Конспект лекций Дин метеорология_2003

−ui

∂p

−u j

∂p

= −(

∂ ui

p

− p

∂ ui

+

∂ u j p

− p

∂ u j

)

=

∂x j

∂xi

∂ x j

∂ xi

∂ xi

∂ x j

∂ ui p

∂u

j

p

∂ui

∂u

j

+ p

= −

+

+

∂ x j

∂xi

∂x j

∂xi

∂ 2u

i

∂

2u

i

∂

∂ u j

µ ∆ u

i

= µ

= µ

+ µ

=

2

2

∂ xi

∂ x j

∂ x j

∂ x j

∂

∂ ui

∂

∂ ui

∂ u j

∂ u j

µ

+

=

σij ,

σij = µ

+

,

∂x j

∂ x j

∂ xi

∂ x j

∂ x j

∂ xi

∂ u

i

∂ u j

де σ

ij

=

µ

+

,

- тензор в′язких напружень;

∂ x

j

∂ x

i

µ ui ∆u j = ui

∂ σα j

=

∂ ui σα j

−σα j

∂ ui

,

∂ xα

∂ xα

∂ xα

∂ σ

αi

∂ u

σ

αi

∂ u

µ u j ∆ui = u j

=

j

−σαi

j .

∂ x

∂ x

∂ x

α

α

α

З урахуванням зроблених перетворень маємо:

∂ ρuiu j

+

∂

[ρuiu j uα + (p ui δ jα + p u j δiα )− (ui σ jα + u j σiα )]=

∂ t

∂xα

∂ u

i

∂ u j

∂ u j

∂ u

i

= (ρui X j

+ ρu j X i )+ p

+

σiα

+ σ jα

∂ x j

−

∂ xα

. (4.60)

∂ xi

∂ xα

Однак, аналіз отриманих рівнянь значно утруднений, фізичний зміст багатьох доданків не зрозумілий. Тому звичайно розглядають перетворення цих рівнянь для кінетичної енергії рухів. З цією метою покладемо i = j = β , введемо поняття щільності кінетичної енергії для

миттєвих величин
	E =	1		ρ uβ uβ						(4.61)
		2
і знайдемо рівняння для її зміни за часом:
	∂ ρuβ uβ		+		∂	[ρuβ uβ uα + 2(p uβ δαβ − uβ σαβ )]=
	∂t				∂xα
							∂ uβ			∂ uβ
				β − σαβ					+ 2 p
= 2 ρuβ X
							∂ xα			∂ xβ
										131

Далі, з використанням умови нестисливості рідини, отримаємо шукане рівняння:

∂E

+

∂

[Euα + puα −uβσαβ ]= ρuα X α −ρε ,

(4.62)

∂t

∂xα

1

2

3

4

∂uβ 2

5

6

∂uβ

µ

∂u

α

де ρε = σαβ

=

+

-

питома дисипація

кінетичної

∂xα

∑

∂xβ

2

α,β

∂xα

енергії (на одиницю часу та одиницю об’єму). Звернемо увагу на те, що дане рівняння містить суму трьох рівнянь для других моментів, що розміщуються на діагоналі тензора другого порядку, який містить другі моменти для складових швидкості. Пояснимо фізичний зміст різних доданків у рівнянні для других моментів миттєвих величин (4.62). Цифрами позначені:

1 - зміна в часі щільності кінетичної енергії; 2-4 - щільність потока енергії (вираз у дужках) внаслідок

безпосереднього переносу енергії при переміщенні частинок рідини (2), за рахунок роботи сил тиску (3) і молекулярного тертя (4);

5-6 - зміни щільності кінетичної енергії внаслідок роботи масових сил

(5)та дисипації - переходу частини кінетичної енергії в тепло (6).

4.3.2Рівняння для других моментів середніх величин

Зцією метою скористаємося замість рівнянь Нав′є-Стокса рівняннями Рейнольдса для підстановки в рівняння (4.57)

∂ (ρ u u

+

ρ

u′u′

+

pδ

)

∂ ρui

iα

− σ

iα

+

i α

i

α

= ρ Xi .

(4.63)

∂xα

∂ t

Тут прийнято, що

ρ = const,

∂ uα

= 0.

∂ x

α

Виконуючи послідовно аналогічні дії дістанемо:

∂ ρ

u

i

u

j

∂

u

j

∂

u

i

= ρui

+ ρu j

=

∂t

∂ t

∂ t

′

′

∂(ρu j uα

+ ρu j uα

+ p δ jα − σ jα )

= −ui −

+ ρ X j

+

∂ xα

′

′

∂(ρui uα + ρuiuα + p δiα − σiα )

+

u

j −

+ ρ

X i

=

∂ xα

132

′

′

∂σ jα

∂ρu j u

α

∂ρu j uα

∂p

= − ui

+ui

+ui

δiα

−ui

+ρui

X j −

∂x

∂x

∂x

∂x

α

α

α

α

′

′

+ρ

−

u

∂ρui uα

+

u

∂ρui uα

+

u

∂p

δ

−

u

∂σiα

u

X

.

j

j

jα

j

j

i

j

∂xα

∂xα

∂xα

∂xα

Далі, виконуючи нескладні перетворення для окремих доданків

∂ ρ u j uα

∂ ρ u u

−

ui

+ u j

i

α

=

∂ x

α

∂ x

α

∂ ρ u j uα

∂ ρ u u

∂ u

∂ ρ ui u j

uα

−

ui

+ u j

i

α

+ ρ ui

u j

α

= −

;

∂ x

∂ x

∂ x

α

∂ x

α

α

α

∂ρ

u′ u

′

′

′

− u

j

α

∂ρuiu

α

+ u

=

i

∂xα

j

∂xα

′

′

′

′

∂( ρui u ju

α

+ ρu j uiuα )

− ρu

′ u

′

∂ui

− ρu′u′

∂u j

= −

;

∂xα

j

α ∂xα

i

α ∂xα

∂ p

∂ p

= −

ui

δiα + u j

δ jα

=

∂ xα

∂ xα

∂ ui

p

∂ u j

p

− p

∂ ui

δiα − p

∂ u j p

= −

δiα

+

δ jα

δ jα ;

∂ x

∂ x

∂ x

∂ x

α

α

α

α

∂ σ

jα

∂ σ

iα

= −

ui

+ u j

=

∂ x

α

∂ x

α

,

∂ u j

∂ uiσ

jα

∂ u jσ

jα

∂ ui

= −

+

− σ

− σ

∂ x

∂ x

jα ∂ x

iα ∂ x

α

α

α

α

отримаємо рівняння для других моментів середніх величин

∂ρ

u

i

u

j

∂

]+

′

′

′

′

+

+ ρu j

∂t

∂xα

[ρuiu juα + ρui u j uα

uiuα

+

∂

[(p

u

i δ jα + p

u

j δiα )− (

u

i σjα +

u

j σiα )]=

∂xα

(4.64)

∂

u

∂

u

∂

u

∂

u

i

j

j

i

−

+ σjα

+

+

= (ρui X j + ρu j X i )+ p

∂x j

∂xi

σiα

∂xα

∂xα

∂

u

j

∂

u

i

′

′

′

′

.

+ ρuiuα

∂xα

+ ρu j uα

∂xα

133

Поклавши i = j

= β , перетворимо рівняння (4.64) до рівнянь вигляду:

∂ ρ uβuβ

∂

+

ρ u

u

u +

ρ u

u′ u′

+ ρ u

u′ u′

+

∂ t

∂ xα [

]

β

β α

β

β α

β

β α

+

∂

[(p uβ δβα + p uβ δβα )− (uβ σ

βα )]=

βα + uβ σ

∂ xα

∂

u

β

∂

u

β

∂

u

β

∂

u

β

= (ρu

β

X

β

+ ρu

β

X

β

)+ p

+

−

σ

βα

+ σ

βα

+

∂ xα

∂ xβ ∂ xβ

∂ xα

∂

u

β

∂

u

β

′

′

′

′

.

+ ρuβuα

∂ xα

+ ρuβuα

∂ xα

∂

u

β

∂

u

β

∂

u

β

∂

u

β

= (ρu

β

X

β

+ ρu

β

X

β

)+ p

+

−

σ

βα

+ σ

βα

+

∂ xα

∂ xβ ∂ xβ

∂ xα

∂

u

β

∂

u

β

′

′

′

′

.

+ ρuβuα

∂ xα

+ ρuβuα

∂ xα

Уведемо тепер поняття щільності кінетичної енергії осередненого

руху

	Es	=	1	ρ	u	β	u	β	(4.65)
			2

і знаходимо рівняння для зміни за часом щільності кінетичної енергії осередненого руху:

∂Es

∂

′

′

+

[Es u

− uβ σβα ]=

∂t

∂xα

α + ρ uβ uβu

α + puα

1

2

3

4

5

∂ uβ

= ρ u

X

− ρε

s

+ ρ u′

u′

.

(4.66)

α

α

α

β ∂ xα

6

7

8

Наведемо фізичний зміст складових цього рівняння:

1 – зміна щільності кінетичної енергії осередненого руху з часом; 2 – щільність потоку кінетичної енергії внаслідок переносу енергії осередненим рухом;

4 - щільність потоку (перенос) кінетичної енергії осередненого руху за рахунок роботи сил тиску; 3,5 – щільність потоку (перенос) кінетичної енергії осередненого руху

завдяки силам молекулярного тертя та турбулентної в'язкості; 6 - зміни кінетичної енергії осередненого руху внаслідок роботи масових сил;

134

∂

u

β

µ

∂

u

α

∂

u

β 2

7 - ρεs = σαβ ∂x

= 2

∑

∂x

+

∂x

- питома дисипація кінетичної

α

α,β

β

α

енергії осередненого руху, тобто перехід частки цієї енергії в тепло внаслідок дії молекулярної в'язкості; 8 - значення останнього доданка буде розглянуто нижче.

4.3.4 Рівняння для моментів пульсаційних величин

Якщо тепер осереднити рівняння для других моментів миттєвих величин і відняти від нього рівняння для других моментів осередненого руху, то ми отримаємо рівняння для других моментів пульсаційних величин або напружень Рейнольдса. Тому випишемо послідовно хід допоміжних дій у рамках підходу Фрідмана-Келлера.

Отже, здійснимо осереднення рівняння для других моментів миттєвих величин:

∂ ρ

ui u j

+

∂

[

α + (

+

)− (

+

)]=

ρ ui u j u

p ui δ jα

p u j δiα

ui σ jα

u j σiα

∂ t

∂ xα

∂ u j

∂ u j

∂ u

∂ u

= (ρ ui X j

+ ρ u j Xi )+

i

i

+ p

−

σiα

+ σ jα

p

∂ x j

∂ xα

.

∂ xi

∂ xα

Використовуючи правила осереднення Рейнольдса, перетворимо дане рівняння до вигляду:

′

′

′

ρuiu j uα + ρuiu j uα

∂ρui′u′j

′ ′

′ ′

′ ′

+

∂ρuiu j

∂

+

+

+ ρui u j uα + ρu j

uiuα + ρuα uiu j

∂t

∂t

∂xα

′

′

′ ′

+ (pui δ jα + p ui

δ jα + pu j δiα + p u j δiα )

− (

+

u

i σ jα +

u

j σiα +

)

ui′σ′jα

u′j σ′iα

= (ρui X j + ρui′X ′j + ρu j X i + ρu′j X i′)+

= −

∂

u

∂

j

∂u′j

u

i

∂u

′

+

+ p′

i

+ p

+ p′

−

p

∂x

j

∂x

j

∂x

i

∂x

i

∂

u

∂u′j

∂

j

u

i

∂u′

−

σiα

+ σ′iα

+ σ jα

+ σ′jα

i

(4.67)

∂xα

∂xα

∂xα

.

∂xα

Віднімемо почленно рівняння (4.66) з рівняння (4.67). Тоді маємо

135

′

′

′

′ ′

∂ρui′u′j

∂

ρuiu j uα + ρuα uiu j +

+

=

∂t

∂xα

′ ′

δ jα

′

′

′

′

′

′

+ (p ui

+ p u j

δiα )− (ui

σ jα + u j σiα )

′

∂u′

∂ui

j

−

= (ρ ui′X ′j + ρu′j X i′)+ +p′

∂x j

+

(4.68)

∂xi

∂

j

∂u′j

u

∂

u

∂u′

i

−

′

′

i

′

′

′ ′

−

+ σiα

∂xα

+ σ jα

∂xα

ρuiu

α

∂xα

+ ρu j uα

.

∂xα

Отже, нами отримане рівняння для других моментів пульсаційних величин, яке записане в тензорних позначеннях. Фактично це запис дев'яти рівнянь для напружень Рейнольдса.

Але ці рівняння містять крім середньої швидкості ui і напружень Рейнольдса ρ ui′u′j нові невідомі, котрі можна розділити на три групи:

1) треті центральні моменти ρ ui′u′j uα′ ,

2) другі

моменти пульсацій

швидкості

ui′σ ′jα

і її

просторових

похідних σ ′

∂ ui′

, які не можна виразити через напруження Рейнольдса,

jα ∂ xα

3) взаємні другі моменти полів тиску і швидкості (

і p′

∂ ui′

),

p′u′

i

∂ x j

що можуть

бути

представлені

у вигляді

інтегралів

від

двоточкових

моментів третього порядку типу ui′(x,t) u′j (x′,t) uk′ (x′,t) .

Як бачимо, рівняння для напружень Рейнольдса знову не утворюють замкнутої системи. Якщо спробувати доповнити їх рівняннями для нових

невідомих, наприклад для третіх моментів ρ ui′u′j uk′ , то в ці нові рівняння ввійдуть нові невідомі: четверті моменти ρ ui′u′j uk′ ul′ і треті моменти типу

			∂ u′		∂ u′j
p′u′	u′ або		i			u′	. При цьому різниця між числом рівнянь і числом
j	k		∂ xm ∂ xn			k

невідомих стане ще більшою. Звідси випливає висновок про те, що складання рівнянь для вищих моментів ні на якому етапі не дозволяє отримати замкнуту систему рівнянь.

Однак систему рівнянь Рейнольдса і напружень Рейнольдса можна намагатися замкнути, залучаючи ті чи інші гіпотези, які дозволяють

виразити ті або інші нові невідомі через перші ( ui ) і другі моменти (ui′u′j )

136

середніх або пульсаційних величин. Але тоді отримані рівняння будуть являти собою деякі варіанти «напівемпіричної теорії турбулентності», у якій гіпотетичні зв'язки просто мають більш складну структуру. У зв'язку з цим розглянемо більш докладно фізичний зміст окремих доданків отриманого рівняння (4.68).

4.3.5 Рівняння для турбулентної енергії

Поклавши i = j = β , перетворимо рівняння (4.68) у рівняння для

щільності кінетичної енергії турбулентних пульсацій

E

=

1

ρ

,

(4.69)

t

u′

u′

2

β

β

яке здобуває вигляд

′

′ ′

′

′

∂ρuβ′uβ′

∂

ρuβuβuα + ρuα uβuβ +

+

=

∂t

∂xα

′ ′

′

′

′ ′

′ ′

+ (p uβδβα + p uβ δβα )− (uβσβα

+ uβ σβα )

∂u′

∂u′

=

(ρu′

X ′

+ ρu′

X ′ )+ p′

β

+

β

−

β

β

β

β

∂xβ

∂xβ

(4.70)

∂

∂

∂uβ′

∂uβ′

u

β

u

β

−

+ σ′

+ σ′

− ρu

′u′

+ ρu′u′

.

βα

∂xα

βα

∂xα

β

α

∂xα

β α

∂xα

Позначаючи доданок

∂ u

′

2

∂ u

′

µ

∂ ui′

β

+

j

,

ρε

t

=

σ ′

=

αβ

∂ xα

∑

∂ x j

2 i, j

∂ xi

що має зміст середньої питомої диссипації енергії пульсаційного руху під дією в'язкості. Остаточно маємо

∂ Et

+

∂

E

u

+

1

ρ

+

−

=

u′

u′

u′

p′u′

u′

σ ′

∂ t

t α

2

β

β

α

α

β

βα

∂ xα

1					2		3			4	5
								∂ uβ
= ρ u′		X ′	− ρε	t	− ρu′ u′				.		(4.71)
								∂ xα
	α	α				α β
6			7		8

Це загальне рівняння для кінетичної енергії турбулентності. Воно показує, що щільність турбулентної енергії (1) в даній точці може змінюватися внаслідок

137

-переносу турбулентної енергії від інших частин рідини (вираз у квадратних дужках), тобто за рахунок дифузії турбулентної енергії шляхом переносу середнім рухом (доданок 2), за рахунок роботи сил внутрішнього тертя (молекулярної (5) і турбулентної в'язкості (3)) та роботи пульсацій сил тиску (4);

-роботи пульсацій масових сил (6);

-дисипації турбулентної енергії під дією в'язкості (7) і

-перетворення частини енергії осередненого руху в турбулентну енергію і навпаки. Доданок (8) входить з різними знаками в рівняння для Es (4.66) і Et (4.71). Це означає, що воно описує взаємні перетворення

енергії осередненого і пульсаційного рухів.

Якщо тепер кінетичну енергію турбулентності замінити інтенсивністю турбулентності, тобто середньою кінетичною енергією турбулентних

пульсацій на одиницю маси

b = E

/ ρ =

1

,

(4.72)

t

u′ u′

2

β β

то рівняння (4.71) можна привести до дальшого вигляду

d b

=

∂ Et

+ u

∂ Et

= −

∂ uβ

+

+

u′ u′

− ε

t

u′ X ′

α ∂ xα

d t

∂ t

α β ∂ xα

α α

∂

1

1

∂ uα′

∂ u′

+

−

u′ u′ u′

−

p′u′

+ υu′

+

β

.

(4.73)

∂ xα

2

β β α

ρ

α

β

∂ xβ

∂ xα

У рівнянні (4.73) фізичний зміст доданків не зміняюється.

Рівняння для турбулентної енергії накладає нове обмеження на статистичні характеристики турбулентності, при цьому в ньому також

містяться нові невідомі uβ′ uβ′ uα′ , p′uα′ і εt , які не входили до рівняння

Рейнольдса. Тому розглянемо більш докладно роль окремих доданків, що входять у це рівняння.

1) p′uα′ - ці доданки в балансі енергії турбулентності відіграють

незначну роль, у нестисливій рідині пульсації тиску призводять до додаткового переносу турбулентної енергії від одних частин рідини до інших. Тому, якщо розглянути об′єм рідини з «закритими» границями, через які енергія не втікає і не витікає, то наявність пульсацій тиску ніяк не позначиться на змінах повної турбулентної енергії. Звідси, однак, не випливає, що ними можна просто знехтувати. Їх роль найбільш наочно видна з аналізу рівнянь для змін щільності кінетичної енергії окремих складових, особливо в припущенні горизонтальної однорідності осередненого руху й осереднених характеристик турбулентності. Тоді стає очевидним, що за рахунок пульсацій тиску відбувається перерозподіл енергії між пульсаційними рухами різних напрямків. Це має своїм

138

результатом тенденцію до ізотропності пульсаційного руху. Так, енергія

1

подовжніх пульсацій

E1 =

ρ

u′2

поповнюється за рахунок

енергії

2

1

осередненого

руху,

а енергія поперечних пульсацій E2 =

ρ

v′2

і

2

1

E3 =

ρ

w′2

дістається тільки з енергії подовжніх пульсацій швидкості

2

завдяки роботі пульсацій тиску. Конвергенція подовжньої пульсації швидкості u′призводить переважно до позитивних, а дивергенція - до негативних пульсацій тиску. Це представляється цілком логічним і фізично з'ясовним: якщо два сусідніх елементи рідини рухаються уздовж осередненої течії назустріч один одному, то в області між ними утвориться за рахунок їх енергії позитивна пульсація тиску, а ріст тиску приведе до відтоку рідини в поперечних напрямках. Знак пульсації тиску таким чином визначається сходяться чи розходяться сусідні частки рідини. Звідси, до речі, випливає, що доданки, які містять пульсації тиску можуть бути параметризовані (виражені) через квадрати відповідних пульсацій швидкості.

3) A = −uα′ uβ′	∂ uβ	- цей доданок описує обмін енергією між
	∂ xα

осередненим і пульсаційним рухом. Якщо в даній точці простору А > 0, це означає, що щільність турбулентної енергії росте за рахунок енергії осередненого руху. І навпаки, якщо А < 0 – це означає, що щільність енергії осередненого руху росте за рахунок пульсаційного руху. Така ситуація може реалізовуватися при «зовнішніх» джерелах енергії, наприклад, при штучному перемішуванні рідини. А у випадку атмосферної турбулентності, наприклад, у загальній циркуляції атмосфери під турбулентністю можна розуміти сукупність крупномасштабних збурювань типу циклонів і антициклонів - макротурбулентність, що накладається на основну течію загальної циркуляції: західно-східний перенос. Ці турбулентні збурювання можуть виникати за рахунок локального припливу тепла, а далі частина їх енергії може передаватися осередненій течії загальної циркуляції. Безпосередні розрахунки величини А за даними метеорологічних спостережень показали, що дійсно в ряді випадків вони виявлялися негативними. У літературі ці явища отримали назву "явища з «від′ємною» в'язкістю".

Звернем увагу на те, що, як випливає з аналізу рівняння (4.73), при відсутності зовнішнього обміну енергією і відсутності пульсацій масових сил єдиним джерелом енергії всередині розглянутого об′єму може бути тільки енергія осередненої течії. В цих умовах виникнення, розвиток і

139

підтримка турбулентності можлива тільки за умови, що інтеграл від А за всім об′ємом буде додатний.

4) uα′ Xα′ - цей доданок відповідає за зміну кінетичної енергії

внаслідок роботи пульсацій масових сил. Однак, для того, щоб привести конкретний вираз для цього доданка і дати визначення його ролі в загальному балансі кінетичної енергії турбулентності, необхідно звернутися до аналізу рівнянь балансу турбулентної енергії стисливої рідини. Облік пульсацій густини ρ′ вносить помітні ускладнення у

виведення і трактування відповідних рівнянь. При цьому середня щільність імпульсу (кількості руху) буде дорівнювати ρ ui = ρui + ρ ui′, де ρ ui′ = ρ′ui′ - середня щільність імпульсу пульсаційного руху. Тоді вираз для середньої щільності кінетичної енергії здобуває вигляд:

=

1

=

1

u u

+

u

+

1

= E

+ E

+ E

, (4.74)

E

ρ u u

ρ u′

ρ u′ u′

ρ

s

s t

t

2

α α

2

α α

α α

2

α α

1

де E

-

щільність

енергії

середнього

руху,

E

=

-

щільність

s

t

ρ u′

u′

2

α

α

енергії

пульсаційного руху,

Es t =

ρ uα′

uα

=

ρ′uα′

u

α

-

додаткова

частина пульсаційної енергії, яка пов'язана з роботою імпульсу

при

ρui′

переміщеннях рідини, які складають осереднену течію. При складанні рівнянь для моментів використовуються рівняння руху і нерозривності для стисливої рідини. Виведення цих рівнянь балансу тут не наводиться, проте вкажемо на деякі відмінності в них у порівнянні з аналогічними рівняннями для моментів нестисливої рідини. По-перше, замість в′язких напружень під σij треба розуміти їх вирази для в′язкої стисливої рідини,

по-друге, виходять три рівняння для зазначених вище складових кінетичної енергії, і, по-третє, ці три рівняння містять цілий ряд нових статистичних характеристик турбулентності, які не містились в рівняннях для других моментів нестисливої рідини. Найбільш істотними з них є згадані складові щільності імпульсу пульсацій або складові середнього

турбулентного потоку маси ρui′. Але найважливіша відмінність загального рівняння для кінетичної енергії пульсаційного руху для стисливої рідини

							D		α
								u
складається в появі складової	B = ρ u′ X α					−				, зміст і роль якої
		i					D t

розглянемо докладніше.

Основною масовою силою, що діє на рідину і виконує роботу, є сила ваги. Якщо направити вісь z вертикально вгору, масові сили можна представити

Xi = Yi − g δi 3 ,	(4.75)
	140