Конспект лекций Дин метеорология_2003

2.9 Спрощення рівнянь динаміки атмосфери

Передумовами до спрощення можуть бути визнані наступні положення:

атмосферні рухи відрізняються одне від одного масштабами довжини в просторі і тривалістю в часі дії;

будь-який член розглянутих рівнянь визначає фактор, який впливає на властивості різних видів руху, при цьому одні дійсно впливають, а інші

–ні.

Таким чином, методи спрощення рівнянь ґрунтуються на оцінці ступеня впливу різних факторів, що діють в атмосфері, на даний вид руху.

На практиці для спрощення рівнянь використовують або положення теорії подібності, або оцінки порядку величин за допомогою спеціальних таблиць, в яких зібрані зведення про характерні значення метеорологічних величин та їх похідних.

2.9.1 Спрощення рівнянь руху на основі співвідношень теорії подібності

Спрощення на основі теорії подібності ґрунтується на оцінюванні впливу окремих факторів на атмосферні процеси в залежності від характерних масштабів.

Цей підхід може бути підрозділений на ряд дій (етапів):

введення характерних просторових і часових масштабів розвитку явища, а також характерних значень метеорологічних величин, властивих даному явищу (атмосферному процесу);

приведення вихідних рівнянь до безрозмірного виду і виділення розмірних множників, що складаються з комбінацій характерних масштабів і величин перед кожним доданком у розглянутих рівняннях;

виділення основного фактора (доданка) і порівняння з ним всіх інших шляхом введення критеріїв подібності (кінематичного, динамічного і механічного).

Розглянемо поетапно зазначені дії на прикладі першого рівняння руху

Нав′є-Стокса для в′язкої нестисливої рідини:

ddut =∂∂ut + u ∂∂ux+ v ∂∂uy + w ∂∂uz =− g x − 2(ωy w −ωzυ ) −ρ1 ∂∂ xp + v∆u .

Тут gx = g cos(gG, x)- проекція сили ваги на вісь х, cos(gG, x)- напрямний

cos кута між вектором сили ваги і віссю х.

1. Введемо характерні значення і масштаби довжини (L), часу (T), швидкості (V), густини (Π) і різниці тиску (∆P)5 :

5 З метою спрощення розглянемо однакові масштаби розміру та швидкості незалежні від напрямку. 61

2. Виразимо далі всі величини не в абсолютних значеннях, а у відносних одиницях, тоді всі залежні і незалежні величини будуть

безрозмірними:

x n =

x

,

yn =

y

,

zn

=

z

,

t n =

t

, u n

=

u

,

vn =

v

,

w n =

w

,

L

L

T

V

V

V

L

(2.54)

ρ

∆p ,

ρn =

,

∆pn =

П

∆P

Виразимо

кожну

зі змінних

величин

за

допомогою добутку

відповідного масштабу (або характерного значення) на відповідну безрозмірну величину з (2.54) і винесемо отримані комбінації масштабів, як незалежні, за знаки диференціалів. Тоді після введення безрозмірних величин у першому рівнянні руху маємо

V

∂un +

V 2

( u

∂un + v

∂un + w

∂un ) =

T ∂tn

L

n ∂ xn

n ∂ yn

n ∂ zn

− g cos( gG,x ) − 2(ωyVwn −ωzVvn ) −

−

∆P

1

∂ pn +

V

v( ∂ 2 un + ∂ 2un + ∂ 2un )

L2

ПL ρn ∂ xn

∂ xn2

∂ yn2

∂ zn2

Ми бачимо, що перед безрозмірними доданками з'явилися множники, що утворені з масштабів, і які є мірою діючих сил. Усі вони мають

розмірність м/ с2 :

V	,	V 2		, g, 2ωyV , 2ωzV ,	∆P	,	V	v
T			L		ПL		L2

3. Для порівняння доданків виберемо як міру коефіцієнт, що стоїть перед інерційними доданками і розділимо на нього всі інші коефіцієнти. В результаті дістанемо перед кожним з доданків наступні вирази:

L

, 1,

gL

,

2ωL

,

∆P

,

v

.

(2.55)

TV

V 2

V

ПV 2

VL

Вони являють собою комбінації, створені з масштабів і характерних значень стану середовища і мають відповідні назви та фізичний зміст:

Sh = TVL − число Струхаля (гомохроності);

Fr =V 2 − число Фруда, характеризує відношення сили інерції до сили gL

ваги;

62

Ro =2VωL − число Россбі-Кібеля, характеризує роль сили інерції відносно сили Коріоліса;

Eu = П∆VP2 − число Эйлера, характеризує відношення статичного напруження до динамічного;

Re =VLv − число Рейнольдса, характеризує відношення сил інерції до

сили в'язкості.

Інакше, ці числа називають критеріями подібності.

Два рухи рідини або газу називаються подібними один одному якщо

поля швидкості, прискорення, тиску і густини обмежені геометрично подібними поверхнями;

значення величин у подібних точках відрізняються тільки постійними коефіцієнтами;

подібні процеси (явища) мають однакові числа Sh, Fr, Ro, Eu, Re .

Звернемо увагу на те, що будь-яка функція від безрозмірних координат і часу f (xn ,yn ,zn ,tn ) , складена для подібних рухів, повинна

бути зовсім однакова. Тоді диференціальні рівняння і крайові умови, що задовольняють функції від безрозмірних величин, також повинні збігатися між собою.

Користаючись критеріями подібності, розглянемо отриману

безрозмірну форму рівняння руху:

1 ∂un

∂un

∂un

∂un

1

G

1

G

+1 (un ∂xn

+ vn ∂yn

+ wn

) =−

cos(g, x) −

(cos(ω, y)wn −

Sh

∂tn

∂zn

Fr

Ro

G

1 ∂pn

1

∂2 un

∂2 un

∂2 un

−cos(ω, z)vn ) −Eu

+

(

∂xn2

+

∂yn2

+

∂zn2

).

(2.56)

ρn ∂xn

Re

З першого рівняння руху й аналогічних йому двох інших рівнянь руху (не приведених тут, але аналогічних йому) випливає, що

1)чим більше число Фруда, тим менше вплив сили ваги на властивості руху;

2)чим більше число Россбі, тим менше вплив сили обертання Землі і тим більший вплив створюють сили інерції;

3)чим більше число Рейнольдса, тим менше вплив сили в'язкості на рух рідини.

Приймаючи порядок адвективных доданків за одиницю, порядки величин сили ваги, Коріоліса і в'язкості будуть дорівнювати

О( Fr1 ) = VgL2 , O Ro1 (vn − wn ) = 2VωL O(vn − wn )

63

1

∂ 2 u

∂ 2u

∂ 2 u

v

∂ 2u

∂ 2 u

∂ 2u

О

(

n +

n +

n )

=

O(

n +

n +

n ) .

V L

Re

∂ x2

∂ y2

∂ z2

∂ x2

∂ y2

∂ z2

n

n

n

n

n

n

Звідси випливає, що

-роль сили ваги і Коріоліса зростає зі збільшенням масштабу довжини руху;

-зі зменшенням масштабу і збільшенням швидкості руху вплив сили Коріоліса зменшується і зростає роль адвективных факторів;

-вплив в'язкості оберненопропорційний масштабу руху: чим більше масштаб, тим менше роль сили в'язкості.

Розглянемо тепер критерій подібності для оцінки ролі стисливості рідини за допомогою рівняння нерозривності.

dρ

=

∂ρ

+ u ∂ρ+ v ∂ρ + w ∂ρ

+ ρ(∂u +

∂v

+

∂w

) = 0

∂t

dt

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

При цьому введемо характерний масштаб не тільки для густини (П),

але і для її зміни ∆Π. Тоді маємо

∆Π

∂ρn

+ ∆ΠV

(un

∂ρn

+ vn

∂ρn

+ wn

∂ρn

) +

T ∂tn

L

∂xn

∂yn

∂zn

+ ΠV ρn (

∂un

+

∂vn

+

∂wn

) = 0.

L

∂xn

∂yn

∂zn

Помноживши всі доданки на L/VП (зворотну величину, що міститься

перед останнім доданком) і винісши загальний множник за дужки, дістанемо

∆Π

1 ∂ ρn

+ un

∂ ρn

+ vn

∂ ρn

+ wn

∂ ρn

+ ρn (

∂ un

+

∂ vn

+

∂ wn

) = 0 .

П

∂ xn

∂ yn

∂ xn

∂ yn

∂ zn

St ∂ tn

∂ zn

Відтепер новим критерієм подібності є відношення масштабу зміни густини до її характерного значення ∆ПΠ , що визначає вплив стисливості

повітря: чим менше це відношення, тим меншу роль грає стисливість повітря (рідини).

При адіабатичних процесах, використовуючи рівняння Пуасона, приходимо до співвідношень

p = kρ

χ

→

dp

= χ

dρ

→ (χ =

C p

, k = const) →

∆Π dρn

=

∆P dpn

.

p

ρ

Cv

П ρn

Pχ pn

∆Π

∆P

Отже,

=

. Але справа

цей критерій

містить

внутрішньо

П

Pχ

обумовлену величину і тому є невизначальним критерієм. Якщо розділити цей вираз на число Eu, яке має порядок одиниці, то

64

∆P

V 2п

=

V 2 П

=

V 2

= Ma2

,

Pχ

с2

Pχ ∆P

V

де c

2

=

χP

- швидкість звуку, а

Ма =

- число Маієвського. При малих

П

c

числах Ма (<0.2) рівняння нерозривності для повітря мало відрізняється від рівняння нерозривності для нестисливої рідини. При зростанні швидкості стисливість починає зростати і робить усе більший вплив. При повільних рухах можна зневажити стисливістю повітря. Однак зі збільшенням характерних масштабів довжини по вертикалі масштаби зміни густини у вертикальному напрямку стають більш значними, ніж по горизонталі. Тому в рівнянні нерозривності необхідно враховувати зміни густини з висотою.

Ма2 (wn	∂ρn	) + ρn (	∂un	+	∂vn	+	∂wn	) = 0 .
			∂xn
	∂zn				∂yn		∂zn
	2.9.2		Класифікація атмосферних рухів

Розглянемо тепер межі трьох вище наведених критеріїв подібності (Fr, Ro, Re) для двох граничних випадків атмосферних рухів: крупномасштабного (синоптичного вихора, горизонтальні розміри якого складають близько 2000 км зі швидкістю вітру 10 м/с) і мезомасштабного (наприклад, смерча з характерним горизонтальним розміром біля 100 м і

швидкістю

вітру

50 м/с).

При

цьому будемо

вважати,

що

g =10м/ с2 , ω = 7 10−5 с−1,

υ =1.5 10−5 м2 / с.

У

таблиці

представлені

результати виконаного оцінювання.

Критерій

для макропроцесу

для мезопроцесу

подібності

Fr = V 2

gL

= 102

= 5

10−6

= 502

= 2,5

10 2 106

10 102

Ro = V

2ω L

=10

7 10−5

2 106

= 3.56

10−2

= 50

7 10−5

102

= 3,56

103

2

2

Re = VLυ

= 10 2 106

10

−5 = 13, 1012

= 50 102

−5 = 3,3 108

15,

15, 10

Малі значення числа Фруда для атмосферних рухів означають, що сила ваги грає в них винятково велику роль, оскільки прискорення сили ваги в багато разів перевищує інші прискорення. З цього також випливає, що атмосферні рухи у вертикальному напрямку відрізняються від рухів у горизонтальному напрямку.

65

Роль сили Коріоліса зростає з масштабом розглянутих атмосферних процесів. При цьому вона мала в крайніх мезомасштабных рухах, а у крупномасштабних процесах помітно превалює і нею ніяк не можна знехтувати.

Число Рейнольдса має великі значення незалежно від масштабу атмосферних процесів. Тому впливом сил молекулярної в'язкості на атмосферні процеси можна знехтувати.

Отже, вплив сили ваги завжди великий, а сил молекулярної в'язкості -

малий. Тому у відносному русі особливості атмосферних рухів визначаються в основному співвідношенням сил Коріоліса та інерції. А

воно залежить від масштабу руху, оскільки відмінності у швидкості в принципі не великі. Тоді всі атмосферні рухи можна розділити на три класи:

крупномасштабні, для яких відносне прискорення мале у порівнянні з Коріолісовим. По М.І.Юдіну ці рухи можна вважати такими, починаючи з горизонтальних розмірів декілька сотен км;

мезомасштабні з характерними горизонтальними розмірами порядка 100 км, для яких сили Коріоліса, баричного градієнта та інерції приблизно одного порядку;

дрібномасштабні з характерними масштабами 10 км і менше, для яких відносне прискорення (сила інерції) велике в порівнянні з Коріолісовим.

Далі з урахуванням на відмінності атмосферних рухів у вертикальному і горизонтальному напрямках доцільно ввести характерні масштаби і значення швидкостей окремо:

L,H ,V ,W ,

де L, Н - горизонтальний та вертикальний масштаби явища, V, W - характерні значення горизонтальної та вертикальної складових швидкості. Візьмемо для крупномасштабних атмосферних рухів H = 5 км, W = 1 см. Використовуючи вище зроблене виведення, можна отримати наступну форму рівнянь руху для крупномасштабних атмосферних процесів:

∂u

+ u

∂u

+ v

∂u

+ w

∂u

=+ 2ωzv −

1 ∂ p

,

∂t

∂x

∂y

∂z

ρ ∂x

(2.57)

∂v

∂v

∂v

∂v

1 ∂ p

+ u

+ v

+ w

=− 2ωzu −

,

∂t

∂x

∂y

∂z

ρ ∂y

0 =− g −

1

∂p

.

ρ ∂z

Виведена система рівнянь є система рівнянь руху у формі Эйлера, яка придатна для опису крупномасштабних атмосферних процесів у квазістатичному наближенні.

2.9.3 Спрощення рівнянь руху на основі оцінок

66

порядку метеорологічних величин і їх похідних

Під порядком величини якої-небудь функції розуміють значення цієї функції в діапазоні, що включає не менше 99 % її можливих значень. Порядок величини функції визначають з округленням до найближчого ступеня числа 10. Якщо ж верхня і нижня границі мають різні значення, то вказують обидва значення. Наприклад, атмосферний тиск на рівні моря: 950-1060 гПа і порядок О(р)= 103 , а для швидкості вітру 0-50 м/с маємо порядки O(V) = 100 −101 .

На практиці зручно користуватися таблицею М.І.Юдіна (Табл.2.1), у якій наведені середньоквадратичні значення метеорологічних величин і їх

N
похідних: ϕсркв = ∑ϕi2 pi , де	ϕi - окремі значення змінної ϕ , pi -
i=1

ймовірність цих значень. Для визначення порядку величини похідних останні заміняються кінцевими різницями. Кроки по простору і часу дорівнювали: L = 500 км, ∆Т = 12 годин і δΖ=2500 м. Крім того, ϕ = 45°,

тоді О(2ωsinϕ) ≈ О(2ω cosϕ) =1,2·10−4 с−1 .

Таблиця

2.1

Середньо квадратичні

значення метеорологічних

величин і їх похідних

Величини і їх

u,v

p

T

ρ

w

Ωz

похідні

7 100

7 101

3 102

1 10−3

1 10−2

2 10−5

∂

(

∂

,

∂

)

1,2 10−5

8 10−7

7 10−6

3 10−11

2 10−8

4 10−11

∂ s

∂ x

∂ y

∂

1,2 10−4

8 10−6

7 10−5

3 10−10

2 10−7

4 10−10

∂ t

∂

2 10−3

1 10−2

6 10−3

1 10−7

3 10−6

7 10−9

∂ z

∂2

1,2 10−6

1

7 10−7

1 10−11

-

-

∂ z2

∂ 2

3 10−11

1,5 10−12

2 10−11

8 10−17

-

-

∂ s2

Позначення: значення наведені в системі одиниць Масса Тонна Сек.

Дані цієї таблиці використовуємо для оцінки порядків окремих членів рівнянь гідротермодинаміки для їх спрощення. При цьому домовимося, що явно малими будемо вважати доданки, що на два (і більш) порядки

67

величини менші інших і тому їх можна не враховувати. А головними будемо вважати доданки з максимальними порядками величин.

Розглянемо застосування цього аналізу до рівнянь руху. Спочатку оцінимо усі доданки перших двох рівнянь за допомогою даних таблиці 2.1:

∂u

+

u

∂u

+v

∂u

+ w

∂u

= −

2ωy w + 2ωz v −

1 ∂p

+ ν∆u,

∂t

∂x

∂y

∂z

ρ ∂x

∂v

+

u

∂v

+v

∂v

+ w

∂v

=

− 2ωz u −

1 ∂p

+ ν∆v.

∂t

∂x

∂y

∂z

ρ ∂y

1,2 10−4 0,8 10−4

2 10−5 1,2 10−6 0,8 10−3 0,8 10−3

4,5 10−16

Очевидно, що доданками з порядками величин 10−6 і менше можна цілком знехтувати. Доданки, що залишилися, утворюють рівняння, які звичайно використовуються в задачах прогнозу погоди і збігаються з рівняннями руху у формі Эйлера (див. (2.57)) .

∂∂ut + u ∂∂ux + v ∂∂uy + w ∂∂uz =+ 2ωz v − ρ1 ∂∂xp ,

∂∂vt + u ∂∂vx + v ∂∂vy + w ∂∂vz =− 2ωz u −ρ1 ∂∂py .

Далі розглянемо третє рівняння руху з відповідними					оцінками :
∂w	+ u ∂w	+ v ∂w	+w ∂w = − g	+ 2ωzu −	1 ∂p		+υ∆w.
∂t					ρ ∂z
	∂x	∂y	∂z
2 10−7 1,4 10−7 1,4 10−7 3 10−8 101				0,8 10−3	101		4,5 10	−19

Виходячи з отриманих оцінок, у розглянутому рівнянні повинні бути збережені тільки два члени з порядком доданків 101 , що виражають баланс сил ваги і градієнта тиску (2.57). Але це є відоме рівняння статики

- gρ=	∂p	,	(2.58)
	∂z

інтегрування правої і лівої частини якого дає відому барометричну формулу:

	z2	g
	p2 =p1 exp(− ∫		dz) .	(2.59)
		RT
	z1

Рівняння статики виконується з великим ступенем точності не тільки для нерухомої атмосфери, але і для атмосфери, що рухається. Порушення цього балансу в атмосфері можливі, але вони короткочасні, оскільки відбувається швидке пристосування полів.

Оцінка членів рівняння нерозривності дає близькі результати до виконаного раніше аналізу за допомогою теорії подібності:

68

∂ρ

+ u

∂ρ

+v

∂ρ

+ w

∂ρ

+ ρ

∂u

+ ρ

∂v

+ ρ

∂w

= 0 .

∂t

∂x

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

3 10−10 2,1 10−10

10−9 1,2 10−8 1,2 10−8 3 10−9

тобто з аналізу витікає, що може бути враховане убування густини з висотою, оскільки відповідний доданок має порядок величини на порядок менше головних доданків рівняння.

69

3 ДИНАМІКА ВІЛЬНОЇ АТМОСФЕРИ

Вільною атмосферою називають частину тропосфери, розташовану над граничним шаром, у якій безпосередній вплив підстильної поверхні не позначається на метеорологічному режимі. На підставі спрощень рівнянь гідротермодинаміки атмосфери вище було показано, що головними членами в рівняннях руху для крупномасштабних процесів є доданки одного порядку величини, відповідальні за дію сил баричного градієнта, Коріоліса і ваги.

3.1 Градієнтний вітер

Розглянемо характер рухів атмосфери в горизонтальній площині. Зберігши в перших двох рівняннях руху доданки тільки одного порядку

(10−3 ), ми дістанемо рівняння руху у вигляді:

0 =2ωz v −

1

∂ p

,

0 =− 2ωzu −

1

∂ p

.

ρ ∂ x

ρ ∂ y

Звідси знаходимо складові швидкості вітру:

v =

1

∂p

, u =−

1

∂p

.

2ωz ρ ∂ x

2ωz ρ ∂y

(3.1)

(3.2)

Оскільки сила баричного градієнта спрямована по нормалі до ізобар, а сила Коріоліса - вправо перпендикулярно вектору швидкості, то останній повинен бути спрямований уздовж ізобар. Сталий вітер без тертя,

спрямований уздовж ізобар, отримав назву градієнтного вітру. Ця назва вітру пов'язана з тим, що сила, яка його змушує, є сила баричного градієнту, і він прямо пов'язан з горизонтальним градієнтом тиску. У випадку прямолінійних ізобар цей вітер називається геострофічним, а для кругових ізобар - геоциклострофічним. В останньому випадку він виникає в результаті взаємодії трьох сил: сили баричного градієнта, сили Коріоліса і відцентрової сили. Розглянемо більш докладно властивості кожного з зазначених типів вітру.

3.1.1 Геострофічний вітер.

По визначенню - це стаціонарна повітряна течія у прямолінійних ізобарах при відсутності сили тертя. Математично зв'язок між градієнтом тиску і складовими геострофічного вітру встановлює найбільш простий

спосіб оцінки швидкості вітру по полю тиску:

vg

=

1 ∂p

,

ug

=−

1 ∂p

,

(3.3)

lρ ∂x

lρ ∂y

або

70