Конспект лекций Дин метеорология_2003

напрямку на деякій висоті, яка називається висотою обертання геострофічного вітру. Звідси випливає, що при протилеж

Рис.3.4 - Зміна геострофічного вітру з висотою [1] а) нульова адвекція тепла при співпадаючих градієнтах тиску і

температури, б) теж саме, але при протилежно спрямованих градієнтах температури і тиску, в) при адвекції холоду, г) при адвекції тепла.

81

но спрямованих градієнтах тиску і температури швидкість геострофічного вітру убуває з висотою, а напрямок може змінитися на протилежний.

в) Градієнт температури відхиляється вліво від градієнта тиску

(рис.3.4в). Збережемо попередній хід міркувань, при цьому будемо вважати, що ізотерми змінюються в зональному напрямку і градієнт температу-ри спрямований зі сходу на захід, а поле прямолінійних і рівнобіжних ізобар на нижньому рівні буде таким, що високий тиск буде знаходиться на півночі, а низький - на півдні. Отже, градієнти тиску і температури будуть спрямовані відповідно на захід і північ. Відповідно до зазначеного вище правила геострофічний вітер на нижньому рівні спрямований вліво під прямим кутом до градієнта тиску і паралельно ізобарам, а термічний вітер також спрямований вліво від градієнта температури уздовж ізотерм. Очевидно, що перенос повітряних мас буде проходити з області холоду в область тепла; і такий процес має назву "адвекція холоду". Додавання векторів геострофічного і термічного вітру за правилом паралелограма дасть лівий поворот геострофічного вітру з висотою. Звернемо увагу на те, що лівий поворот також здійснюється по найкоротшій відстані від вектора тиску до вектора температури. У результаті приходимо до наступного правила: при адвекції холоду відбувається лівий поворот геострофічного вітру з висотою.

г) Градієнт температури відхиляється вправо від градієнта тиску

(рис.3.4г). Нехай ізотерми змінюються в широтному напрямку таким чином, що градієнт температури спрямований із заходу на схід, а поле прямолінійних і рівнобіжних ізобар на нижньому рівні розташовано так, що високий тиск знаходиться на півночі, а низький - на півдні. Отже, градієнти тиску і температури будуть спрямовані відповідно на північ і схід. Відповідно до зазначеного вище правила геострофічний вітер на нижньому рівні спрямований вліво під прямим кутом до градієнта тиску і паралельно ізобарам, а термічний вітер також спрямований вліво від градієнта температури уздовж ізотерм. Очевидно, що перенос повітряних мас буде відбуватися з області тепла в область холоду, тобто буде здійснюватися адвекція тепла. Додавання векторів геострофічного і термічного вітру за правилом паралелограма дає правий поворот геострофічного вітру з висотою. Звернемо увагу на те, що правий поворот також існує по найкоротшій відстані від вектора тиску до вектора температури. У результаті дістанемо ще одне правило: при адвекції тепла відбувається правий поворот геострофічного вітру з висотою.

Зробимо два важливих зауваження. По-перше, оскільки вітер у вільній атмосфері близький до геострофічного (звичайно говорять про квазігеострофічність вітру у вільній атмосфері), то розглянута схема може бути поширена і на реальний вітер. Так наприклад, якщо у вільній атмосфері спостерігається правий поворот вектора вітру, то можна

82

стверджувати, що він пов'язаний з адвекцією тепла, а якщо лівий - то з адвекцією холоду. По-друге, усі розглянуті вище схеми можуть бути прикладені до різних реальних ситуацій. Зокрема може становити інтерес застосування викладених міркувань до аналізу змін геострофічного вітру з висотою в різних частинах баричних утворень, наприклад, у циклоні або антициклоні.

На рис.3.5 наведені можливі зміни геострофічного вітру з висотою в циклоні. Припускаючи незмінним напрямок градієнта температури у всіх частинах циклона, а градієнти тиску мінливими, можна отримати наступні правила щодо розподілу вітру з висотою в його різних частинах. А саме:

упередній східній частині циклона (і західній тиловій частині антициклона) відзначається адвекція тепла і правий поворот вітру;

узахідній тиловій частині циклона (і передній східній частині антициклона) відзначається адвекція холоду і лівий поворот вітру;

упівнічній частині циклона (південній частині антициклону) напрямки баричного і термічного градієнтів протилежно спрямовані, і отже, геострофічний і термічний вітри спрямовані в протилежні сторони: тому варто очікувати ослаблення геострофічного вітру з висотою;

утеплому секторі циклона, (його південній частині) і в північній частині антициклону баричний і термічний градієнти збігаються за напрямком. Отже, збігаються геострофічний і термічний вітер, а швидкість геострофічного вітру, не змінюючись по напрямку, росте з висотою.

Рис.3.5 - Схема змін геострофічного вітру з висотою в циклоні [3] Виявлені вище закономірності дозволяють оцінювати локальні зміни

температури у вільній атмосфері, обумовлені адвекцією, за допомогою

83

спостережень зміни геострофічного вітру з висотою. Припустимо, що повітряна маса рухається адіабатично, тобто її температура при зміщенні

не змінюється	dT		= 0		, а вертикальні складові малі. Тоді локальна зміна
	dt

температури буде обумовлена тільки її адвективними змінами:

∂T

=

∂T

∂T

+ v

∂T

= − u

.

∂t

∂t

адв

∂ x

∂ y

Якщо рух вважати геострофічним, то

∂T

∂T

∂T

1 ∂ p ∂T

1

∂ p ∂T

= − ug

+ vg

= −

−

+

=

∂ x

lρ ∂ y ∂ x

∂t

адв

∂ y

lρ ∂ x ∂ y

,

1

1 ∂ p ∂T

1 ∂ p ∂T

1

∂ p ∂T

= −

−

= −

sinδ

lρ ∂n ∂n

lρ lρ ∂ x ∂ y

lρ ∂ y ∂ x

де δ - кут між горизонтальними градієнтами тиску і температури. Додатним вважається напрямок проти годиннокової стрілки.

З аналізу отриманої формули випливає,

якщо вітер з висотою повертає вправо, тобто δ<0 (sinδ<0), має місце адвекція тепла і тому температура в даному пункті буде підвищуватися,

якщо вітер з висотою повертає вліво, тобто δ>0 (sinδ>0), має місце адвекція тепла і тому температура в даному пункті буде знижуватися.

У реальній атмосфері можлива зміна знака адвекції температури по висоті і, отже, зміна напрямку вітру (табл.3.1). Для синоптика такі ситуації можуть мати важливе прогностичне значення, оскільки сприяють виробленню рекомендацій щодо прогнозу хмарності та опадів.

Таблиця 3.1 - Рекомендації щодо прогнозу при мінливій адвекції температури по висоті

Шар	Вид адвекції			Результат	Вид адвекції		Результат
Верхній	лівий поворот			Можна чекати	правий	поворот	Можна чекати
шар	вітру		й	встановлення в	вітру й адвекція		встановлення в
	адвекція			даному пункті	тепла		даному пункті
	холоду			нестійкої			стійкої
Нижній	правий				Лівий	поворот
шар	поворот		вітру	стратифікації	вітру й адвекція		стратифікації
	й	адвекція			холоду
	тепла

84

3.1.4 Геоциклострофічний вітер

Розглянемо спочатку загальний випадок руху повітря в полі ізобар близьких до кругових. Якщо траєкторії руху часток криволінійні, то рівняння руху найкраще виписати в циліндричній системі координат (r, ϑ, z). Відповідно складові швидкості позначимо: радіальну через vr , дотичну

- vθ і вертикальну - vz . Проте ми тут не будемо проводити детальне виведення цих рівнянь, а скористаємося вже відомою формою:

∂ v

r

∂ v

r

v

θ

∂ v

r

∂ v

r

v 2

1 ∂ p

+ vr

+

+ vz

−

θ

= −

+ lvθ ,

(3.19)

∂ t

∂ r

r ∂θ

∂ z

ρ ∂ r

r

∂ vθ

+ vr

∂ vθ

+

vθ ∂ vθ

+ vz

∂ vθ

+

vr vθ

= −

1

∂ p

− lvr ,

(3.20)

∂ t

∂ r

r

∂θ

∂ z

r

r ρ ∂θ

∂ vz

+ vr

∂ vz

+

vθ

∂ vz

+ vz

∂ vz

= −

1 ∂ p

− g ,

(3.21)

∂t

∂ r

r

∂θ

∂ z

rρ ∂θ

∂ (rvr )

+

∂ vθ

+ r

∂ vz

= 0 .

(3.22)

∂θ

∂ r

∂ z

Ця нелінійна система рівнянь може бути вирішена чисельно при відповідних крайових і початкових умовах. Відзначимо, що поля тиску, які спостерігаються в природі, надзвичайно різноманітні і для кожного з них існують свої поля швидкості. Тому виявити загальні властивості важко. Однак деякі спрощення в постановці дозволяють отримати аналітичні рішення, що дають можливість простежити зв'язок між складовими полів швидкості і полем тиску.

Розглянемо для простоти рух на фіксованому рівні. Нехай поле тиску характеризується ізобарами, форма яких близька до кругових. Так що

p(r,ϑ,t) =	p0 (r,t) +	αp1(r,ϑ,t)	(3.23)
	тиск	виправлення на відмінність
при кругових ізобарах		форми ізобар від кругових

де α мале при ізобарах, які мало відрізняються від кругових. Рішення цих рівнянь будемо шукати у вигляді розкладання по ступенях параметра α:

vi (r,ϑ,t) =v0 (r,t) +α v1(r,ϑ,t) + α 2 v2 (r,ϑ,t)+...		(3.24)
чи
vr = v0,r + α v1,r +...; vϑ = v0,θ	+α v1,θ +...;vz = α v1,z +...;
де v1,r ,v1,θ ,v1,z - виправлення на	відмінність форми ізобар	від кола.

Нагадаємо, що для кругових ізобар вертикальна складова дорівнює нулю: v0,z = 0. Якщо тепер підставити ці вирази в рівняння руху й

обмежитися першими доданками, то, наприклад, для першого рівняння руху дістанемо:

85

∂ v

0,r

∂ v

∂ v

0,r

∂ v

+α

1,r

+ (v

0,r

+αv

)

+α

1,r

+

(3.25)

∂t

∂t

1,r

∂ r

∂ r

(v

0,θ

+αv

) ∂ v

(v

0,θ

+αv

)2

1

∂ p

∂ p

1,θ

1,r

1,θ

0

+

α

−

= −

+α

1

+l(v

0,θ

+αv

).

r

∂θ

r

ρ

∂ r

∂ r

1,θ

Аналогічні дії

виконаємо

відносно

рівняння

для

vϑ

і

рівняння

нерозривності. Тоді отримаємо систему рівнянь, у якій α буде входити у

різних ступенях. Оскільки рівняння повинні виконуватися при будь-яких

α, то доданкі, що стоять при α в однакових ступенях, повинні бути

тотожно рівні. Це ствердження дозволяє отримати рівняння окремо для

кожного з членів розкладання по ступенях α. Так, дорівнюючи члени з

нульовим ступенем α 0 , дістанемо рівняння руху для кругових ізобар у

вигляді:

∂ v0,r

+ v

0,r

∂ v0,r

−

v 2

0,θ

= −

1 ∂ p

0

+ lv0,θ ,

∂ t

∂ r

r

ρ

∂ r

∂ v0,θ

+ v0,r

∂ v0,θ

+

v0,r v

0,θ

= −lv0,r ,

(3.26)

∂ t

∂ r

r

∂(r v0,r ) = 0 .

∂r

Зрівняння нерозривності випливає, що v0 r = const . Тому що v0 ≠ ∞, то при будь-яких r, у тому числі при r = 0, знаходимо, що v0,r = 0 . Але

якщо це так, то друге рівняння має тривіальне рішення ∂∂v0t,θ = 0, а перше

приймає вигляд:
	v 2 0,θ	−	1		∂ p	0	+ lv0,θ	= 0 .	(3.27)
	r		ρ		∂ r

З нього випливає, що стаціонарний рух повітря при кругових ізобарах відбувається при умові рівноваги трьох сил: сили барічного

	градієнта	G = −	1		∂p0	, сили Коріоліса A = lv0,θ і відцентрової сили
			ρ		∂r

C = v20,θ . Нагадаємо, що додатний напрямок градієнта тиску збігається з r

напрямком радіуса, що виходить від центра баричного утворення: для циклона його величина буде додатна, а для антициклона - від′ємна. Баланс цих сил буде різним в областях підвищеного і зниженого тиску (антициклона і циклона). У північній півкулі (рис. 3.6) сила баричного градієнта спрямована до центра циклона, а дві інші - від центра. Потік

86

повітря обходить область низького тиску проти годиннокової стрілки. В антициклоні - сила Коріоліса, спрямована до центра, врівноважується силами барічного градієнта і відцентрової, а напрямок повітряного потоку - по годинниковій стрілці.

Рис. 3.6 - Сили, що діють в області циклона (а) і антициклона (б) [6]

Отже, стаціонарний рух повітря при кругових ізобарах під дією сил баричного градієнта, відцентрової і Коріоліса при відсутності сили тертя називається геоциклострофічним вітром.

Рішення рівняння (3.27) являє собою відоме рішення алгебраїчного рівняння другого ступеня:

v0,θ = − l r	+		(l r)2		+ r ∂ p0 .	(3.28)
2			4		ρ ∂ r
Його рішення повинне бути єдиним. Тому знак «+» вибираємо за
умови, що при	1		∂ p0	= 0, v0,θ = 0. З отриманого рішення випливає, що
	ρ
			∂ r

-швидкість геоциклострофічного вітру росте зі збільшенням горизонтального градієнта тиску grad p ,

-напрямок збігається з напрямком дотичної до ізобари,

-у циклоні швидкість вітру не обмежена,

-в антициклоні в силу вимоги позитивності підкореневого виразу (ми розглядаємо тільки дійсні рішення (3.28)) - швидкість вітру обмежена внаслідок обмеження на величину градієнта тиску:

	∂ p	0		=	l 2 r ρ	.	(3.29)
	∂ r
			max		4
							87

Цей вираз може бути відтворений також як умова на радіус кривизни ізобар в антициклонах. Тож підкреслимо, що для циклонів таких обмежень не має. Тому у помірних широтах циклони являють собой утворення меньшої протяжності та з більшими швидкостями вітру, тобто з більшою густиною ізобар ніж в антициклонах. Таким чином, в циклонах у середньому відзначаються великі значення градієнтів тиску, а, отже, і швидкості вітру.

У тропічних циклонах і в приекваторіальній області сила Коріоліса мала, а сила баричного градієнта врівноважується відцентровою силою. В таких явищах як смерч або торнадо, коріолісовим прискоренням також можна зневажити у порівнянні з відцентровим. Таким чином, стаціонарний рух повітря при кругових ізобарах під дією відцентрової сили і сили баричного градієнта при нехтуванні або відсутності сил тертя і Коріоліса називається циклострофічним вітром. Тоді з (3.28) випливає, що циклострофічний вітер може існувати тільки для циклонічних збурювань, іншими словами, поблизу екватора антициклони (стаціонарні при кругових ізобарах) не можливі.

Для точок вихора, розташованих на достатньому віддаленні від його центра, рішення (3.28) може бути перетворене до вигляду:

v				=			lr				−1 +					1 +			4			∂ p		0				≈
	0,θ																					2
							2											ρrl					∂ r
		lr											1													1				1		4								2
≈							−1		+1 +								4 ∂ p0							−										2		∂ p0								≈
		2											2			ρrl			2		∂ r					2				4		ρrl				∂ r						+...
			1			∂p		0					1					∂p		0		2				1			∂p		0					1			∂p		0
=											−												=									1	−										.	(3.28')
																									ρl ∂r
			ρl ∂r									ρ	2	rl		3			∂r																	ρrl	2		∂r

З перетвореного рішення (3.28′) для швидкості геоциклострофічного вітру можна зробити ще ряд цікавих висновків. По-перше, що при однаковому по модулю значенню градієнта тиску, за інших рівних умов, швидкість геоциклострофічного вітру в циклоні менша ніж в антициклоні. Цей висновок не суперечить вищенаведеному, оскільки у середньому густина ізобар в циклонічнихї утвореннях більш ніж в антициклонах. Подруге, зі збільшенням радіуса кривизни (при r → ∞) другим доданком у дужках можна зневажити і тоді нема рації користуватися криволінійною системою координат, а оскільки напрямок нормалі збігається з напрямком радіуса кривизни, ми приходимо до відомого співвідношення для

швидкості геострофічного вітру Cg = l1ρ ∂∂ np .

88

3.2 Агеострофічні відхилення

Вище ми уже вказували на те, що в середньому рухи у вільній атмосфері близькі до геострофічних. Відповідні оцінки за даними спостережень дійсно показують, що відхилення від геострофічного вітру малі і складають близько 10-15 % і, крім того, убувають з висотою. Проте вони існують і, очевидно, що з ними пов'язані основні зміни атмосферних процесів і погоди. Тому розглянемо трохи докладніше питання про їх визначення.

3.2.1	Визначення агеострофічних відхилень по полю вітра
Отже, розглянемо різницю між дійсним і геострофічним вітром:
CG′ = CG − CGg ,		(3.30)
а також його складовими
u′ = u − ug ,	v′ = v − vg .	(3.31)

Складові геострофічного вітру визначаються з виразів (3.3), а складові швидкості вітру - рівняннями Ейлера

	d u	= −	1	∂ p	+ l v ,	d v	= −	1	∂ p	− l u .
	d t		ρ	∂ x		d t		ρ	∂ y

Виразимо складові градієнта тиску через складові геострофічного вітру:

	d u
		= l	−
	d t
	d v
		= l	−
	d t

	1 ∂ p		+ v	= l(v − vg ) = lv ′,
	lρ ∂ x
	1 ∂ p
			− u	= l(ug − u) = −lu′ .
	lρ ∂ y

Звідси знаходимо вирази, що зв'язують агеострофічні відхилення з

прискореннями складових швидкості дійсного вітру:

v′ =

1

d u

, u′ = −

1

d v

.

(3.32)

l

d t

l

d t

Відповідно, модуль агеострофічних відхилень визначимо як

G

u′2

+ v′2 =

1

du 2

dv

2

1 dCG

.

(3.33)

C′ =

l

+

=

l dt

dt

dt

З останнього виразу випливає, що величина агеострофічних відхилень

увільній атмосфері пропорційна прискоренням частинок, що рухаються. Помножимо скалярно складові агеострофічних відхилень вітру на

прискорення частинок, тоді дістанемо

89

		G	dCG			du		dv
	C′				= u′		+v′		= 0 ,
			dt			dt		dt

тобто дійдемо висновку, що вектори прискорення і відхилень вітру від геострофічного взаємно перпендикулярні. У північній півкулі відхилення спрямовані вліво від вектора прискорення, а в південному - вправо.

Як ілюстрацію важливості обліку агеострофічних відхилень вітру в короткостроковому прогнозі погоди розглянемо два можливих випадки розподілу векторів геострофічного вітру й агеострофічних відхилень (рис. 3.7). Перший випадок відноситься до типової синоптичної ситуації, вхід у

Рис. 3.7 - Напрямок вектора агеострофічних відхилень у типових ситуаціях [3]

ВФЗ (згущення ізобар при збігу напрямку руху частинок і вектора прискорень). Помітимо, що напрямки векторів агеострофічного вітру і градієнта тиску не збіглися. З рисунка випливає, що швидкість частинок у напрямку руху буде збільшуватися.

В іншому типовому випадку, дельта ВФЗ, вектори геострофічного вітру і прискорення протилежно спрямовані, а напрямки вектора агеострофічних відхилень вітру і баричного градієнта збіглися. Для такого поля ізобар швидкість у напрямку руху частинок буде зменшуватися. Ці два випадки цікаві тим, що, по-перше, вектор агеострофічних відхилень вітру може бути спрямований як у бік низького так і підвищеного тиску, а, по-друге, у залежності від того, куди відхиляється агеострофічний вітер, вліво або вправо від геострофічного, згодом відбувається збільшення чи зменшення швидкості вітру.

Прискорення і відхилення вітру від геострофічного мають місце в зв'язку з тим, що grad p зміняюється уздовж траєкторії руху частинок.

Поле тиску підстроюється під новий вітер, оскільки відбувається

90