Конспект лекций Дин метеорология_2003

	Cg =	1 ∂ p			, ug = −Cg cosα, vg = Cg sinα ,	(3.4)
		lρ ∂ n

де sin α = ∂∂pp∂∂ny , cos α = ∂∂pp∂∂nx , ϕ - широта, α - кут між вектором

геострофічного вітру і віссю х, l = 2ωsinϕ - параметр Коріоліса. Розглянемо основні властивості геострофического вітру.

1)Гестрофічний вітер прямо пропорційний горизонтальному градієнту тиску і обернено пропорційний густині та синусу широти місця.

На екваторі поняття геострофічного вітру не має сенсу і тому практичне використання формул (3.3) і (3.4) можливо тільки для широт ϕ > 5°.

2)Розглянемо скалярний добуток швидкості геострофічного вітру на

горизонтальний градієнт

(CGg grad p)=ug ∂ p

∂ x

тиску:

+vg

∂ p

= −

1

∂ p

∂ p

+

1

∂ p

∂ p

= 0.

∂ y

lρ ∂ y ∂ x lρ ∂ y ∂ x

Оскільки цей добуток виявився рівним нулю, то це означає, що вектор швидкості геострофічного вітру і градієнт тиску перпендикулярні. Проте градієнт тиску перпендикулярний ізобарам, і тому вітер повинен бути спрямован уздовж ізобар.

3)Відсутність прискорення визначає рівномірний і прямолінійний рух уздовж ізобар. Але швидкість геострофічного ветру буде стала, якщо градієнт тиску не буде змінюватися у напрямку руху. Це з іншого боку означає, що ізобари повинні бути рівнобіжні з постійним градієнтом.

4)Область низького тиску залишається ліворуч щодо руху в північній півкулі і праворуч - у південній. Це ствердження відомо як баричний закон вітру.

Очевидно, що якщо повітряна течія виникає внаслідок дії сили баричного градієнта, то відразу починає діяти сила Коріоліса, яка спрямована під прямим кутом вправо до вектора швидкості. В результаті встановлюється рівновага цих двох сил і вектор швидкості буде спрямований паралельно ізобарам під прямим кутом до сили баричного градієнта вправо (вліво до градієнта тиску), так, що низький тиск буде ліворуч (рис.3.1).

Слід зазначити, що в природі ніколи не спостерігається сталий ламінарний рух та ще при строго прямолінійних ізобарах. У цьому розумінні можна було б стверджувати, що це чисто теоретичне поняття. Але, з іншого боку, численні дослідження показали, що вітер у вільній атмосфері дійсно близький до геострофічного. Щоб уникнути непорозумінь, вводять у розгляд так зване квазігеострофічне локальне наближення, яке повинне виконуватися в околі довільної точки з достатньою точністю і служити мірою оцінки характеристик швидкості повітряних течій. Очевидно, що у вільній атмосфері таке наближення буде

71

цілком виправдано, а біля поверхні землі необхідно враховувати, що внаслідок тертя напрямок фактичного вітру буде відхилятися від напрямку ізобар і геострофічного вітру у бік зниженого тиску на кут порядка декількох десятків градусів, а модуль швидкості буде занижений.

Рис. 3.1 - Геострофічний вітер і дія сил в атмосфері [3] а) північна півкуля; б) південна півкуля.

Позначення: А - сила Коріоліса, G -сила баричного градієнта.

Для розрахунку характеристик геострофічного вітру наведені формули заміняють, вводячи кінцеві різниці ∂∂ np ∆∆ np , приймаючи при

цьому, що ∆р=5 гПа, ∆n - відстань між сусідніми ізобарами згідно масштабу синоптичної карти ( ∆n у сотнях км) і припущення рівності

щільності повітря її значенню для стандартної атмосфери ρ = ρo . Тоді

	C	g	=	27	.	(3.5)
				∆ n Sinϕ

Наведена формула показує, що швидкість геострофічного вітру є функцією відстані між ізобарами, кратними 5, і широти місця. (Далі, якщо потрібно,

можна ввести поправку ρo ρ .)

На практиці звичайно застосовують палетки або лінійки. Найбільш відома - це лінійка Погосяна –Таборовського, наведена на рис.3.2.

По густоті ізоліній можна судити про силу геострофічного вітру. Використання виведених співвідношень для вільної атмосфери

вимагає переходу до ізобаричної системи координат, зокрема для карт баричної топографії варто перейти від тиску до геопотенціалу. Нагадаємо, що геопотенціалом або потенціалом сили ваги називається робота, яку

72

Рис.3.2 - Градіентна лінійка для визначення швидкості геострофічного вітру

необхідно зробити, щоб підняти одиницю маси від вихідного рівня до

z

деякої висоти. Геопотенціал має вираз Ф = ∫g dz і власне кажучи

0

характеризує потенційну енергію повітряної частинки, що знаходиться на висоті z. При переміщенні частинки вздовж рівневої поверхні робота сили ваги дорівнює нулю. За нульову поверхню принято вважати поверхню моря. З рівнянь статики і стану маємо

73

dФ = gdz = − dpρ = −RT dpp .

Виконуючи інтегрування цього рівняння від поверхні моря до рівня р і вводячи середню віртуальну температуру в шарі Tv , знаходимо

Фабс = RTv ln ppo .

Дана формула показує пряму залежність геопотенціала від середньої температури і тиску на рівні моря: чим вище температура і приземний тиск, тим більше значення має геопотенціал. Одиницею виміру геопотенціала довгий час служив динамічний метр [Ф]=10 м2/с2, але в даний час використовується геопотенціальний метр (гп.м):

гп.м =	9.8	м ,
	g45,0
де g45,0 -	прискорення сили ваги на широті 45° і рівні моря. З цього

співвідношення видно, що кількісно геопотенціальний і геометричний метри відрізняються незначно.

Оскільки тиск уздовж ізобаричної поверхні не змінюється

dp =

∂ p

dn +

∂ p

dz = 0, то відповідно до рівняння статики і визначенню

∂ n

∂ z

геопотенціала маємо

∂ p

= −

∂ p

d z

=ρ

∂ Ф

.

∂ n

∂ z dn

∂ n

Підстановка в (3.4) дає:

Cg

=

1

∂Ф

=

g

∂ H

,

(3.6)

l ∂ n

l ∂ n

де Н – висота ізобаричної поверхні в гп.м.

Із зв'язку між Ф и р випливає, що вектор геострофічного вітру перпендикулярний градієнту абсолютного геопотенціала і спрямований у північній півкулі так, що низькі значення геопотенціалу залишаються ліворуч (у південній півкулі - праворуч). Відповідно формула для

практичного застосування перетворюється до вигляду
Cg =	27	,	(3.7)
	∆n1 Sinϕ

де ∆n1 - відстань між двома сусідніми ізогіпсами, кратними 4, яка дана в

сотнях км.

Із порівняння формули оцінки геострофічного вітру по полю тиску і геопотенціалу, видно, що при однаковому масштабі синоптичних карт (приземних і висотних) відстань між ізобарами еквівалентна відстані між ізогіпсами, проведеними відповідно через 5 гПа і 4 дам, що дозволяє

74

використовувати ту ж саму градієнтну лінійку для висотних і приземних карт.

При виконанні розрахунків з використанням синоптичних карт дуже важко оцінювати кроки ∆n (∆x, ∆y) в км, оскільки відстані уздовж кола

широти не є сталими. Тому формули для обчислення геострофічного вітру зручно перетворити для сферичної системи координат.

Нагадаємо, що координатами точки в сферичній системі є відстань від центра Землі rG, кут географічної довготи λ, відлічуваний від Гринвіцького меридіану на схід і полярний кут θ = 90 − ϕ або доповнення географічної

широти. З урахуванням цього, складові геострофічного вітру в сферичній системі координат набувають вигляду:

ug = −

1 ∂ p

,

vg

=

1

∂ p

,

(3.8)

l ρ R ∂ϕ

l ρ R cosϕ ∂ λ

і

g

∂ H

g

∂ H

u g = −

,

vg

=

,

(3.9)

lR ∂ϕ

lR cosϕ ∂ λ

Тут R = 6378 км - радіус Землі.

Переходячи від диференціальних операторів до кінцево-різницевих, наведені вирази можна апроксимувати з другим порядком точності за допомогою центральних різниць, розписаних на чотирьохточковому шаблоні

u

g

= −

au

( p

2

− p

4

),

v

g

=

av

( p − p

3

),

(3.10)

ρ sinϕ

ρ sinϕ cosϕ

1

де au

= −

180

,

av

=

180

, ω = 7,29 10-5 з-1 .

4ωRπδϕ

4ωRπδλ

Аналогічно

ug = −

au′

(H2

− H 4 ),

vg

=

av′

(H1 − H3 ),

(3.11)

sinϕ

sinϕ cosϕ

де a'u = au g, a'v = av g .

75

3.1.2 Термічний вітер

Досі ми розглядали рухи на фіксованому рівні у вільній атмосфері, але відкритим залишалось питання про можливі зміни геострофічного вітру з висотою і причинах таких змін. Розглянемо це явище з фізичної точки зору. Оскільки геострофічний вітер визначається баричним градієнтом, розглянемо можливі причини його зміни з висотою. Відповідно до рівняння статики тиск у холодній повітряній масі знижується з висотою швидше, ніж у теплій. Тому при зміні температури по горизонталі тиск над різними пунктами також буде змінюватися з висотою по-різному. Це призведе до перебудови поля тиску, а, отже, до зміни баричного градієнта з висотою.

Припустимо, що на верхній межі граничного шару h в двох пунктах температура і тиск однакові: T1 = T2 , p1 = p2 (рис.3.3а). Це означає, що градієнт тиску відсутній на всіх рівнях, бо p1 (z) = p2 (z) . Тоді баричний градієнт буде дорівнювати нулю у всьому шарі z > h . Геострофічний вітер

також буде відсутній.

Нехай тепер вище граничного шару температура повітря над першим пунктом вища, ніж над другим (рис.3.3б). Це означає, що вище граничного шару існує градієнт температури, спрямований від пункту 1 до пункту 2. А це, у свою чергу, означає, що в холодній частині тиск падатиме швидше, ніж у теплій. Зі збільшенням висоти різниця тисків p1 (z) − p2 (z) буде

збільшуватися. Отже, буде існувати градієнт тиску від пункту 1 до пункту 2 і збільшуватися з висотою. Під його впливом виникає рух повітряних мас. Відповідно до правила, викладеного вище, геострофічний вітер перпендикулярний баричному градієнту і спрямований вліво від нього. Цей геострофічний вітер по суті є збільшенням геострофічного вітру і спрямований вліво під прямим кутом до градієнтів густини і температури, так що ліворуч від нього в північній півкулі залишається область холоду.

З приведених міркувань можна дати наступне визначення: зміну

геострофічного вітру в шарі	z > h , пов'язану з горизонтальним
градієнтом температури, називають термічним вітром:
CGT = CGg (z) − Cg (h)	(3.12)
або інакше,
CGg (z) = CGg (h) + CGT .	(3.13)

76

Рис.3.3 - Зміна поля тиску під впливом температури [3]

Таким чином, геострофічний вітер на будь-якому рівні z > h буде

визначатися додаванням двох векторів: геострофічного вітру на вихідному рівні і термічного вітру, обумовленого горизонтальною неоднорідністю поля температури в розглянутому шарі. Ще раз підкреслимо, що термічний вітер спрямований уздовж ізотерм.

Розглянемо тепер кількісні оцінки зміни геострофічного вітру з висотою і його зв'язок з горизонтальним градієнтом температури.

З цією метою скористаємося геострофічними співвідношеннями (3.3) і замінимо густину за допомогою рівняння стану (ρ = pRT )

ug

= −

RT

∂p

= −

RT

∂ln p

и vg

=

RT ∂p

=

RT ∂ln p

lp ∂x

l ∂x

lp ∂y

l ∂y

Аналогічну заміну зробимо й у рівнянні статики:

∂∂pz = −gρ = − RTgp , ∂l∂nzp = − RTg .

Продиференціюмо складові швидкості геострофічного вітру по z, нормовані на температуру повітря:

∂

ug

R ∂ ∂ln p

R ∂ ∂ln p

R ∂

g

g

∂T

= −

= −

=

= −

,

2

l ∂z ∂y

l ∂y ∂z

lT

∂y

∂z

T

l ∂y RT

∂

vg

=

R ∂ ∂ l n p

=

R

∂ ∂ l n p

=

R

∂

−

g

=

g

∂ T

.

l

∂ z ∂ x

l

∂ x ∂ z

lT 2

∂ x

∂ z

T

l ∂ x

RT

Виконуючи інтегрування від z1 до z2 , дістанемо

77

ug

T

vg

T

− ug

z2 T

− vg

z2 T

z1

z1

g z2

1 ∂T

dz =

g z2

∂ 1

= −

∫

∫

dz,

l

T 2 ∂y

l

z

z

∂y T

1

1

(3.14)

g z2

1

∂T

g z2

∂ 1

dz = −

=

∫

∫

dz.

l

T 2

∂x

l

z

z

∂x T

1

1

Щоб далі продовжити інтегрування, треба визначитися з формою зміни температури з висотою. Розглянемо два варіанти:

1) температура замінюється її середнім значенням T у шарі від z1 до

z2;

2) температура змінюється за лінійним законом T = To − γ z , де To - значення температури на рівні z1 , γ - вертикальний градієнт температури в

шарі від z1 до z2.

Розглянемо послідовно результати інтегрування в обох випадках. Випадок 1.

z2

1

∂

g

∂

u

(z

) −u

(z

gT

T

T

) =

∫

−

d z= −

(z

− z ) .

g

2

g

1

l

lT ∂ y

2

1

z

T 2 ∂ y

1

Аналогічно для іншої складової геострофічного вітру:

z2

1

gT

∂ T

g ∂ T

vg (z2 ) − vg (z1 ) = −

∫

−

dz

=

(z2 − z1 ) .

l

z

T

2

∂ x

l T ∂ x

1

Вводячи позначення λ =

g

-

параметр

плавучості і ∆z = (z2 − z1 ) -

T

товщина шару, остаточно отримаємо вирази для складових термічного вітру:

uT = ug (z2 ) − ug (z1 ) = − λl ∂∂ Ty ∆z,

(3.15)

vT = vg (z2 ) − vg (z1 ) = λl ∂∂ Tx ∆z ,

з яких випливає, що термічний вітер (або зміна геострофічного вітру з

висотою) прямо пропорційний горизонтальному градієнту температури в шарі і його товщині, і обернено пропорційний синусу широті місця.

Випадок 2.

Переставляючи операції інтегрування по z і диференціювання по горизонтальній координаті, знайдемо спочатку інтеграл

78

z

2

dz

=z

2

dz

=

1

[ln(T − γz ) − ln(T

− γz

)]=

∫

2

T

∫

T

− γz

γ

o

1

o

z

1

z

1

o

1

γz

1

γz

2

γz

2

1

γz

2

2

=

lnT

−

1

−

1

− lnT +

+

=

γ

o

T

2

T

o

T

2

T

o

o

o

o

=

1

γ(z2 − z1)

+

γ2 (z22 − z12 )

=

γ(z2 − z1)

1

+

γ(z2 + z1 )

≈

(z2 − z1)

.

γ

T

T 2

γT

T

T

o

o

o

o

o

Тут були використані наступні перетворення:

2

γz

γz

γz

1

γz

ln(T

− γz) = ln[T

1−

] = lnT

+ ln 1

−

lnT

−

−

−... .

To

2

o

o

To

o

To

o

To

У результаті підстановки отриманих результатів інтегрування знаходимо

∂

z2 d z

∂ z

2

− z

z

2

− z ∂T

∆z ∂T

∫

=

1

= −

1

o

= −

o

,

T

To2

∂ y

∂ y z1

∂ y

T0

To2 ∂ y

∂

z2 d z

∂ z

2

− z

z

2

− z

∂T

∆z

∂T

∫

=

1

=

1

o

=

o

.

To2

∂ x z1 T

∂ x

T0

To2

∂ x

∂ x

Остаточно маємо:

T2

g

T2

∂ To

λ

∂ To

u

T

= u

g

(z

) − u

g

(z )

= −

∆z −

∆z,

T

∂ y

2

1

l

2

l ∂ y

1

T

0

(3.16)

T

g

T

∂ T

λ

∂ T

v

= v

(z

) − v

(z

)

2

= −

−

2

o

∆z

o

∆z.

T

l

l

T

g

2

g

1

T

2

∂ x

∂ x

1

0

Ці вирази також означають, що зміна геострофічного вітру з висотою також прямо пов'язана з горизонтальним градієнтом температури. По мірі віддалення від вихідного рівня роль термічної добавки зростає і геострофічний вітер наближається до термічного. Ізобари перебудовуються і стають паралельними ізотермам. Як показують спостереження, області підвищеного тиску у вільній атмосфері на великих висотах збігаються з областями підвищених температур, а циклонічні зони - з очагами холоду.

Оскільки в північній півкулі термічний градієнт спрямований від полюса до екватора, це припускає, що термічний вітер повинен бути спрямований перпендикулярно йому і вліво від нього, тобто з заходу на схід. І спостереження дійсно показують стійкий західно-східний перенос у тропосфері і посилення вітру з висотою: максимум швидкості відзначається на осі планетарної струминної течії.

79

На підставі отриманих виразів можна представити вертикальні градієнти складових геострофічного вітру (зсув геострофічного вітру):

∂ug

λ ∂T

∂vg

λ ∂T

= −

o ,

=

o

(3.17)

∂z

l

∂z

l

∂y

∂x

або дляGмодуля вектора геострофічного вітру

∂

Vg

λ

∂T

=

o

,

(3.18)

∂z

l

∂n

де n - напрямок нормалі до ізотерм у даній точці площини.

Це є формули С.І.Троїцького для обчислення складових термічного вітру або вертикального зсуву геострофічного вітру.

У залежності від величини градієнта температури і тиску, а також кута між ними спостерігається велика різноманітність вертикальних профілів геострофічного вітру. Однак, принциповий інтерес викликають кілька випадків (рис.3.4). Розглянемо докладно кожний з них.

а) Напрямки градієнтів температури і тиску збігаються (рис.3.4а).

Ізотерми й ізобари розташовуються в широтному напрямку, так що градієнти температури і тиску спрямовані з півдня на північ. Тут і далі будемо припускати, що поле тиску збереже свою конфігурацію на більш високих рівнях. Відповідно до зазначеного вище правила геострофічний вітер на нижньому рівні спрямований вліво під прямим кутом до градієнта тиску і паралельно ізобарам, термічний вітер також спрямований вліво від градієнта температури уздовж ізотерм. Очевидно, що перенос повітряних мас буде відбуватися уздовж ізотерм, тобто адвекція буде нульова. Додавання векторів геострофічного і термічного вітру дасть лінійне збільшення геострофічного вітру з висотою при незмінному напрямку. Тоді можна сформулювати наступне правило: при однаково спрямованих градієнтах температури і тиску відбувається ріст швидкості геострофічного вітру з висотою при незмінному напрямку.

б) Градієнти температури і тиску протилежно спрямовані (рис.3.4б).

Ізотерми, як і раніше, розташовані в широтному напрямку і градієнт температури спрямований з півночі на південь, а поле прямолінійних ізобар на нижньому рівні буде розташовано так, що високий тиск знаходиться на півночі, а низький - на півдні. Отже, градієнти тиску і температури будуть спрямовані на північ і південь відповідно. Тоді геострофічний вітер на нижньому рівні спрямований вліво під прямим кутом до градієнта тиску і паралельно ізобарам, а термічний вітер спрямован уліво від градієнта температури уздовж ізотерм. Адвекція повітряних мас буде також нульова. Однак, вектори геострофічного і термічного вітру віднімаються, що призводить до зменшення геострофічного вітру з висотою і можливо до його обертання, тобто зміні

80