Конспект лекций Дин метеорология_2003

Силу плавучості із третього рівняння руху оцінимо як λϑ′, де λ = g / θ - параметр плавучості, ϑ′- відхилення потенціальної температури від стандартного розподілу. Тоді робота проти сили плавучості буде

AA =λϑ′V .

(4.5)

Розглянемо умови підтримки збурювання окремо для різних умов в атмосфері (рис. 4.2).

Рис. 4.2 Діаграма умов підтримки турбулентності в атмосфері [3]

	Стійка стратифікація				KT >Af + AA , кінетична енергія вихрового руху
повинна перевищувати роботу проти сил тертя і плавучості.
	А) Стратифікація близька до нейтральної: AA 0 . Тоді KТ >Аf і
	Re=		V L	>1 .	(4.6)
			v		стратифікація: Аf << AA . Тоді KТ > АА
	В)	Сильно стійка
Ri=	λ Lϑ′	<1.			(4.7)
	V 2

(Тут число Re - число Рейнольдса, що виражає відношення сил інерції і тертя, а Ri - число Річардсона, що виражає співвідношення між силами плавучості й інерції).

111

С) Загальний випадок, сили тертя і плавучості одного порядку. Тоді

KТ >Аf + AA

і

1 > Ri + Re−1 .

(4.8)

Таким чином, при стійкій стратифікації, умови підтримки турбулентності полягають у тому, щоб число Re було досить великим

(>1), а число Ri достатньо малим.

Нестійка стратифікація: робота сили плавучості є додатковим джерелом енергії турбулентності, тому KТ + АА >Аf .

А) Стратифікація близька до нейтральної: АА 0 . Тоді KТ >Аf і

Re=	V L	>1 .	(4.9)
	v
В) Сильно нестійка стратифікація: KТ << АА. Тоді
Ri Re >1 .			(4.10)

С) Загальний випадок: сили тертя і плавучості одного порядку. Тоді

(1+Ri) Re >1 .

(4.11)

Розглянуті вище співвідношення між кінетичною енергією турбулентних збурювань і роботою сил тертя й плавучості при стійкій, нейтральній і нестійкий стратифікації дозволяють виявити умови розвитку турбулентності.

Теоретичний метод. Власне кажучи, розглядається метод малих збурювань. Ламінарна течія виявляється при Re<Reкр. Вона описується

рішенням рівнянь гідродинаміки при заданих зовнішніх умовах. Це означає, що збурювання в потоці повинні згасати з часом. Якщо як завгодно малі збурювання будуть зростати, що буде відбуватися при Re>Reкр, то це приведе до фундаментальних змін вихідних рухів, тобто

рухи стануть нестійкими. Таким чином Reкр буде характеризувати умову

втрати стійкості, і, отже, теоретичне вивчення виникнення турбулентності зводиться до математичного дослідження стійкості рішень рівнянь гідродинаміки до малих збурювань. Розглянемо якісну сторону такого дослідження і відзначимо основні принципові моменти згідно розумінь Л.Д.Ландау. Математичне дослідження питання про стійкість руху щодо малих збурювань проводиться за наступною схемою.

На основний стаціонарний рух зі швидкістю i =j =β накладається мале збурювання vi1 (x.t) , таке, щоб v1i (x, t) << vi0 (x) і результуючий рух зі швидкістю vi = vi0 (x) +vi1(x, t) задовольняв рівнянням руху і нерозривності для нестисливої рідини. Випишемо ці рівняння в тензорних позначеннях:

112

∂vi

+vk

∂vi

=−

1

∂p

+ν

∂2vi

,

∂vi

= 0 .

(4.12)

∂t

∂xk

ρ ∂xi

∂xk2

∂xi

Оскільки vi0 (x) є рішення системи стаціонарних рівнянь, то рівняння для збурювань після лінеаризації дістанемо у вигляді:

∂v

i1

∂v

i0

∂v

i1

1

∂p

∂2v

i1

∂v

i1

+vk1

+vk 0

=−

1 +ν

,

= 0 .

(4.13)

∂t

∂xk

∂xk

ρ ∂xi

∂xk2

∂xi

Загальне рішення таких рівнянь може бути наведене у вигляді суми

часткових рішень:

vi1 (x.t) =A(t) f (x) ,

(4.14)

де A(t) =exp(−iΩt) =exp(γt −iωt)

- амплітуда, що періодично змінюється, Ω

- власна частота, γ, ω - дійсні числа. При γ<0 амплітуда збурювань згасає, при γ > 0 амплітуда збурювань росте, що означає втрату стійкості. Оскільки це відбувається при Re>Reкр, то можна вважати, що γ є функція

числа Re і визначити Reкр як величину, при якій для однієї з частот Ω уявна частина обертається в нуль. Нехай це буде частота Ω1 =ω1 +iγ1 і тоді

γ1	при малій		різниці	(Re−Reкр ) можна представити у вигляді
γ1	=const (Re−Reкр ),
	γ1 < 0• при		Re <Reкр ,
	γ1	= 0• при	Re =Reкр,
	γ1	> 0• при	Re >Reкр.	(4.15)
	Зазначимо,		що якщо	exp(γ1t) швидко зростає, то рішення рівнянь

можуть бути справедливі тільки при малих проміжках часу після втрати стійкості. Аналіз отриманих рішень для цього інтервалу показав, що амплітуда в початковий момент часу досить мала, але потім відбувається її швидкий ріст, згодом уповільнення і прагнення до межі

A(∞) Re− Reкр .

Таким чином, нестійкість течії при Re>Reкр призводить до появи нестаціонарного періодичного руху. При Re близьких до Reкр ці рухи можуть бути наведені у вигляді накладення періодичного руху vi1 (x.t) з малою, але кінцевою амплітудою, на стаціонарний рух vi0 (x) . Необхідно

однак відзначити, що при визначенні абсолютної величини амплітуди її фаза не визначена і залежить від випадкових початкових умов. Тому розглянуте рішення не однозначне стосовно стаціонарних граничних умов.

При подальшому збільшенні числа Re , близького до Reкр, настає

момент, коли сталий періодичний рух, визначений сумою швидкостей vi = vi0 (x) + vi1(x, t) , стає нестійким стосовно малого збурювання vi2 (x, t) .

113

Для останнього знову вийде лінійне диференціальне рівняння, аналогічне описаному вище, але його коефіцієнти вже будуть залежати від координат і часу, оскільки початкова течія є нестаціонарною:

vi2 (x.t) = f2 (x,t)exp(−i Ωt) ,

(4.16)

де f2 (x, t) періодична функція часу.

Як і в попередньому випадку, нестійкість настає тоді, коли з'явиться деяка частота Ω2 =ω2 +iγ2 , для якої γ2 > 0 . В результаті виникає

квазіпериодичний рух із двома різними періодами і двома довільними фазами. При подальшому збільшенні числа Re будуть з'являтися все нові і

нові випадкові коливання з різними періодами і невизначеними фазами і рух здобуває нерегулярний характер з величезним числом ступенів волі. Таким чином, при великих Re виникає розвинутий турбулентний рух з

турбулентними вихорами різної тривалості існування і геометричних розмірів. Причому рух даного масштабу або періоду прийнято називати

турбулентним вихором або турбулентним молем.

4.1.2 Методи осереднення

Усі миттєві поля гідродинамічних величин є випадковими. При ідентичних зовнішніх умовах кожна реалізація здійснюється з деякою ймовірністю. Середні в турбулентному потоці є середніми по безлічі реалізацій, що утворюють статистичний ансамбль. Сталі середні виходять при великому числі реалізацій. Іншими словами, середнє значення - це межа, до якої прагне та чи інша пульсаційна величина при необмеженому зростанні числа спостережень, коли зовнішні умови зберігаються незмінними. Однак для атмосферних процесів неможливо отримати такі середні по ансамблю тому, що зовнішні умови не лишаються сталими. (Нагадаємо, що для ламінарної течії при повторних експериментах виходять однакові результати.) Проте, використовується осереднення по простору або часу. При цьому передбачається також справедливість ергодичної теореми, відповідно до якої за певних умов середні по простору ототожнюються середніми за часом. Якщо процес стаціонарний, то середні за часом збігаються із середніми по множині. Але в реальності теорема ергодичності порушується, тому що середні змінюються з часом. Більш того, необхідно так вибирати період осереднення, щоб він не був коротким або занадто довгим. При незмінних зовнішніх умовах середні не повинні бути функціями часу, але в той же час не можна, щоб середні залишалися

практично сталими в часі, тобто

Tn <<T <<Tcp ,

114

вітру біля земної поверхні. Він розрахував спектральну щільність

де Tn - характерний період турбулентних пульсацій, Tcp - характерний час

зміни осередненого поля. Тоді середнє за часом може бути визначено таким чином:

1 T / 2

a(xi ,t) = T − ∫a(xi ,t + τ) dτ

T / 2

Здається, що найлегше виконати цю умову в приземному шарі, де основна частина пульсаційного руху зосереджена в невеликих ділянках спектра. Ван дер Ховен отримав розподіл амплітуд пульсацій швидкості

S(ω)

коливань швидкості вітру в приземному підшарі в області частот ω 0,0007–900 цикл/год. Як видно з рисунку 4.3, в системі (ωS(ω),lnω) маэмо два максимуми на частотах ω1=0,01 цикл/година (≈ 100 годин) і

Рис. 4.3 – Спектр швидкості вітру в приземному підшарі атмосфери [3]

ω2 =80 цикл/година (≈ одна хвил.), що відповідають низькочастотній

області, що пов'язана з проходженням баричних утворювань (циклонів і антициклонів) і високочастотній області, що пов'язана з турбулентними пульсаціями, які треба згладити. З цих даних може бути оцінений

оптимальний період осереднення T =	1		= 67хв.≈година. Звичайно
	ω ω
	1	2

його приймають рівним декільком десяткам хвилин.

О.Рейнольдс запропонував представити всі гідродинамічні величини у вигляді суми:

а =	а	+а′ ,	(4.17)
			115

де а, а, а′- відповідно миттєве, осереднене і пульсаційне значення величини a ( a - уніфіковане позначення vi , p,T,ρ) отримав наступні правила осереднення:

а + а1

=

а

+

а1

,

=a

, якщо a = const ,

а а1

а1

=a , якщо a = const ,

(4.18)

a

∂

a

∂ а

=

,

∂ xi

∂ хi

aa1 =a a1 .

Четверта умова може бути замінена загальною умовою

комутативності

операцій осереднення і

граничного

переходу

lim fn

= lim

fn

.

n→∞

n→∞

2

∂

2

a

∂

a

Тоді

=

;

grad a =grad a; 2 a

=2 a; divVG =divVG... .

2

2

∂›

i

∂x

i

Покладаючи

в

останньому правилі

послідовно

a =1, a =

,

A

a = A′ = A − A , ми дістанемо інші важливі наслідки з умов осереднення О.Рейнольдса, використовуя перший і третій вирази з (4.18):

a =а, (a1 = 1) ,

a A =а A , (a1 = A) ,

а′ =а − а =а − а =а − а =0;

				=				= 0 , (a1 = A′ = A −		),	(4.19)
	a		A′		а		A′
									A

ідалі

аа1 = а(а1 + а1' ) = а а1 + а а1' = аа1 + аа1' = аа1 ,

а

а

= (

а

+ а' )(

а

+ а'

) =

а

а

+ аа'

+ а'

a

+ a' a'

=

а

а

+ a' a' .

(4.20)

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

4.1.3 Рівняння Рейнольдса

Розглянемо тепер виведення рівнянь руху для осереднених величин. З цією метою представимо всі змінні величини, які входять в рівняння гідротермодинаміки (4.17), у вигляді суми: середнього і пульсації. Зробимо попередньо деякі зауваження щодо співвідношень, що входять у ці суми. Так, пульсації швидкості вітру і їх середні значення мають один порядок,

О( v' )≈О( v ) і тому u=u + u', v = v + v', w = w + w'. Проте, оскільки p' << p , ρ' <<ρ, то p p і ρ ρ. Останнє вважається припустимим, тому

116

що коливання густини в атмосфері поширюються зі швидкістю звуку і тому не впливають на середню швидкість основного руху в атмосфері, що дозволяє вважати в середньому атмосферу нестисливою рідиною.

Отже, підставимо спочатку складові швидкості вітру у вигляді сум у рівняння нерозривності. Очевидно, що в силу наведених правил, рівняння нерозривності не змінить свій вигляд:

	∂ u	+	∂ v	+	∂ w	= 0 ,	(4.21)
	∂ x		∂ y		∂ z

тому надалі будемо опускати риску осереднення.

Далі здійснимо операцію осереднення на прикладі першого рівняння руху:

∂u

+u∂u

+v ∂u

+w∂u =

∂u

+

∂uu

+

∂uv

+

∂uw

=

∂t

∂t

∂y

∂z

∂x

∂y

∂z

∂x

1 ∂p

1

∂σ

xx

∂σyx

∂σ

zx

= −

− 2ω y w + 2vωz +

+

+

ρ ∂x

ρ

∂x

∂y

∂z

.

Тут

ми

скористалися рівнянням

нерозривності, помноженим на

∂ u

+ ∂ v +

∂ w

= 0 ,

щоб привести ліву частину

складову швидкості u: u

∂ x

∂ y

∂ z

∂V

∂V j

до дивергентного вигляду; σi j = υρ(

i

+

)

- тензор в′язких напружень

∂x j

∂xi

унестисливій рідині.

Врезультаті операції осереднення метеорологічних величин з

урахуванням

(

= (a + a')(a

+ a' ) =

+ a' a'

)

можемо

отримати

aa

a a

1

1

1

1

1

наступне рівняння для осереднених величин

1 ∂p

∂

u

+

∂

u

u

+

∂

u

v

+

∂

u

w

=

∂

u

+

u

∂

u

+v

∂

u

+ w

∂

u

=

= −

− 2ωy w + 2vωz +

∂t

∂x

∂y

∂t

∂x

∂z

ρ ∂x

∂z

∂y

∂( σ

)

∂( σyx − ρ

)

∂( σ

− ρ

1

− ρ

u' v'

xx

u' u'

zx

u' w'

+

+

+

.

(4.22)

∂x

∂y

∂z

ρ

Аналогічно можуть бути отримані і виписані два інших рівняння

руху:

∂∂vt +u ∂∂vx+v ∂∂vy + w ∂∂vz =

∂( σxy − ρ

)

∂( σyy − ρ

)

∂( σzy − ρ

1 ∂p

1

u' v'

v'v'

v' w'

= −

− 2ω

z

u

+

+

+

(4.23)

ρ ∂y

ρ

∂x

∂y

∂z

∂w

+

u

∂w

+v

∂w

+ w

∂w

=

∂t

∂x

∂y

∂z

117

∂( σ

)

∂( σyz − ρ

)

∂( σzy − ρ

1

∂p

1

− ρ

v'w'

w' w'

xz

u' w'

= −

− g+ 2ω

y

u

+

+

+

.

ρ ∂z

∂x

∂y

∂z

ρ

Таким чином, у турбулентній течії, крім обміну імпульсом між молекулами, який описується тензором в′язких напружень, має місце також передача імпульсу від одних об′ємів рідини до інших, яка створюється турбулентними пульсаціями. Вплив турбулентного перемішування на осереднений рух виявляється ідентичним впливу в'язкості. Середні значення добутків пульсацій метеорологічних величин

називаються додатковими турбулентними напруженнями. Будемо далі їх позначати:

τxx = −ρ

u' u'

, τyx =− ρ

u' v'

, τzx =− ρ

u' w'

;

τxy =− ρ

,

τyy = −ρ

, τzy = −ρ

;

(4.24)

u' v'

v'v'

v' w'

τxz =− ρ

,

τyz =− ρ

, τzz = −ρ

.

u' w'

v'w'

w' w'

Фізичний зміст турбулентних напружень розглянемо на прикладі турбулентного напруження τzx = −ρu' w'. Добуток ρu' w' можна розглядати як миттєве значення кількості руху ρu' , яке переноситься однією частинкою повітря в напрямку осі z з додатковою складовою швидкості w' через одиничну площадку в одиницю часу. Тоді середнє значення добутку густини на складові пульсацій швидкості ρu' w' дорівнюватиме горизонтальній кількості руху, що переноситься по вертикалі через одиничну площадку й одиницю часу частинками повітря, що за період осереднення перетинали одиничну площадку. Турбулентне напруження чисельно дорівнює вертикальному турбулентному потоку кількості руху, узятому з протилежним знаком. Отже, турбулентні напруження виражають сумарний ефект впливу хаотичного руху безлічі часток і вихорів повітря на основний рух. Кожне турбулентне напруження визначає турбулентні потоки складових кількості руху, які переносяться пульсаційними швидкостями у двох взаємно перпендикулярних напрямках. Такий перенос супроводжується тенденцією до вирівнювання в просторі середньої швидкості основного руху і розвитком сили внутрішнього турбулентного тертя.

Слід відзначити, що згладжування рівнянь, не збільшуючи формально числа рівнянь, призводить до появи нових невідомих членів, що містять пульсації метеорологічних величин. Як бачимо, «розплата» за осереднення - це поява нових невідомих і незамкненість системи рівнянь.

118

4.2 Напівемпіричні теорії турбулентності

Для турбулентних течій рівняння Нав′є-Стокса повинні бути замінені системою рівнянь Рейнольдса, однак число невідомих в останній перевершує число рівнянь. Тому рівняння Рейнольдса не можуть бути вирішені в звичному значенні цього слова: при побудові їх рішення деякі функції повинні бути задані незалежно від цих рівнянь. У якихось випадках їх вигляд можна знайти з міркувань розмірності, але частіше це призводить до нових невідомих. Отже, виникає задача: знайти невелике число зв'язків між характеристиками турбулентності.

Теорії турбулентності, що використовують поряд зі строгими рівняннями гідромеханіки також деякі додаткові зв'язки, знайдені емпірично, за даними експериментів, чи виведені за допомогою якісних фізичних міркувань, називаються напівемпіричними теоріями турбулентності.

З погляду «чистої» математики або теоретичної фізики ці теорії розглядаються як нестрогі, але в розвитку уявлень про турбулентні течії вони дійсно зіграли велику роль. Найпростіший шлях замикання системи рівнянь Рейнольдса полягає у встановленні зв'язку між напруженнями Рейнольдса і характеристиками осереднених гідродинамічних полів.

Нагадаємо авторів найбільш відомих з них: Ж.Буссінеск (1887,1897),

Л.Прандтль (1925), Дж.Тейлор (1915, 1930), Т.Карман (1930).

Загальним предметом застосування цих теорій були найпростіші турбулентні течії, наприклад, плоскопаралельні течії або потоки в трубах, в яких розглядалася тільки х-компонента середньої швидкості в залежності від вертикальної координати. Розглянемо на їх прикладі основні ідеї найважливіших напівемпіричних теорій турбулентності.

4.2.1 Теорія Ж.Буссінеска

Згідно цієї теорії турбулентні рухи діють на течію рідини подібно тому, як молекулярні рухи діють на макроскопічну течію. Іншими словами, він ввів гіпотезу про те, що напруженння Рейнольдса лінійним образом залежать від просторових похідних швидкостей осередненого руху. А це допускає існування виразу типу

	− ρ		= ρ k	∂	u		,	(4.25)
		u′w′
				∂ z
	де k - кінематичний коефіцієнт турбулентної в'язкості9							. Дане
	співвідношення, власне кажучи, вводить нову невідому

9 ρk- динамічний коэфіцієнт турбулентної в′язкості.

119

	k = τ ρ	∂	u	,	(4.26)
		∂ z

яка характеризує статистичні властивості пульсаційного руху, а не фізичні властивості рідини, причому, якщо визначати його виходячи з експериментальних даних, то він повинен залежати від просторових координат і часу. Виміри показали, що величина k, на відміну від коефіцієнта молекулярної в'язкості, дійсно не є характерною сталою рідини і виявляється на багато порядків більше величини ν.

Аналогічно можна отримати такі прості формули і для інших складових тензора турбулентних напружень. Для загального випадку горизонтально неоднорідного потоку можна виписати узагальнення для турбулентних напруг Рейнольдса в наступному вигляді

τxx

= 2kL

∂

u

,

τyy

= 2kL

∂ υ

,

τzz

= 2 k

∂ w

,

ρ

ρ

∂ y

ρ

∂ z

∂ x

∂ υ

∂

u

= ρk

∂

u

+ ρkL

∂ w

τxy

= τyx

= ρkL

+

,

τxz

= τzx

,

(4.27)

∂ y

∂ z

∂ x

∂ x

τyz

= τzy = ρk

∂ υ

+ ρkL

∂ w

,

∂ y

∂ z

де k L – коефіцієнт турбулентної в'язкості для імпульсу в горизонтальному

напрямку. Він вводиться через різниці між характерними вертикальним і горизонтальним масштабами рухів в атмосфері і, відповідно, різної інтенсивності турбулентного перемішування імпульсу по горизонталі і вертикалі. Зауважимо, що процеси турбулентного обміну в горизонтальному напрямку виявляються значно інтенсивнішими процесів

турбулентного перемішування по вертикалі, тобто k L >> k .
Використовуючи запропонований підхід, можна формально записати
вирази і для складових турбулентного потоку тепла
Px	= −c p ρkT′ ∂∂θx , Py = −c p ρkT′ ∂∂ θy , Pz = −c p ρkT	∂∂θz ,	(4.28)
де kT	і kT′ – коефіцієнти турбулентного теплообміну у вертикальному і

горизонтальному напрямках, які значно перевищують коефіцієнт молекулярної температуропроводності.

Коефіцієнти турбулентного теплообміну k T , kT′ зв'язані з коефіцієнтами турбулентного обміну для імпульсу наступним чином:

k T = αT k , kT′ = αT kL ,

(4.29)

120