Конспект лекций Дин метеорология_2003

		∂u			∂u				∂u
	u' = u +	dx +				dy +				dz + члени вищого порядку,
		∂x			∂y				∂z
				∂v				∂v
		∂v
	v' = v +	dx +				dy+		∂z		dz + члени вищого порядку,
		∂x		∂y

	∂w			∂w			∂w
w' = w +	∂x	dx +		∂y	dy+		∂z	dz + члени вищого порядку.

Перетворимо ці вирази таким чином, щоб ввести замість диференціальних відносин їхні суми і різниці, що мають аналоги у вигляді розглянутих вище кінематичних характеристик поля швидкості. Розглянемо ці перетворення на прикладі першого рівняння для зональної складової швидкості. З цією метою додамо і віднімемо в правій частині

наступні величини

1 ∂v dy

і

1

∂w

dz . Тоді після відповідного групування

2 ∂x

2 ∂x

доданків отримаємо:

1

∂u

∂w

1

∂v

∂u

∂u

u'= u +

∂z

−

dz −

∂x

−

dy + dx +

2

∂x

2

∂y

∂x

1

∂u

∂v

1

∂u

∂w

+

∂y

+

∂x

dy+

+

dz

2

2 ∂z

∂x

Відзначимо, що перші два доданки являють собою відповідну проекцію вектора вихору швидкості на вісь х:

1

G G

1

1

∂u

∂w

1

∂v

∂u

[ΩdR]

=

(Ω

y

dz −Ω

z

dy), Ω

y

=

∂ z

−

, Ω

z

=

∂ x

−

.

2

2

2

2

x

∂ x

∂ y

З урахуванням зроблених перетворень перепишемо рівняння для складової u у вигляді

		1	G G		∂ u	1	∂
	u' = u +		[Ω dR]x +		dx +			∂
		2				2
					∂ x

	u		∂ v	1		∂ u		∂ w
	y	+	dy +			∂ z	+	dz
				2
			∂ x					∂ x

Виконуючи аналогічні перетворення для інших складових швидкості, знайдемо

1

G G

∂ v

1 ∂ u

∂ v

1

∂ v

∂ w

v' = v +

[Ω dR]y +

dy +

+

dx+

+

dz

2

2

∂ y

2

∂ z

∂

∂ y

∂ x

y

1

G G

∂ w

1

∂ w

∂ v

1 ∂ w

∂ u

w' = w +

[Ω dR]z +

d z

+

∂ y

+

dy +

+

d x ,

2

де

∂ z

2

∂ z

2 ∂ x

∂ z

G G

G G

1

1

1

1

[ΩdR]y

=

(Ωz dx −Ωx dz),

[ΩdR]z

=

(Ωx dy −Ω y dx).

2

2

2

2

21

Ми бачимо, що перші два доданки зображають відомі поступальну й

обертальну

складові

G

руху

точки

M':

V0 = u iG + v Gj + w k ,

1

G G

1

G G

G G

G

G G

G

ωG

=

[ΩdR]=

{[ΩdR]

i

+[ΩdR]

y

j

+[ΩdR]

k }, а інші три є складовими

2

2

x

z

швидкості деформації частинки. Отримані співвідношення дають математичний вираз теореми Коші-Гельмгольца про розкладання швидкості частинки рідини або газу. Цю теорему, записану у векторній

	формі,
	G	G		1	G G	G
	V	=V0	+		[Ω dR]+V Д		(1.30)
				2

можна сформулювати наступним чином: у всякий момент часу швидкість

VG у точці М, що належить будь-якій нескінченно малій частинці повітря, дорівнює векторнійGсумі трьох швидкостей:

1) швидкості V0 , що характеризує її поступальний рух і є однакової

для всіх точок частки, 2) лінійної швидкості, обумовленої обертанням частинки навколо осі,

що проходить через точку М, з кутовою швидкістю, яка дорівнює половині векторного добутку вихору швидкості12[ΩGdRG] в точці М.

3) швидкості деформації V Д в точці М, що виникає в результаті

зміни форми й об′єму частинки.

Деформація повітряної частинки виражається за допомогою тензора швидкостей деформації, який запишемо у вигляді:

	Дxx		Дxy
					Дxz
	Д		Д		Д		(1.31)
Д =		yx		yy		.
	Д		Д		Д	yz
		zx		zy
						zz

Діагональні складові називаються швидкостями стиснення або розтягання в напрямку осей координат і пов'язані з відносними змінами

об′єму частинки:
Дxx =	∂u	, Дyy =	∂v	,	Дzz =	∂w	.	(1.32)
	∂x		∂y
						∂z

Якщо складові швидкості руху точок збільшуються в напрямках координатних осей, то відповідні складові додатні, а відстані між частками збільшуються, тобто відбувається розтягання ліній і збільшення об′єму. Якщо складові швидкості руху точок убувають у напрямку координатних осей, Дxx < 0, Дyy < 0, Дzz < 0 , то відбувається стиск лінії і зменшення

об′єму частинки.

Інші симетричні складові тензора,

22

Дxz =Дzx =	1	(		∂u		+		∂w		),		Дxy = Дyx =	1	(	∂u	+	∂v	) ,
	2												2		∂y
				∂z				∂x									∂x
			1		(∂v				∂w								(1.33)
Дyz = Дyz =							+				)
		2
					∂z				∂y

називають швидкостями скошування прямих кутів, оскільки вони характеризують зміни форми частинки, зумовлені нерівномірністю розподілу швидкостей точок у двох взаємно перпендикулярних напрямках. Приклад такого скошування наведений на рис.1.9. Для простоти розглянемо плоский випадок. У точках С, А і В швидкості визначені таким чином, що має місце наростання складових меридіональної і зональної складових у зональному і меридіональному напрямках. У результаті такого розподілу швидкостей відбувається скіс прямого кута в точці А. Неважко навести приклади, коли в результаті скошування прямого кута утворюється не гострий, а тупий кут.

Рис.1.9 - Деформації, що приводять до скошування прямих кутів [10]

1.1.6 Типи полів вітру.

Слід відзначити, що отримані рівняння для складових швидкості в точці М′ (рис.1.8) відносяться до лінійних полів руху, оскільки були відкинуті доданки вищих порядків. Їхня кінематична інтерпретація, наприклад, для плоского руху полягає в тому, що члени цих рівнянь являють собою чотири типи руху з різними диференціальними властивостями, при реалізації яких двовимірний шар повітря може бути

23

переведений з одного положення в інше за допомогою переносу,

деформації, розширення (стиску) і обертання. Розглянемо кожен тип руху окремо, ніби у «чистому» вигляді (рис. 1.10).

1.Перенос. Складові швидкості не залежать від координат і тому будь-який замкнений фізичний ланцюг частинок, що бере участь у русі, не буде піддаватися зміні форми. А це означає, що всі індивідуальні частки будуть переміщатися з однаковою швидкістю в одному й тому ж напрямку.

2.Деформація. Деформація являє собою швидкість, з якою деяка площина, оточена замкненою фізичною кривою, змінює свою форму. Так, якщо початкова форма була квадратом, то одиничний квадрат трансформується в прямокутник тієї ж площини, розтягнутий у напрямку осі розтягання і стиснутий у напрямку осі стиснення. Якщо початковий об'єкт - коло, то це швидкість перетворення даного кола в еліпс. Складові чистої деформації можуть бути представлені у вигляді Х-деформації, що відбувається уздовж осі х, осі розтягання, і У-деформації, що відбувається уздовж осі у, осі стиснення. Загальна деформація являє собою гіперболічні криві з осями х и у як асимптотами.

3.Розширення (стиснення). Поле руху буде представлено у вигляді розширення (стиснення) площини, оточеної замкненою фізичною кривою. Тоді дивергенція буде дорівнювати зміні площини частинки, що рухається, за одиницю часу.

4.Обертання. Воно визначає обертання навколо центра (х=0, у=0) з вектором швидкості, перпендикулярним до радіуса, і величиною пропорційною відстані від центра.

Однак, для інтерпретації різних типів крупномасштабних циркуляційних систем атмосфери особливий інтерес набувають комбінації цих виділених «чистих» складових полів.

Розглянемо спочатку такі типи руху, при яких деформаційні складові більше від обертальних, за відсутністю дивергентної складової (рис. 1.11).

При Ωz=0 маємо чисту деформацію, а при накладанні невеликого позитивного обертання (Ωz>0) осі відтоку і втоку відхиляються від осей розтягання і стиснення і наближаються одна до другої у першому і четвертому квадратах. Циклонічні лінії течії стають більш вигнутими, а антициклональні менш вигнутими. Відповідно при накладанні негативного обертання (Ωz<0) осі відтоку і втоку наближаються до осей розтягання і стиснення відповідно в другому і четвертому квадратах, антициклональна кривизна зменшується, а циклонічна збільшується.

24

Рис. 1.10	- Складові руху лінійного поля [9]
A) однорідний перенос, B) Х - деформація, C) У - деформація, D) загальна деформація; E) дивергенція
(розширення по площині), F) конвергенція	(стиснення по площині), G) додатне та H) від′ємне обертання.
	25

Рис. 1.11 - Гіперболічні системи ліній струму: деформація з накладеним обертанням

А) нейтральна сідловина, У) циклонічна сідловина, С) антициклональна сідловина.

Якщо тепер розглянути випадки з перевагою обертальної складової над деформаційною, то можна бачити відсутність прямолінійних течій і перетворення кругових течій в еліптичні (рис. 1.12В та 1.12Е), а при накладенні ще і невеликої дивергенції (конвергенції) течії набувають вигляду збіжної або розбіжної спіралі (рис. 1.12С і 1.12F).

Рис.1.12 - Центральні системи без прямих ліній струму [9]:

A) чисте позитивне обертання, B) позитивне обертання з накладанням невеликої деформації, C) те ж з накладанням конвергенції; D) чисте негативне обертання, E) негативне обертання з накладанням невеликої деформації, F) те ж саме з накладанням дивергенції

26

1.2 Сили, що діють в атмосфері

Їх поділяють на масові і поверхневі. Їх визначення і властивості будуть розглянуті нижче, але спочатку нагадаємо деякі важливі визначення і співвідношення, пов'язані з використаною системою координат.

1.2.1 Абсолютний і відносний рухи

Переміщення тіл або мас у просторі фіксується за допомогою визначеної системи координат. Вони підрозділяються на інерційні і неінерційні. Перші пов'язані з квазінерухомими зірками. Інакше кажучи, інерціальною системою відліку називають таку систему, стосовно якої виконується закон інерції. Геліоцентрична система відліку є інерціальною системою відліку з великим ступенем точності. З іншого боку, усяка система, що рухається прискорено відносно інерціальної системи, є неінерціальна. Система відліку, яка жорстко пов'язана з Землею, так звана геоцентрична система, унаслідок добового обертання останньої є неінерціальна. Звідси випливає, що розходження в закономірностях руху в інерціальних і неінерціальних системах відліку полягає в тому, що тільки в інерціальних системах відліку виконуються закони Н′ютона.

Нагадаємо, що абсолютним рухом точки називається її рух стосовно будь-якої інерціальної системи відліку, так званою абсолютною системою відліку. Відносним рухом точки називають її рух стосовно системи відліку,

яка рухається, тобто відносної системою відліку. Переносним рухом називають абсолютний рух тієї точки рухливої системи, через яку ця точка проходить у даний момент часу.

На Землі атмосфера обертається разом із планетою. Будь-яка повітряна частинка обертається разом із Землею, а, з іншого боку, рухається відносно поверхні Землі, що обертається. Швидкість, яка створюється твердотільним обертанням Землі, залежить від широти місця і складає кілька сотень метрів за секунду, а швидкості, що спостерігають в атмосфері - десятки метрів за секунду. Отже, швидкість руху повітря являє собою дуже малу величину у порівнянні із швидкістю твердотільного обертання Землі. Оскільки нас буде цікавить тільки рух атмосфери щодо Землі, то для опису таких рухів корисно перейти до обертової системи координат. Введення такої системи дозволяє виключити з розгляду твердотільне обертання і розглядати тільки малі відхилення від нього, які далі будемо звати вітрами. Однак, опис рухів щодо обертової системи відліку не може бути отримано за допомогою методів, які використовуються у межах інерціальної системи відліку. Отже, необхідно отримати такий вираз для прискорення, який би містив у собі додаткові прискорення, які обумовлені прискоренням неінерційної системи відліку відносно інерціальної. У разі переносу цих додаткових прискорень в праву

27

частину рівняння, яке виражає другий закон Н′ютона, вони можуть розглядатися як додаткові сили, або сили інерції. Ці сили відрізняються від звичайних сил, тому що вони обумовлені не дією будь-яких тіл на дане тіло (частинку), а наявністю прискорення неінерціальної системи відліку відносно інерціальної, у даному випадку геліоцентричній. Тоді, з урахуванням усіх діючих сил, другий закон Н′ютона буде виконуватися і відносно неінерційної системи відліку.

Розглянемо довільний вектор A у двох декартовых системах координат. Нехай система координат XYZ – нерухома, а система Х'УZ' – обертоваGразом із Землею навколо осі Z. Визначимо повну похідну від

вектора A . У курсі Gфізики було показано, що повна похідна від будь-якого

змінного вектора A в нерухомій системі координат виражається через похідну від цього вектора щодо обертової системи координат і векторний

добуток кутової швидкості обертання системи координат на цей вектор:
G			G	G	(1.34)
(d A / dt)a =(dА/ dt)r +[ωА] .
Розглянемо тепер радіус-вектор R якої-небудь точки М, що рухається,
в рухомій і нерухомій системах координат (рис. 1.13)
G	iG	x +	Gj y + kG	z
R	=	G	G
	G
	i ' x'+ j' y'+k ' z'

і підставимо його в отриману повну похідну замість вектора A .

Рис. 1.13 - Швидкість зміни довільного вектора в інерціальній і неінерціальній системах координат [10]

28

Тоді будемо мати

G

G

G

(d R / dt)a =(d R / dt)r +[ωR] .

Але, з урахуванням того, що vGa = (d R / dt)a

- абсолютна швидкість точки

М, а vG

= ( d RG

/ dt ) - відносна швидкість, можна отримати

Gr

G

G G

r

(1.35)

va =vr +[ωR]

.

Якщо

тепер

змінити

векторA у

(1.34)

на

вектор

швидкості

абсолютного

G

руху,

GG

то

чисто

формально

отримаємо

G

далі, підставивши замість абсолютної

(dva / dt)a

=(dva / dt)r +[ωva ] , а

швидкості її вираз (1.35), будемо мати

G

G

G

G

G

G

G

( dv

a

/ dt ) ={d( v

r

+[ωR ])/ dt}

+[ω,( v

r

+[ωR ])] .

Тут

a

r

G

G G

G

G

{d( vr

+[ωR ])/ dt}r ={dvr / dt

+d [ωR ] / dt}r =

=

G

G

G

G

G

G

GG

( dvr / dt )r + [ωd R / dt ] + [ Rdω/ dt ] =( dvr

/ dt )r +[ωvr ],

G

G

G G

GG

G

G

[ω,( vr +[ωR ])]=[ωvr

]+[ω[ωR ]] ,

dvaG/Gdt= ( dGvr G/ dGt )r +[Gωvr ] +

GG

G G

+[ωvr ]+[ω[ωR ]]=( dvr / dt )r + 2[ωvr

]+[ω

[ωR ]] .

G

Враховуючи

вираз

для

2 G

подвійного

векторного

добутку

G

G

G G

G

G G

де

r - радіус

обертання

точки М

[ω

[ωR ]]=ω

[ Rω

] − R(ωω ) =−ω

r ,

навколо осі z, остаточно маємо:

2 G

G

G

GG

(1.36)

dva

/ dt=(dvr / dt)r + 2[ωvr ]− ω

r.

Відзначимо, що в метеорології основне значення має швидкість руху частинок повітря відносного обертової Землі і відповідне прискорення стосовно поверхні Землі, а саме:

G	G	GG	2	G	(1.37)
( dvr / dt )r =dva / dt− 2[ ωvr ]+ ω				r .

Тут перший доданок - прискорення абсолютного руху частинок відносно інерціальної системи відліку, другий - коріолісове прискорення і третій - відцентрове прискорення, що не залежить від швидкості частинок. Надалі будемо вважати, що вектор відносної швидкості - це швидкість вітру, і нижній індекс будемо опускати.

1.2.2 Масові сили

Масовими (або зовнішніми) силами називають сили, що діють на всі точки суцільного середовища, тобто їх дія не залежить від присутності інших частинок (рідини, газу). Такими силами в атмосфері є сила земного тяжіння, відцентрова сила і сила Коріоліса. Розглянемо природу цих сил і

29

їх математичні вирази. Нагадаємо, що тут і далі всі сили будуть розглядатися як питомі, тобто на одиницю маси.

У геофізиці звичайно вводять силу ваги як векторну суму двох зовнішніх сил:Gсили земного тяжіння ( FТ ), спрямованої до центра Землі, і

відцентрової Fц , що виникає внаслідок обертання Землі і спрямована по

радіусу широтного кола (рис.1.14):
G	G	G		(1.38)
g	=F	+F .
	Т	ц	−γ M RG
		G
Сила тяжіння на частинку одиничної маси дорівнює FТ =					, де γ
			R3

- гравітаційна стала, М - маса Землі, R - радіус-вектор, що з'єднує центри Землі і частинки; R - відстань між центрами мас Землі і частинки повітря. Величина відцентрової сили (на одиницю маси) залежить від радіуса

широтного кола і географічної широти:
G	G G G	2	G		F		=ω	2	r=ω	2	Rcosϕ . У порівнянні із силою
F	=[ω[ωr ]= −ω		r;
ц					ц

тяжіння відцентрова сила дуже мала і в міру наближення до полюса вона взагалі зменшується до нуля. Відповідно, сила ваги також залежить від широти: вона максимальна на полюсі і мінімальна на екваторі. Її оцінка, оскільки питома сила ваги виражається через прискорення вільного падіння, має вигляд:

g z,ϕ =g 0,45D (1−a1cos2ϕ)(1−a2 z) ,

де a =2,6 10−3		, a	2	=3,14 10−7	м−1.
1

Рис. 1.14 - Сили, що діють на обертову частинку [10]

30