Конспект лекций Дин метеорология_2003

Якщо підінтегральна функція неперервна і диференційована, то отримане співвідношення повинне виконуватися для будь-якого елементарного об′єму і його можна записати у диференціальній формі:2

∂ρa / ∂t=−divρaV +I .

(2.4)

Рівняння балансу в диференціальній формі показує, що зміна з часом даної субстанції в одиничному і фіксованому в просторі об′ємі зумовлена

наявністю джерел/стоків субстанції і припливом її ззовні.
Використовуючи	відому		формулу	векторного	аналізу
divρaVG=ρadivVG+V grad(ρa)		і	поняття	індивідуальної	похідної,
перепишемо рівнянняG	балансу для деякої субстанції а у звичному вигляді:
dρa / dt=−ρadivV	+I .				(2.5)

2.3 Рівняння балансу маси або рівняння нерозривності

Розглянемо застосування загального рівняння балансу (2.4) до побудови рівняння балансу маси. Як відомо, атмосферне повітря є сумішшю газів, тому почнемо з рівняння для i-того газу. Нехай ρi - його

густина, а ci =ρi / ρ - масова концентрація. Тоді, вважаючи, що a ≡ ci ,

перепишемо рівняння балансу для i-того компонента повітря у вигляді:
∂ρci / ∂t=−div(ρciVG)+Ii .	(2.6)

Це рівняння характеризує зміну концентрації даного компонента повітря в одиничному об′ємі в результаті припливу (відтоку) маси в даний об′єм ззовні і наявності джерел (стоків) всередині. Для повітря джерела можуть бути пов'язані з фазовими переходами, хімічними реакціями та іонізацією газів. Останнє має місце у верхній атмосфері і нами не розглядається. Звернемо увагу на те, що рівняння такого вигляду можуть бути використані для опису змін концентрації забруднюючих речовин, що надходять в атмосферу від різних джерел (наземних обо тих, що знаходяться в атмосфері).

Підсумовуючи рівняння по всім i-тим складовим можна отримати рівняння збереження маси (повітря). Але спочатку випишемо кілька використованих при цьому співвідношень:

k	ρi =ρ,	k	k
∑		∑ci =1,	∑Ii =0.
i=1		i=1	i=1

2 Проте, якщо нас буде цікавить розривне поле, наприклад таке, що містить фронтальні розділи, то в цьому випадку необхідно залишити інтегральну форму.

41

Тут k - число газових компонентів у повітрі. Перші два співвідношення очевидні, а останній вираз означає, що будь-які зміни маси i-тих компонент, що сталися в результаті дії різних джерел (стоків), можуть змінити маси цих компонентів, але повна маса при цьому не змінюється. Розглянемо послідовно перетворення кожного доданка, скорочуючи позначення границь підсумовувань.

Σ∂ρci / ∂tG=∂/∂t(Σρci )G=∂/∂t(ρΣci )=∂ρ/∂t

,

Σdiv(ρciV )=div(ΣρciV )=div(ρVΣci )=div(ρV ) .

Остаточно маємо:

G

∂ ρ

G

∂ ρ

G

G

d ρ

∂ t

+ div(ρV ) =

∂ t

+V gradρ + ρ divV

=

+ ρ divV

= 0

(2.7)

d t

або

∂ ρ

G

∂ ρ u

∂ ρ v

∂ ρ w

−

+

+

(2.8)

∂ t

= div(ρV ) =

∂ x

∂ y

∂ z

.

Останнє рівняння показує, що зменшення маси одиничного об′єму дорівнює її переносу через границі.

Рівняння (2.7) (чи теж саме (2.8)) описує закон збереження маси:

зміна густини за одиницю часу в точці обумовлена тільки різницею потоків маси, що втікають і витікають з одиничного об′єму за одиницю часу, а всілякі джерела дорівнюють нулю. Це рівняння також

називають рівняння нерозривності для стисливої рідини.
Найбільш важливий випадок отриманого рівняння є
divVG =0 .	(2.9)

Воно може мати місце:

а) у зв'язку зі стаціонарним рухом будь-якої рідини, і б) при русі нестисливої однорідної рідини.

Фізичний зміст цього рівняння: при відсутності локальної зміни

густини маса рідини, що втікає в даний обсяг, повинна дорівнювати масі рідини, що витікає з об′єму. Дане рівняння має назву рівняння нерозривності для нестисливої рідини.

2.4 Рівняння руху як закон збереження кількості руху

Вище ми дали визначення і відповідні математичні вирази для запису масових і поверхневих сил, що діють в атмосфері. Для виведення рівняння збереження кількості руху використовується другий закон Н′ютона, що виконується тільки для інерціальних систем відліку. Нагадаємо його зміст: всяка зміна кількості руху тіла за одиницю часу дорівнює рівнодіючій сил, прикладених до даного тіла, і відбувається в напрямку цієї рівнодіючої.

42

Отже, прискорений рух частинок повітря має бути пов'язаний з дією прикладених до них сил.

Нагадаємо, щоG кількістю руху (імпульсом) матеріальної точки називаєтьсяGвектор KiG, якийG дорівнює добутку маси точки mi на її

швидкість Vi , тобто: Ki =mi Vi . Нехай нескінченно мала частинка повітря об′ємом δτ має густину ρ. Тоді кількість руху нескінченно малої частинки,

яка володіє

абсолютною швидкістю Va

і

масою

δm =ρδτ

,

буде

G

ρδτ

G

дорівнювати

δ K = ρ δτ Va , а

швидкість

її

зміни

в

часі

d(

Va )

. З

dt

урахуванням

сталості маси,

швидкість

зміни

кількості руху

для

елементарного об′єму буде визначатися виразом ρδτ

dVa

, а всього об′єму:

dt

K= ∫∫∫ρ dVGa dτ .

τdt

Представимо рівнодіючу силу як суму результуючих масових і поверхневихG сил. Зовнішні (масові) сили на одиницю маси позначимо через FM і визначимо їх дію по всьому об′єму як ∫∫∫ρFM dτ. Результуючу

τ

поверхневих сил, що діють на одиницю поверхні, позначимо через рn і визначимо її дію на зовнішню поверхню, що обмежує даний об′єм τ, через інтеграл по замкненій поверхні S як ∫∫ pGn dS .

S

Дорівнюючи зміну кількості руху рівнодіючих сил, масових і

поверхневих, отримаємо векторне рівняння для визначення зміни кількості руху повітря в атмосфері:

G

∫∫∫τ ρ dVdta dτ = ∫∫∫τ ρFGM dτ + ∫∫S pGn dS

Відповідно до теореми Остроградського-Гаусса виразимо поверхневий інтеграл через об'ємний, при цьому скористаємося розкладанням результуючої поверхневих сил на її складові до трьох взаємно перпендикулярних площин, що утворюють грані елементарного

тетраедра:

G

G

∫∫∫

dVa

∫∫∫

∫∫

G

∫∫∫

∫∫∫

G

ρ

dt

dτ =

ρF dτ

+

p

n

dS =

ρF dτ +

div p

n

dτ =

τ

τ

M

S

τ

M

τ

∂pG

∂pG

G

∂p y

= ∫∫∫ρFM dτ + ∫∫∫

x

z

+

+

∂x

∂y

∂z

dτ .

τ

τ

43

Підставляючи ліворуч у підінтегральний вираз співвідношення для абсолютного прискорення (1.36) і представляючи явно результуючу масову силу, знаходимо зміну відносного прискорення в результаті дії масових і поверхневих результуючих сил (індекс «r» далі опускаємо, якщо

розглядається швидкість вітру):

dVG

G

G

∂ p

y

G

G

G

∂ px

∂ pz

∫∫∫ρ

dτ = ∫∫∫{− ρg − ρ( 2[

ωV

+

+

(2.10)

dt

] +

∂ x

∂ y

∂ z

dτ .

τ

τ

Це і

є

закон збереження

кількості

руху в

інтегральній

формі.

Враховуючи довільність об′єму і, відносячи всі сили до одиниці маси, отримуємо векторну форму диференціального рівняння збереження кількості руху

dVG

G

1

G

∂ p

y

G

G

G

∂ px

∂ pz

= − g

− 2[ωV

] +

+

+

(2.11)

dt

∂ x

∂ y

∂ z

.

ρ

Ця форма

рівнянь

руху має

назву

рівняння руху

атмосфери в

напруженнях Нав′є. Проектуючи його на осі координат, можна отримати відомі скалярні рівняння руху.

2.5 Різні форми рівняння руху

Покажемо далі, що в залежності від формулювання гіпотези для опису поверхневих сил можуть бути отримані різні форми рівнянь руху. Таку операцію зручно зробити, вдавшись до приведеної вище форми зв'язку між напруженнями і деформаціями (1.50) - (1.51).

Перепишемо рівняння руху в тензорних позначеннях:

dVi

=

∂Vi

+V j

∂Vi

=− g

δ3i

−

2(ω jVk −ωkV j ) +

1

∂p ji

,

(2.12)

dt

∂t

∂x j

ρ

∂x j

0

i ≠ 3

де i =1,2,3; j =1,2,3;k =1,2,3; δ

- символ Кронікера. Доданки

3i

=

i = 3

1

справа представляють відповідно сили ваги, Коріоліса і поверхневі (напруження), віднесені на одиницю маси.

В’язка стислива рідина. У н’ютонівській в'язкій рідини тиск у точці являє собою, узяте зі зворотним знаком, середнє арифметичне трьох

нормальних напружень p = − 13 ( pxx + p yy + pzz ) , прикладених до трьох

взаємно перпендикулярних площадок. Використовуючи вирази для напружень (1.50-1.51) у вигляді

	pij =− pδij + 2µσij −	2	µδij	∂Vi	,
		3
				∂xi

44

		∂V j							•j = i
		∂xi
									•
	деσij =	1		∂V			∂V j
			(		i	+		)	j ≠ i
		2		∂x j			∂xi

представимо поверхневі сили в першому рівнянні руху:

∂ p

xx +

∂ pyx

+

∂ p

zx =

∂ y

∂ x

∂ z

= −

∂ p

+ 2µ

∂

∂ u

+ µ

∂

(

∂ u +

∂ v ) + µ

∂

(

∂ u

+

∂ w

) −

2

µ

∂

divVG =

∂ x

∂ x ∂ x

∂ y

∂ z

3

∂ x

∂ y

∂ x

∂ z

∂ x

= −

∂ p

+ µ ∂ 2u

+ µ

∂

∂ u

+ µ ∂ 2u + µ

∂

∂ v

+ µ

∂ 2u

+ µ

∂

∂ w

−

2

µ

∂

divVG =

∂ x

∂ x ∂ x

∂ x ∂ y

∂ z2

3

∂ x

∂ x2

∂ y2

∂ x ∂ z

=−∂∂ xp + µ∆u + µ ∂∂x ( ∂∂ ux + ∂∂ vy + ∂∂wz ) − 23 µ ∂∂x divVG =

=−∂∂ xp + µ∆u + 13 µ ∂∂x divVG.

Приймаючи до уваги, що µ=υρ, і поділяючи отриманий вираз на ρ, маємо

1

∂ p

∂ p yx

∂ p

1 ∂ p

v ∂

G

xx

+

+

zx

= −

+ v∆u +

divV .

∂ x

∂ y

∂ z

ρ ∂ x

3 ∂ x

ρ

де ∆ = 2 =

∂ 2

+

∂ 2

+

∂ 2

- оператор Лапласа.

∂ x 2

∂ y

2

∂ z2

Виконуючи аналогічні перетворення для інших рівнянь руху,

випишемо рівняння руху Нав’є-Стокса для опису динаміки в‘язкої

стисливої рідини (газу) у тензорних позначеннях:

divVG.(2.13)

∂Vi

+V

∂Vi

=−

1

∂ p

− gδ

− 2(ω

V

−ω

V

) + v∆V +

v

∂

j ∂ x j

∂t

ρ ∂ xi

3i

j

k

k

j

i

3 ∂ xi

1

2

3

4

4

З

отриманих

рівнянь

випливає,

що

зміна

швидкості повітряної

частинки відбуваються в результаті дії сил баричного градієнта (1), ваги (2), Коріоліса (3) і сил молекулярної в'язкості (4), з яких перша й остання відносяться до поверхневих, а друга і третя - до масових.

В′язка нестислива рідина. Зробимо перетворення проекцій напружень на координатні осі з урахуванням припущення нестисливості газу, тобто

divVG = ∂V j = 0 :

∂x j

45

∂p

xx +

∂pyx

+

∂p

zx

= −

∂p

+ 2µ

∂ ∂u

+µ

∂

(

∂u

+

∂v

) +µ

∂

(

∂u

+

∂w

) =

∂y

∂x

∂x ∂x

∂y

∂y

∂x

∂z

∂z

∂x

∂x

∂z

= −

∂p

+µ 2u +µ

∂

(

∂u +

∂v

+

∂w

) = −

∂p

+µ 2u

∂x

∂x

∂x

∂x

∂y

∂z

Виконуючи аналогічні перетворення з іншими рівняннями руху,

отримаємо рівняння руху Нав′є-Стокса									для в'язкої нестисливої рідини
(газу).
	∂Vi		∂Vi		1 ∂ p					2
		+V j		=−				− gδ3i − 2(ω jVk −ωkV j ) + v		Vi .	(2.13')
	∂t		∂ x j		ρ		∂ x j

Ідеальна рідина. В′язкі напруження відсутні по площинах стикання об′ємів повітря, що рухаються: діють тільки нормальні до них сили гідродинамічного тиску, які не залежать від напрямку площадок, до яких вони прикладені: Pxx = Pyy = Pzz = −р. Нагадаємо, що знак мінус

вводиться для підкреслення протилежності напрямку вектора нормального напруження напрямку орта нормалі до лицевої сторони площини. Таким чином, маємо

dVi

=∂Vi +V j

∂Vi

=−

1

∂p

− gδ3i − 2( ωjVk −ωkV j )

(2.14)

dt

∂t

∂x j

ρ ∂x j

- рівняння руху у формі Ейлера для ідеальної атмосфери в тензорних

позначеннях.

G

Атмосфера

у стані спокою. Швидкості вітру

дорівнюють нулю:

V

= 0 або

Vi = 0 . Тоді

в рівняннях руху всі доданки, які пов'язані зі

швидкостю вітру, дорівнюють нулю і залишаються тільки ті складові, що не залежать прямо від швидкості. Що стосується поверхневих сил, то для атмосфери, що знаходиться у стані спокою, дотичні напруження дорівнюють нулю, а нормальні являють собою силу гідростатичного

тиску, що діє в усіх напрямках однаково Pxx = Pyy = Pzz					= −р. Тоді
0=− gδ3i −	1		∂p	.	(2.15)
	ρ ∂xi

Звернемо увагу на те, що з отриманих рівнянь дуже важливе значення має третє рівняння руху - рівняння статики, яке є основою для визначення розподілу тиску в атмосфері при заданому вертикальному розподілі густини повітря або температури. Воно виконується з великою точністю практично завжди, за винятком термиків і купчастих хмар, де відбуваються значні вертикальні рухи.

Таким чином, ми показали, що в залежності від формулювання гіпотези щодо опису поверхневих сил можуть бути отримані різні форми запису рівнянь руху.

46

2.6 Закони збереження енергії

Зміст закону збереження енергії для термодинамічних систем, до яких належить атмосфера, краще зрозуміти, якщо розглянути його як узагальнення закону збереження механічної енергії.

2.6.1 Рівняння балансу механічної енергії

Визначення. Питома механічна енергія є сума кінетичної і потенціальної енергії, яка віднесена до одиниці маси.

Кінетична енергія являє собою роботу, яку може зробити система, що володіє швидкістю зміщення.

Потенціальна енергія є робота, яку здатна зробити система, що знаходиться в полі сил, які володіють потенціалом. Такою масовою силою є сила ваги gG, віднесена до одиниці маси. Відповідно потенціальна енергія, віднесена до одиниці маси, виражається як П = g z . Відлік енергії

ведеться від деякого умовно обраного стану, при якому потенціальна енергія дорівнює нулю, тобто на рівні Землі П =0. Інша масова сила, сила

Коріоліса, не має потенціалу, оскільки не виконує ніякої роботи і тому

ніякою потенціальною енергією не володіє.3

Розглянемо спочатку виведення рівняння зміни кінетичної енергії, виходячи з рівнянь руху для ідеальної рідини, що цілком відповідає, як буде показано нижче, умовам більшої частини атмосфери. Помножимо кожне з рівнянь руху (2.14), записаних у формі Эйлера, на відповідні складові.

du

=−

1

∂p

− 2( ωy w −ωz v )

u ,

dt

ρ ∂x

dv

=−

1 ∂ p

+ 2(ωx w −ωz u )

v ,

dt

ρ ∂ y

d w

=−

1

∂p

− 2( ωx v − ωy u ) − g

w .

dt

ρ ∂z

Тоді

v2

u 2

d

d

2

u

∂p

2

v ∂ p

=−

− 2(ωy uw − ωz uv) ,

=−

+ 2(ωxvw −ωz uv ),

dt

ρ ∂x

dt

ρ ∂ y

3 Вкажемо, що робота, яка виконується будь-якою силою при русі по замкненому контурі також дорівнює нулю.

47

d w2

d2t =− wρ ∂∂pz − 2(ωx vw − ωy uw) − gw.

Ми бачимо, що зміни в часі відповідних складових кінетичної енергії обумовлені, по-перше, роботою проти сили баричного градієнта - при переміщенні повітряної маси у бік зниження тиску кожна зі складових кінетичної енергії збільшується, а при зміщенні у бік збільшення тиску - убуває; по-друге, обміном енергії між складовими швидкості і, в третіх, - за рахунок сили ваги.

Звернемо увагу на те, що в третьому рівнянні руху останній доданок може бути перетворен до вигляду:

	gw = g	d z	=	d( g z )	-	(2.16)
		dt		dt

і являє собою по суті зміну потенціальної енергії в часі. Тоді зміну в часі суми кінетичної і потенціальної енергії визначимо як

w2
d		+ gz
	2				w ∂p
				=−				−2( ωx vw −ωy uw ) ,	(2.17)
	dt				ρ ∂z

З великим ступенем точності можна стверджувати, що третє рівняння руху визначає зміну потенціальної енергії:

d (g z)	−	w	∂ p .	(2.18)
d t
		ρ ∂ z

тобто при вертикальних переміщеннях частинки робота проти сили баричного градієнта відбувається за рахунок зміни її потенціальної енергії.

Далі візьмемо суми отриманих рівняннь складових кінетичної енергії:

u 2

v 2

w2

d

+

+

+ g z

2

2

2

v

w

=−(

u

∂p +

∂p +

∂p ) .

dt

ρ ∂x

ρ ∂y

ρ ∂z

Тут враховано, що −2( ωyuw −ωzuv −ωxvw + ωzuv

(2.19)

+ωxvw −ωyuw ) = 0 .

Таким чином, в отриманому рівнянні енергетичного балансу в лівій частині стоїть швидкість зміни питомої механічної енергії (кінетичної + потенціальної), а в правій - робота проти сили баричного градієнта. Це рівняння означає, що збільшення енергії деякого елементарного об′єму точно дорівнює спаду енергії поля діючих сил.

Розглянемо тепер виведення рівняння зміни механічної енергії для загального випадку: в'язкої стисливої рідини. Для цього випишемо рівняння руху Нав′є (2.11) у векторній формі:

48

ρ

d VG

=ρFG

+DivPG .

dt

M

n

Тут PnG - напруження поверхневих сил, FM - масові сили.

Щоб отримати рівняння балансу кінетичної енергії повітряної

частинки,

щоG

рухається, треба помножити обидві частини рівняння руху

скалярно на V :

∂ pGy

G dVG

G G

G

G

G G

G

∂ pG

∂ pG

ρV

=

ρ(F

V ) +

V DivP

= ρ(FV )

+V

x

+

+

z

.

dt

M

n

∂ x

∂ y

∂ z

Виконуючи прості перетворення, отримаємо

d

V 2

G G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

2

∂ p

x

V

∂ p yV

∂ p

V

G

∂V

G

∂V

G

∂V

= ρ(FM V ) +

z

ρ

+

+

dt

∂ x

∂ y

∂ z

− px

∂ x

+ p y

∂ y

+ pz

∂ z

робота

приплив кінетичної

перехід кінетичної

зовнішніх

енергії за рахунок

енергії в теплову

сил

в′язких сил

Доданки

в

правій

частині

визначають джерела/стоки

кінетичної

енергії. Перше з них виразимо через питому потенціальну енергію,

ввважаючи, що її часова похідна дорівнює нулю. Тоді

( FGM VG) = −VGgrad П

= −

∂ П

−VGgradП

= −

d П

.

∂ t

dt

Позначимо через E = pGx

∂V

+ pGy

∂V

+ pGz

∂V

.

∂x

∂y

∂z

Підстановка цих виразів у вихідне рівняння дає рівняння для зміни

механічної енергії у вигляді:

V 2

d(

+ П )

G

G

2

ρ

=div( pn V ) − E .

(2.20)

dt

Розглянемо більш докладно вираз для величини E . Розкриваючи його,

отримаємо

G

G

+ pGy

G

G

G

G

G

+ vj

E =pGx ∂V

∂V + pGz

∂V

= ( pxxi + pyx j + pzx k ) ∂(ui

+ wk ) +

∂x

∂y

∂z

G

∂x

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G G

+ vj + wk )

∂(ui + vj + wk )

+ ( pxyi + pyy j

+ pzy k )

∂(ui

+ ( pxz i

+ p yz j + pzz k )

=

∂z

∂y

49

∂u

∂v

∂w

∂v

∂v

∂w

= pxx

+ pyx

+ pzx

+pxy

+ pyy

+ pzy

+

∂x

∂x

∂x

∂y

∂y

∂y

+ pxz

∂u

+ pyz

∂v

+ pzz

∂w

=

∂z

∂z

∂z

∂u

∂v

∂w

∂v

∂u

∂w

∂u

∂w

∂v

= pxx

+ pyy

+ pzz

+ pyx (

+

) + pzx (

+

) + pzy (

+

) .

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂x

∂z

∂y

∂z

Підставляючи вираз для тензора напружень (1.50) - (1.51), знаходимо

∂u

2

G

∂u

∂v

2

G

∂v

E = − p + 2µ

−

µdivV

+

− p + 2µ

−

µdivV

+

∂x

3

∂x

∂y

3

∂y

∂w

2

G ∂w

G

2

G

+ − p + 2µ

∂z

−

µdivV

∂z

= −p divV −

µ(divV )2 + Д,

3

3

де

2

2

2

∂u

∂v

∂w

Д = 2µ

+

+

∂z

+

∂x

∂y

2

2

2

∂u

∂v

∂u

∂w

∂v

∂w

+

+

+

(2.21)

+µ

∂y

+

+

∂x

∂z

∂x

∂z

∂y

З отриманого виразу випливає, що перехід механічної енергії в тепло відбувається за рахунок наступних факторів. По-перше, під дією сил тиску змінюється об′єм: приG його зменшенні ( divV < 0) температура зростає, а при збільшенні ( divV > 0) - температура знижується (перший доданок справа). По-друге, через сили в'язкості, що діють двояко: 1) при зміні об′єму при розтяганні (стисненні) внутрішня енергія зменшується (збільшується) (другий доданок справа); 2) при зміні довжини рідких ліній

іпри перекосі сили тертя виконують роботу, що цілком переходить у тепло

-останні два доданки. Їх суму позначимо через D

		2	G 2
	D = Д −		µ(divV )	(2.22)
		3

і будемо називати її дисипативна функція. Вона являє собою віднесену до одиниці об′єму й одиниці часу частину кінетичної енергії потоку, витрачену на подолання сил в'язкості і перехід у тепло. Бачимо, що суми квадратів складових тензора деформації завжди позитивні. При цьому другий доданок менше першого. Це означає, що при всякому русі рідини з деформаціями дисипація (дисипативна функція) завжди позитивна, тобто кінетична енергія переходить у тепло.

З урахуванням зроблених перетвореннь і позначеннь, випишемо рівняння зміни механічної енергії таким чином:

50