ x

∂ ρu′

∂ ρv′

1 ∂ l

∂ p

1

∂ 2 p

1 ∂ 2 p

1

∂ l ∂ p

= −

+

−

−

+

−

=

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

l

∂ x∂ y

l ∂ x∂ y

l 2

l 2

∂ y ∂ x

∂ ρu′

∂ ρv′

1

∂ l ∂ p

∂ ρu′

∂ ρv′

ctgϕ

ρvg .

= −

+

+

= −

+

+

∂ x

∂ y

l 2 ∂ y ∂ x

∂ x

∂ y

R

Тут R – радіус Землі.

Підстановка отриманих формул у підінтегральний вираз дає наступне рівняння для оцінки вертикальних рухів:

z2

∂ ρu′

∂ ρv′

z2

ctgϕ

z2

∂ ρ

ρ2 w2 − ρ1w1 = − ∫

+

d z +

∫

ρvg d z − ∫

d z ,

(3.39)

∂ x

∂ y

R

∂t

z

z

z

1

1

1

з якого випливає, що зміни вертикальної кількості руху з висотою обумовлені внеском агеострофічних складових швидкості, меридіонального градієнта сили Коріоліса і локальними змінами густини.

Виконаємо оцінку ролі останніх двох доданків.

z2

ctgϕ

ρvg d z=

ctgϕ z2

∂ p

d z .

ρ2 w2 − ρ1w1 = ∫

∫

∂ x

(3.40)

R

z

l R z

1

1

Припускаючи, що густина і градієнт тиску усередині шару не

змінюються по висоті, а також, що

cosϕ

≈1, приходимо до оцінки зміни

sin 2 ϕ

вертикальної швидкості за рахунок зміни градієнта сили Коріоліса

w

− w =

∆ z ∂ p

≈ 9 10−7 ∆ z

2ω ρ R ∂ x

2

1

і наступного правила: якщо градієнт середнього тиску в шарі росте з заходу на схід, то на верхній границі розглянутого шару висхідні течії будуть більші (а низхідні – менші), ніж на нижньому рівні. Додамо, що нами для кількісної оцінки були використані середні значення параметрів і

93

значення зонального

градієнта

тиску

з розглянутої вище таблиці

М.І.Юдіна.

Перетворення третього доданка правої частини рівняння здійснимо за

допомогою рівняння статики:

∂ p

= −g ρ або

∂ p

= −ρ d z . Тоді

∂ z

g

z2

∂ ρ

∂

p2 ∂ p

1 ∂ p

2

∂ p

− ∫

d z

=

∫

=

−

1

.

∂ t

∂t

g

∂t

∂t

z

p

g

1

1

При виконанні зазначених вище припущень оцінка зміни

вертикальних швидкостей може бути здійснена за допомогою виразу:

w

− w =

1

∂ p

2

−

∂ p

1

,

(3.41)

ρ g

∂t

∂t

2

1

з якого випливає, що зміни вертикальної швидкості з висотою можуть бути пов'язані з розходженням локальних змін тиску на різних висотах. Якщо тиск на більшій висоті росте швидше (убуває повільніше), то висхідні течії будуть збільшуватися з висотою (нисхідні – убувати).

Використовуючи дані таблиці М.І.Юдіна, визначимо внесок цього фактора таким чином:

w2 − w1 = ρ1g ∂∂z2∂pt ≈ 3 10−7 ∆ z .

Однак, як показують оцінки, зміни вертикальної швидкості в середньому складають w2 − w1 ≈ 3 10−4 , тобто вони на кілька порядків

величини більше внеску розглянутих вище доданків. Звідси випливає, що вертикальні течії у вільній атмосфері при геострофічному вітрі практично відсутні і що основний внесок у їх формування вносять зміни агеострофічних відхилень вітру.

Дістанемо тепер формули для оцінки вертикальних рухів з урахуванням співвідношень для агеострофічних складових вітру, які можна виразити через геострофічні складові і градієнти тиску (3.35) і (3.36). Припустимо, що густина не змінюється в горизонтальній площині. Тоді

z2 ∂ ρu′

∂ ρv′

ρ2 w2 − ρ1w1 = − ∫

+

d z =

∂ x

∂ y

z

z2

1

1 ∂

∂vg

+u

∂vg

+ v

∂vg

= −

∫

ρ

−

g

g

∂t

∂ x

∂ y

z

l ∂ x

1

1 ∂

∂ug

+u

∂ug

+ v

∂ug

d z =

+

g

g

∂t

∂ x

∂ y

l ∂ y

94

1 z2

∂ ∂vg

∂ug ∂vg

∂2 vg

∂vg ∂vg

∂2 vg

=

∫

ρ

+

+ug

+

+ vg

−

l

∂t

∂ x

∂ x

∂ x

∂ x2

∂ x

∂ y

∂ x∂ y

z

1

∂

∂u

g

∂u

g

∂u

g

∂2 u

g

∂v

g

∂u

g

∂2 u

g

−

+

+u

+

+ v

d z =

∂t ∂ y

∂ y

∂ x

g ∂ x ∂ y

∂ y ∂ y

g ∂ y2

(3.42)

1 z2

1 z2

∂Ωg,z

∂ug

∂vg

∂Ωg,z

∂Ωg,z

d Ωg,z

=

∫

ρ

+ Ω

+

+u

+ v

d z =

∫

ρ

,

g,z

g

g

l

∂t

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

l

d t

z

z

1

∂vg

∂ug

1

де

Ωg,z

=

−

-

вертикальна

складова геострофічного

вихора.

∂ x

∂ y

Другим доданком, що описує дивергенцію геострофічного вітру, можна зневажити, і тоді вплив агеострофічного вітру на вертикальну швидкість можна розглядати тільки через вплив властивостей вихора геострофічного вітру. Іншими словами, зміна вертикальної швидкості з висотою, яка пов′язана з агеострофічністю потока, пропорційна середньому по шару значенню повної похідної від геострофічного вихора.

Виразимо вертикальну складову вихора за допомогою градієнтів тиску:

Ωg,z

=

∂vg

−

∂ug

=

∂ 1

∂ p

−

∂

−

1

∂ p

=

∂ x

∂ y

∂ x

l ρ ∂ x

∂ y

l ρ ∂ y

.

(3.43)

1

∂2 p

∂ 2 p

1

=

2

+

2

=

∆ p

∂ x

∂ y

l ρ

l ρ

Використовуючи отриману рівність і геострофічні співвідношення, дістанемо наступний вираз для оцінки зміни вертикального потоку кількості руху:

ρ2 w2 −ρ1w1

1

z2

∂

1 ∂ p

∂

∂ p

∂

∆ p d z =

=

∫

+

−

l 2

∂t

∂ y

∂ y

z

ρl ∂ x

∂ x

1

(3.44)

1

z2

∂∆ p

1

z2

1

∂ p ∂∆ p

∂ p ∂∆ p

=

∫

d z +

∫

−

d z.

l 2

∂t

l3

ρ

∂ x ∂ y

∂ y ∂ x

z

z

1

1

Дана формула дозволяє обчислити зміни вертикальної швидкості у вільній атмосфері за рахунок агеострофічних відхилень вітру тільки по полю тиску, але для цього треба мати поля ізобар і ізалобар. Слід зазначити, що, як показують оцінки обох підінтегральних виразів, зроблені на підставі таблиці М.І.Юдіна, вони мають однаковий порядок величин, 4·10-6 і 3,2·10-6 відповідно і тому ними не можна знехтувати.

95

3.3 Рівняння вихора

Основною вимогою, що ставиться до прогностичного рівняння, є вимога про те, щоб локальна похідна була одного порядку величини з іншими головними членами рівняння. Тоді визначення часової похідної з прогностичного рівняння не буде пов'язано з утратою точності. Відмітимо, що для крупномасштабних рухів у вільній атмосфері з великою точністю справедливе геострофічне наближення і рухи вважаються квазігеострофічними. Це означає, що часові похідні малі в порівнянні з іншими членами рівнянь руху і є малими різницями великих величин. Тому необхідно виконати такі перетворення рівнянь руху, щоб отримати нові рівняння, в яких би часова похідна була не другорядною величиною. Саме таким рівнянням і є рівняння вихора. Оскільки в атмосферних задачах найбільш значущою є вертикальна складова вихору, розглянемо виведення тільки для цієї складової, використовуючи перше і друге рівняння руху.

3.3.1 Виведення рівняння вихора

Розглянемо рівняння горизонтального руху нестисливої рідини для атмосфери, які записані для декартової системи координат у вигляді, що

враховує повний запис складових сили Коріоліса:

∂u

+u

∂u

+ v

∂u

+ w

∂u

= −

1 ∂p

+ 2ωzv −2ωyw + Nx

∂t

∂x

∂y

∂z

ρ ∂x

∂v

+u

∂v

+ v

∂v

+ w

∂v

= −

1 ∂p

−(2ωzu − 2ωxw) + N y ,

(3.45)

∂t

∂x

∂y

∂z

ρ ∂y

де Ni - складові сили тертя, ωi - складові кутової швидкості обертання Землі, інші позначення загально прийняті. Продиференціюємо перше рівняння по у, а друге по х, при цьому будемо вважати густину функцією горизонтальних координат ρ =ρ (x,y)

∂ 2u

+u

∂

2u

+

∂u ∂u

+

∂ v ∂u

+ v

∂ 2u

+

∂ w

∂u

+ w

∂ 2u

=

∂t∂ y

∂ y∂ x

∂ y ∂ x

∂ y ∂ y

∂ y2

∂ y

∂ z

∂ y∂ z

= −

1 ∂ 2 p

+

1

∂ p ∂ ρ

+ 2ωz

∂ v

+ v

∂( 2ωz )

− 2ωy

∂ w

− w

∂( 2ωy )

+

∂ N x

,

ρ ∂ x∂ y

ρ2

∂ x ∂ y

∂ y

∂ y

∂ y

∂ y

∂ y

96

∂ 2 v

+u

∂ 2 v

+

∂ v

∂u

+

∂ v ∂ v

+ v

∂ 2 v

+

∂ w∂ v

+ w

∂ 2 v

=

∂t∂ y

∂ x2

∂ y

∂ x

∂ x ∂ y

∂ y∂ x

∂ x ∂ z

∂ x∂ z

= −

1 ∂ 2 p

+

1 ∂ p ∂ ρ

− 2ωz

∂u

+ −u

∂( 2ωz

)

+ 2ωx

∂ w

+ w

∂( 2ωx

)

+

∂ N y

.

ρ ∂ x∂ y

ρ2 ∂ y ∂ x

∂ x

∂ x

∂ x

∂ x

∂ x

Віднімемо від другого продиференційованого рівняння перше, приведемо

подібні члени, виконаємо нескладні перетворення, щоб виділити в явному

вигляді вертикальну складову вихора: Ωz

=

∂v

−

∂u .

∂x

∂y

∂ ∂v

∂u

+u

∂

∂v

∂u

∂u

∂v

∂u

+v

∂v ∂v

∂u

−

−

+

−

−

+

∂x

∂y

∂x

∂x

∂y

∂x

∂x

∂y

∂y

∂x

∂y

∂t

+

∂v

∂v

−

∂u

+

∂w ∂v

−

∂w ∂u

+ w

∂

∂v

−

∂u

=

∂x

∂y

∂x ∂z

∂y ∂z

∂z

∂x

∂y

∂y

=

1

∂p

∂ρ

−

∂p ∂ρ

+

∂N y

−

∂N

x

− 2ωz

∂u

− u

∂(2ω

z

)

+

ρ2

∂y

∂x

∂x ∂y

∂x

∂y

∂x

∂x

+ 2ωx

∂w

+ w

∂(2ω

x

)

− 2ωz

∂v

− v

∂(2ω

z

)

+ 2ωy

∂w

+ w

∂(2ωy )

=

∂x

∂x

∂y

∂y

∂y

∂y

1

∂ p

∂ ρ

∂ p ∂ ρ

∂ N y

∂ N x

∂u

∂ v

∂

2ωz

∂

2ωz

=

−

+

−

− 2ωz

+

− u

+ v

+

ρ2

∂ y

∂ x

∂ x

∂ y

∂ x

∂ x

∂ y

∂ x ∂ y

∂ y

∂ (2ω

x

)

∂ (2ωy )

∂ w

∂ w

+ w

+

+ 2ωx

+ 2ωy

.

∂ x

∂ y

∂ x

∂ y

∂ωz

У

правій

частині

додамо

і

віднімемо

доданок

w

, що

дозволить

∂z

скомпонувати

два

нові доданки,

причому

в

першому

приймемо,

що

u

∂ (2ωz )

+ v ∂ (2ωz ) + w ∂ (2ωz )

=

d(2ωz )

, тому що

∂(2ωz )

= 0

∂ x

∂ y

∂ z

dt

∂t

а друге

∂2ωy

∂2ω

∂2ω

z

G

x

+

+

= wdiv(2ω) .

w

∂x

∂y

∂z

G

Оскільки кутова швидкість обертання Землі не змінюється, то div(2ω) = 0 .

Перетворимо доданки, що залишилися у правій і лівій частинах

рівняння: додамо і віднімемо доданок

∂w ∂w

−

∂w ∂w :

∂x ∂y

∂x ∂y

97

∂w ∂w −		∂w ∂w		+	∂w ∂v
∂x ∂y		∂x ∂y			∂x ∂z
=	∂w ∂v	−	∂w	−	∂w ∂u
	∂x ∂z		∂y		∂y ∂z

∂w

= − (Ωx + 2ωx ) ∂x − (Ωy

∂w ∂u

− ∂y ∂z − 2ωx

− ∂w − 2ωx ∂x

∂w

+ 2ωy ) ∂y .

∂∂wx − 2ωy ∂∂wy =

	∂w	− 2ωy	∂w	=
	∂x		∂y

Збираючи послідовно всі перетворені частини рівняння, отримаємо:

d (Ω

z

+ 2ω

z

)

∂u

∂v

∂w

∂w

+ (Ωz + 2ωz )

+

−

(Ωx + 2ωx )

∂x

−(Ωy + 2ωy )

∂y

=

dt

∂x

∂y

=

1

∂p ∂ρ

−

∂p ∂ρ

+

∂N y

−

∂N x

.

(3.46)

ρ2

∂y ∂x

∂x

∂y

∂x ∂y

(Тут

Ωx =

∂w

−∂v ,

Ωy =

∂u

−

∂w

- горизонтальні

складові

вихору.)

∂z

∂x

∂y

∂z

Останнє рівняння і є рівняння вихора в декартовій системі координат. Іноді вказують, що це рівняння являє собою проекцію векторного рівняння вихора на вісь z.

Виконаємо аналогічні перетворення для рівнянь руху в ізобаричній системі координат

∂u

+ u

∂u

+ v

∂u

+ τ

∂u

= −

∂Ф

+ 2ωz v − 2ωy w + N x ,

∂t

∂x

∂y

∂p

∂x

∂v

∂v

∂v

∂v

∂Ф

(3.47)

+ u

+ v

+ τ

= −

− (2ωz u − 2ωx w) + N y

∂t

∂x

∂y

∂p

∂y

де Ф - геопотенціал,

	τ =	d p		gw	= −gρw	(3.48)
		dt		∂Ф

∂p

-аналог вертикальної швидкості. У результаті дістанемо відоме рівняння вихора:

d (Ωp	+ 2ωz )					∂u
				+ (Ωp + 2ωz )
dt							∂x
=		∂N y	−		∂N x	.
		∂x			∂y

+

∂v

+

∂τ ∂v

−

∂τ ∂u

−2ωx

∂w

−2ωy

∂w

=

∂x ∂p

∂y ∂p

∂x

∂y

∂y

(3.49)

Звернемо увагу на те, що в цьому й у вихідному рівнянні складові u, v, w являють собою складові швидкості в декартовій системі координат, які виражені чрез функції змінних (t, x, y, p).

98

Ми тут найретельніше аналізуємо тільки вертикальну складову

	вихору: Ωz	=	∂v	−	∂u	або Ωр =	∂v	−	∂u	. Але при цьому необхідно
			∂x		∂y		∂x		∂y

пам'ятати, що хоча її запис у декартовій і ізобаричній системах координат зовні не відрізняється один від іншого, однак відмінність складається в способі взяття похідних, що визначають вихор: в ізобаричній системі координат похідні беруться уздовж ізобаричної поверхні, а в декартовій - в горизонтальній площині.

Варто звернути увагу також на те, що в результаті виконання даної операції до рівнянь руху нестисливої рідини, записаних в ізобаричній системі координат, члени, що містять баричний градієнт, взаємно знищуються і тому часова похідна стає одного порядку з іншими головними членами цього рівняння. Отже, рівняння вихору може бути використане в якості прогностичного для визначення полів вітру, не зважаючи на те, що воно при цьому і не відбиває яких-небудь нових законів для атмосферних процесів. Однак фізичне тлумачення рівняння вихора в ізобаричній системі координат провести важко, оскільки дана система координат не ортогональна. Тому його інтерпретацію зручно провести для його запису в декартовій системі координат, який наведено вище, а паралельно виконати порівняльний аналіз рівнянь у декартовій і ізобаричній системах координат.

3.3.2Тлумачення рівняння вихора

Звідомого визначення вихору подвійна кутова швидкість обертання Землі ( 2ω ) еквівалентна вихору переносної швидкості. Тоді сума переносного (або планетарного) і відносного вихора

Ωax = (Ωx + 2ωx ), Ωay = (Ωy + 2ωy ), Ωaz = (Ωz + 2ωz )

(3.50)

буде являти собою абсолютний вихор.

Геометричне тлумачення вимагає просторового розгляду рівнянь для ще двох складових вихора. Вони отримуються аналогічно попередньому, але з використанням третього рівняння руху6 . Ми скористаємося лише деякими з отриманих доданків для ілюстрації наших міркувань. Тим більше, що структура рівнянь однакова: складові абсолютного вихру помножуються на складові тензора деформації. І отже зміна вихора

відбувається внаслідок дивергенції (конвергенції) швидкості

6 Ці рівняння легко дістати за допомогою послідовної кругової перестановки: x→y, y→z, z→x; u→v, v→w, w→u.

99

(розширення/стискання) і зсуву вихрових трубок7 . При аналізі рівнянь для трьох складових вихору можна виділити доданки двох типів:

∂v

∂w

∂w

∂u

∂u

∂v

I. Ωax

+

,

Ωay

∂z

+

,

Ωaz

+

∂y

∂x

∂z

∂x

∂y

II. − Ωax

∂w

− Ωay

∂w

, − Ωay

∂u

− Ωaz

∂u

,

− Ωaz

∂v

− Ωax

∂v

.

∂x

∂y

∂z

∂z

∂y

∂x

Перша група містить діагональні члени тензора деформації й описує зміни вихора за рахунок дивергенції швидкості, а друга - зміни вихора за рахунок деформації зсува. Інакше кажучи, ці доданки відносяться до «фактора дивергенції» або до «фактора зсува»

О.Фрідман показав, що ці обидва фактори не є вихороутворюючими. Це означає, що при незмінних правих частинах цих рівнянь (для трьох складових вихору), вихрові трубки не руйнуються і не створюються знову, а їхня інтенсивність зберігається при русі. При цьому очевидно, що при відсутності деформації всі ці доданки обертаються в нуль. Опишемо коротко міркування О.Фрідмана.

Дивергентний фактор простіше розглянути для випадку, коли вектор абсолютного вихора спрямований по осі z. Тоді з рівняння вихора випливає, що у випадку позитивної дивергенції швидкості зміна вихора має зворотний знак, тобто збільшення з часом горизонтального перерізу вихрової трубки відповідає зменшенню абсолютного значення вихора.

Якщо представити дивергенцію у вигляді ∂∂ux + ∂∂vy = σ1 ddσt , де σ - площа

поперечного перерізу елементарної трубки, перпендикулярної до напрямку z. Розглянемо спрощення рівняння вихора:

1

d(Ωz +

2ωz )

+

1 dσ

=

dln Ωaz

+

d lnσ

=

d(ln Ωaz + lnσ)

= 0.

(Ωz + 2ωz )

dt

σ dt

dt

dt

dt

7 Векторною лінією називають вихрову лінію, яка складається з векторів кутової швидкості елементарних об′ємів у даний момент часу. Вихорова лінія представляє собою криволінійну вісь обертання элементарних об′ємів бусинок, що обертаються і які не приймають участі в процесі деформації. Якщо провести через рідкі частинки деякий контур, то вихрові лінії, що проходять крізь нього, створюють вихрову поверхню. Частинка рідини, яка обмежена цією вихровою поверхнею і яка проведена через замкнутий контур, представляє собою вихрову трубку. Якщо контур нескінчено малий, то вихрова трубка вважається элементарною. Вихрові трубки не можуть закінчуватися всередині рідини: вони або створюють замкнені кільця, або спираються на стінки посудини чиGвільної поверхніG . Поток вихора є мірою інтенсивності вихрової

трубки: I = Fσ ( rotV ) = ∫rotVdσ . Поток вектора крізь поверхню σ може бути

σ

інтерпретований як об′ємна витрата рідини.

100