Конспект лекций Дин метеорология_2003

		V 2
ρ	d(		+ П)	=div( pGnVG) − ρdivVG		2	µ(divVG)2
		2			−			+ Д .	(2.23)
		dt				3

Звідси видно, що зміна механічної енергії обумовлена її припливом на границях і переходом у тепло. Звернемо увагу на те, що наявність останніх доданків показує, що не вся робота зовнішніх сил витрачається на зміну кінетичної і потенціальної енергії.

2.6.2 Рівняння балансу повної енергії

На підставі експериментальних даних був зроблений висновок про те, що механічний рух, який супроводжується тертям (дією в′язких сил), неминуче приводить до зміни температури середовища. Абсолютна температура визначає рівень кінетичної енергії газу, тобто є характеристикою внутрішньої енергії. Основний фактор, що призводить до зміни внутрішньої енергії в атмосфері – це приплив сонячної радіації. Зміни внутрішньої енергії еквівалентні змінам кількості тепла в одиниці маси і пов'язані із зміною її температури:

dI = cv dT ,								(2.24)
де cv =			∂I				- коефіцієнт об'ємної	теплоємності при сталому об′ємі.
			∂T
							α
Інтегрування обох частин рівняння (2.24) від Т0 до Т і від I0 до I, за умови,
що Т0 = 0, і I0 = 0, дає
I = cvT .								(2.25)
Повна питома енергія системи складається з кінетичної, потенціальної
і внутрішньої енергії, тобто
e =	V 2				+ П + I .			(2.26)

2

Відповідно закон збереження повної енергії формулюється таким чином:

у замкненій системі енергія ніколи не зникає і не виникає знову; процеси, що відбуваються в ній, обумовлені перетвореннями одного виду

енергії в інший. Це означає, що
	de	= 0 .	(2.27)
	dt

Якщо система не замкнена, то вона може піддаватися зовнішнім впливам (тепловим чи механічним). І тоді закон збереження енергії може бути переформульований таким чином:

51

q = −λT

для незамкненої системи зміни повної енергії дорівнюють отриманому ззовні теплу і роботі, яка виконується зовнішніми силами над системою.

Визначимо молекулярний потік внутрішньої енергії виразом вигляду:

∂∂Tn , де λT - коефіцієнт молекулярної теплопровідності, що має

	розмірність					Вт/град·м. Відповідно
				λT		∂T			Тоді	рівняння
	div q = −div						.
						∂ n
	диференціальній формі має вигляд:
	ρ	d e	= −div Je = −div[− (pGn VG)+ q]
		d t
	або				V 2
			П +
		d			2		+ I		G	G
	ρ							=	div( pnV )		+
				dt

приплив на границях є

балансу повної енергії в

div(λ ∂T ) .	(2.28)
T ∂ n

приплив/відтік механічприплив/відтік внутрішньої енергії ної енергії через границі за рахунок теплопровідності

Таким чином, зміна повної енергії якої-небудь системи пов'язана тільки з її потоком через границі.

2.6.3 Рівняння збереження внутрішньої енергії або рівняння припливу тепла

Для того, щоб використати наведене вище рівняння для термодинамічних досліджень, його необхідно перетворити таким чином, щоб зберегти лише ті доданки, що будуть безпосередньо визначати збільшення внутрішньої енергії. З цією метою необхідно виключити всі інші види енергії і фактори, що їх визначають. Таким чином, віднімаючи з рівняння (2.28) для повної енергії рівняння (2.20) для механічної енергії,

отримаємо рівняння для зміни внутрішньої енергії:

ρ

d I

= cv ρ

dT

= E + div(λT

∂T

) =

dt

dt

∂n

.

(2.29)

G

2

G

∂T

= −p divV

−

µ(divV )2 + Д + div(λT

)

3

∂n

Дане рівняння показує, що зміна в часі внутрішньої енергії складається з припливу тепла ззовні, обумовленого процесами теплопередачі, і переходом частини механічної енергії в тепло за рахунок

52

сил в'язкості і роботи стиснення (розширення), яку счиняють сили тиску та в'язкості. Далі під припливом тепла будемо розуміти зміну кількості внутрішньої енергії, що міститься в одиниці об'єму повітря при його русі за одиницю часу. Тому рівняння (2.29), що описує закон збереження внтрішньої енергії, називають рівнянням припливу тепла.

Розглянемо форми запису цього рівняння для різних типів рідини (газу). Рівняння припливу тепла у вигляді (2.29) виявляється справедливим

	для в′язкої стисливої рідини:
		dT	G		2	G 2		∂T
	cvρ		=− p divV	−		µ(divV )	+ Д +div( λT		) .	(2.30)
		dt			3			∂n

Відповідно, для в′язкої нестисливої рідини (газу), унаслідок того, що
divVG	= 0, (2.30) приймає вигляд:
	cvρ	dT	=Д +div( λT	∂T ) ,	(2.31)
		dt		∂n

тобто зміни внутрішньої енергії пов'язані тільки з перетворенням частини механічної енергії в тепло і переносом тепла ззовні. Сили тиску не

	впливають на зміни об′єму, а, отже, і на зміни теплової енергії.
	Для ідеальної стисливої рідини маємо
	cvρ	dT	=− p divVG + div( λT	∂T	) ,	(2.32)
		dt
				∂n
	а для ідеальної нестисливої рідини (газу) -
	cvρ	dT	=div( λT ∂T ) .			(2.33)
		dt
			∂n

Для нерухомого середовища і за умови сталості коефіцієнта теплопровідності отримаємо відоме рівняння Фур'є, що описує процес теплопровідності у твердому тілі:

		∂T		= k∆T ,		(2.34)
		∂t
де	k=		λT			2	/ с.
					- коефіцієнт температуропровідності, що має розмірність м
			cv ρ

Таким чином, рівняння припливу тепла так, як і рівняння руху, змінюють свою форму в залежності від властивостей рідини (газу), але на відміну від останніх відповідні форми не мають власних назв.

Звернемо увагу ще на одну обставину. Незважаючи на те, що дисипація механічної енергії відіграє важливу роль у загальному балансі кінетичної енергії в атмосфері, зміни внутрішньої енергії повітря, викликані перетворенням променистої енергії внаслідок її взаємодії з аерозолями, водяним паром та іншими газами в атмосфері, а також довгохвильового випромінювання атмосфери і підстильної поверхні виявляються значно більше її змін тільки за рахунок дисипації. Тому в

53

задачах динамічної метеорології останнім джерелом звичайно зневажають, за винятком спеціальних досліджень по енергетиці атмосфери. Така форма рівняння припливу тепла збігається з рівнянням для ідеального газу і придатна для повітря, ненасиченого водяною парою. Далі, якщо водяна пара насичує атмосферу (окремі частини простору), то в повітрі відбуваються процеси конденсації і випаровування. Повна внутрішня енергія суміші (сухе повітря - водяна пара - рідка вода) залишається незмінною. Але, якщо розглядаються зміни окремих компонентів суміші, наприклад, температури сухого повітря, то при конденсації водяної пари вона зростає, а при випаровуванні - зменшується. З цієї точки зору, зміни внутрішньої енергії за рахунок фазових перетворень вологи можна вважати за приплив тепла ззовні. Тоді всі ці припливи тепла можна

об'єднати в правій частині і представити у вигляді потужності ρ ddQt ,

тобто припливу тепла за одиницю часу до елементарного об′єму. Тоді рівняння припливу тепла можна переписати у вигляді:

cv ρ	dT	=− p divVG + ρ	dQ	.	(2.35)
	dt
			dt

Для зручності вводять приплив тепла до одиниці об'єму за одиницю часу, тобто

ρε = ddQt ,

де Q = Q

+ Q

+ Q

, а Q

, Q

,Q

λ

∂T

рад

фаз

мол

= div

- радіаційний,

рад

фаз

мол

T ∂n

фазовий і молекулярний припливи тепла.

2.6.4 Зв'язок з першим законом термодинаміки

Перетворимо рівняння (2.35) з урахуванням рівняння нерозривності

divVG = − ρ1 ddρt .

Підстановка цього виразу до рівняння припливу тепла для ідеальної

стисливої рідини (2.35) і наступні перетворення дають

1

dT

р d ρ

dQ

d

dQ

dV

dQ

cv

=

+

= − р

ρ

+

= − р

+

,

dt

ρ2 dt

dt

dt

dt

dt

dt

де V = ρ1 - питомий об′єм. Помножимо далі обидві частини рівняння на dt . Тоді отримаємо відому форму запису першого закону термодинаміки

54

dQ = cv dT + рdV ,

(2.36)

який встановлює, що приплив тепла до одиниці маси повітря витрачається на збільшення внутрішньої енергії і роботу проти сил тиску. При цьому варто пам'ятати, що рівняння припливу тепла і рівняння першого початку термодинаміки є виразом закону збереження енергії, але друге не може бути застосовано до в′язкого середовища, в якому мають місце в′язкі напруження (дотичні і нормальні). Необхідною умовою подальшого застосування даного рівняння є умова зневаги дисипативною функцією (D=0).

Цей запис можна перетворити з використанням рівняння стану (після його логарифмування і диференціювання).

p = ρRT , ln p = lnρ + lnT ,

dρ

=

d p

−

dT

ρ

T

p

рdV = рd(

1

) = −

p dρ

= −

ρRT dρ

−

dT

= −RT

d p

+ RdT

ρ

ρ ρ

ρ

T

p

ρ

dQ = cv dT + рdV = cv dT − RT

d p

+ RdT = c p dT − RT

d p

,

(2.37)

p

p

де c p = cv + R - питома теплоємність, яка дорівнює кількості тепла, що йде на зміну температури 1 кг маси газу (рідини) при сталому тиску; cv - кількість тепла, що йде на зміну температури 1 кг маси газу (рідини) при сталому об′ємі. Але для збереження тиску всередині розглянутого об′єму, газ повинен розширюватися і при цьому повинен здійснювати роботу проти сили тиску, тому c p > cv .

Таким чином, маємо дві рівноцінні форми запису першого початку термодинаміки:

	dQ = cv dT + рdV ,	dQ= c p dT − RT	d p	,	(2.38)
			p

При цьому варто пам'ятати, що рівняння першого початку термодинаміки не притамане до в′язкого середовища, тому що в цьому випадку крім тиску необхідно враховувати в′язкі дотичні напруження.

2.6.5 Рівняння Пуассона

Розглянемо адіабатичний процес:

d p dQ = 0 : cv dT = − рdV , c p dT = −RT p .

Тоді робота проти сили тиску здійснюється тільки за рахунок внутрішньої енергії. Звідси випливає, що якщо робота позитивна, тобто має місце розширення об′єму, то внутрішня енергія зменшується. І

55

навпаки, якщо робота негативна, тобто відбувається стиск, то внутрішня енергія збільшується.

Виконаємо інтегрування отриманого рівняння від деякого початкового стану (T0 ,р0 ) до деякого кінцевого (T ,р):

T

p

T

R

p

T

p

R

c

ln

= Rln

→ ln

ln

cp

.

=

→

=

T

p

T

c

p

T

p

p

0

p

0

0

0

0

0

Таким чином, ми отримали рівняння адіабатичного процесу в інтегральній формі, яке інакше називають рівнянням Пуассона. Дане рівняння є основою для визначення потенціальної температури. Потенціальною температурою частинки або маси повітря називають ту умовну температуру θ , яку б прийняла дана частинка, якщо її сухоадіабатично привели до тиску р0 =1000 гПа.

Тут T0 і є потенціальна температура, а р0 =1000 гПа. Тоді

		1000		R
				cp
	θ =Т				.	(2.39)
		p

Далі прологарифмуємо і продиференціюємо вираз для потенціальної

температури:

R

d θ

d T

R d p

d θ

d p

lnθ = ln Т −

ln p →

=

−

→ cpT

= cpd T − RТ

.

θ

T

cp p

θ

cp

p

Але вираз справа є той же самий вираз, що стоїть у вихідному рівнянні

	першого закону термодинаміки (2.37). Тоді	dQ = c pT	dθ	= c p dT			− RТ	d p	.
			θ
								p
	Відповідно при адіабатичному процесі: dQ = c pT				dθ	= 0	. Отже,
					θ

потенціальна температура не змінюється при адіабатичних процесах.

Переходячи

від

рівняння dQ = c p dT − RТ

d p

до

рівняння

p

dQ = c pT

dθ

, дістанемо нову форму рівняння припливу тепла,

θ

dQ

c p

dθ

=

, (

T

1) ,

(2.40)

dt

dt

θ

яка є кращою через простоту і відсутність у ній густини й індивідуальної похідної від тиску.

Нарешті, розглянемо випадок адіабатичного процесу, тобто коли відсутній теплообмін з навколишнім середовищем і інші джерела тепла Q = 0 . Тоді рівняння припливу тепла приймає вигляд:

56

	d θ	=	∂θ	+ u	∂θ	+ v	∂θ	+ w	∂θ	= 0.	(2.41)
	d t		∂ t		∂ x		∂ y		∂ z

Іноді використовується інша форма рівняння припливу тепла, що явно встановлює зв'язок між змінами внутрішньої енергії і густини повітря та

змінами тиску:
	d h	=	1		dp	,	(2.42)
	dt		ρ dt
де h= c p T -						энтальпія. Слід	зазначити, що така форма досить рідко

використовується в метеорології в порівнянні з океанологією. В останньому випадку, энтальпія звичайно служить мірою зміни тепломісткості верхнього квазіоднородного шару, яка обумовлена процесами взаємодії океану з атмосферою через поверхневі теплові потоки.

2.7 Рівняння стану Менделєєва-Клапейрона

Вище ми відзначали, що властивості газів, що входять до складу атмосферного повітря, з достатньою точністю описуються законами для ідеальних газів.

Термодинамічний стан повітря однозначно визначається трьома параметрами: тиском, температурою і густиною, тобто рівнянням стану, що зв'язує ці три параметри. Його неявний запис p=p(ρ,T ) показує, що

тиск визначається двома параметрами, і, що повітря є бароклінним середовищем. Явну залежність між цими величинами знаходимо методом визначення невідомої функції за її частковими похідними:

∂p

∂p

p

p

d p =

dρ+

dT =

dρ+

dT.

T

∂ρ T

∂ρ ρ

ρ

Інтегрування

d p

=

dρ

+

dT

дає

T

p

ρ

ln p−ln po =ln ρ−ln ρo +ln T −ln To

або

p

po

p

po

ln

= ln

. Тоді

=

=R

- питома

газова

стала

для

ρT

ρ

T

ρT

ρ

T

o

o

o o

повітря,

яка

дорівнює

R =

R*

=

287

м2/с2

град,

де

µ

R = 8,31 103

Дж

- універсальна газова стала,

µ = 28,97

кг

-

*

кмоль град

кмоль

молекулярна вага повітря. Фізичний зміст газової сталої, віднесеної до

57

одиниці маси - це робота розширення одного моля газу при його нагріванні

на 1°К. Таким чином
p =ρRТ .	(2.43)

Розглянемо рівняння стану для вологого повітря. Газова стала для вологого повітря відрізняється від питомої газової сталої сухого повітря. Відповідно до закону Дальтона загальний тиск суміші дорівнює сумі

n	n
парціальних газів p =∑ pi , відповідно	ρ=∑ρi , . Нехай pc , ρс тиск і
i=1	i=1

густина сухого повітря, e, ρn• парціальний тиск і густина водяної пари, а

p, ρ -	тиск і густина вологого повітря (суміш сухого повітря і водяної
пари).	Відповідно, ρn =ρ − ρc , Rп =	µс	Rс =1.608Rс . Далі	послідовно
		µ•
виконаєм нескладні перетворення з урахуванням, що
pc =ρс RсТ, e =ρп RпТ ,
дістанемо4
p = ρRcTv ,				(2.44)

де

Тv = Т(1 +0,608q)

-віртуальна температура, тобто температура, яку б мало при даному тиску

сухе повітря тієї ж густини, що і розглянуте вологе повітря, q = ρп / ρ - масова частка водяної пари, яка визначається як відношення маси водяної пари до маси вологого повітря у тому же об′єму. Оскільки Тv > Т , то при однакових температурі і тиску маємо ρ < ρс, тобто густина вологого

повітря менше густини сухого повітря.			ρ = ρ( p,T ) , але для
В загальному випадку (бароклінному)
баротропного газу ρ = ρ(p),	коли немає припливу тепла ззовні,
	p =const ρk			ρ k
справедливе рівняння Пуассона:		=po			, де k = 1,405.
				ρo

pc + e =(ρc Rc + ρn Rn )Т =ТRc (ρc +1,608ρn ) =ТRc (ρ − ρn +1,608ρn ) =

4

=ТRc (ρ +0,608ρn ) =ρТRc (1 +0,608ρn / ρ) = ρТRc (1 +0,608q) = ρRcTv

58

2.8 Повна система рівнянь гідротермодинаміки

Розглянувши математичний запис основних фізичних законів збереження для опису динаміки атмосферних процесів, ми маємо тепер

можливість			виписати	повну	систему рівнянь гідротермодинаміки для
в′язкої стисливої рідини. Ними є три рівняння руху
∂ u + u	∂ u		+ v ∂ u + w ∂ u = −		1	∂ p −2ω wCosϕ +2v ω Sinϕ +
	∂ x
∂t			∂ y	∂ z	ρ ∂ x

+ v∆u +

v

∂

divVG,

3 ∂ x

∂ v

+u

∂ v

+ v

∂ v

+ w

∂ v

=

−

1 ∂ p

− 2uω Sinϕ +

∂ t

∂ x

∂ z

ρ ∂ y

∂ y

+ v∆υ +

v

∂

divVG,

3 ∂ y

∂ w

+u

∂ w

+ v

∂ w

+ w

∂ w

=

−

1

∂ p − g − 2ω uCosϕ+

∂ t

∂ x

∂ y

∂ z

ρ ∂z

+ v∆w +

v

∂

divVG ,

3 ∂ z

рівняння нерозривності

∂u

∂v

∂w) = 0 ,

∂ρ

+ u

∂ρ

+ v

∂ρ

+ w

∂ρ

+ ρ(

+

+

∂t

∂x

∂ y

∂z

∂ y

∂ x

∂z

рівняння припливу тепла (зміни внутрішньої енергії)

dθ

=

∂θ

+u

∂θ

+v

∂θ

+ w

∂θ

=

1

dQ

=

Q рад +Qфаз

+Qмол

,

dt

∂ t

∂ x

∂ y

∂ z

c p dt

c p

або в попередній формі

dT

р

G

dQ

cv

=−

divV +

,

dt

ρ

d t

(2.45)

(2.46)

(2.47)

(2.48)

(2.49)

(2.50)

а також рівняння зв'язку термодинамічних величин - рівняння стану сухого повітря

p = ρRT .

(2.51)

При відомих припливах/відтоках тепла Q , які підводяться ззовні

одиничній масі повітря в одиницю часу до одиничного об′єму повітря, дана система рівнянь містить шість невідомих величин: три складові швидкості, тиск, температуру і густину, тобто ми дістали замкнену систему рівнянь: шість невідомих величин і шість рівнянь.

Оскільки рівняння руху, нерозривності і припливу тепла є диференціальними рівняннями в частинних похідних, то для їхнього розв′язання треба визначити відповідні початкові і граничні умови.

59

Початкові умови полягають у тому, що у вихідний момент t = 0 у кожній точці простору повинні бути відомі значення:

u = u 0 (x, y, z), v = v0 (x, y, z), w = w 0 (x, y, z),

(2.52)

ρ = ρ0 (x, y, z), T = T0 (x, y, z), p = p(x, y, z).

Внаслідок впливу в'язкості повітря складові швидкості вітру біля поверхні Землі обертаються в нуль (u = v = w = 0 - умова прилипання), а

температура повинна бути задана або визначатися за допомогою рівняння теплового балансу на підстильній поверхні. Однак, якщо атмосфера розглядається як ідеальна рідина, то звичайно ставиться умова не протікання на поверхніG рельєфу Z (рис. 2.1)

vn = u cos(n , x) + v cos(n, y) + w cos(n, z) = 0 ,

яке перепишемо з урахуванням співвідношень
G			∂Z ,		G	= −∂Z
cos(nG, x)		= −			cos(nG, y)		,
cos(n, z)			∂ x		cos(n, z)	∂ y
для поверхні z = Z( x, y )у вигляді
w = u	∂Z	+v	∂Z	.			(2.53)
	∂ x
			∂ y

Рис. 2.1 Постановка крайової умови при наявності рельєфу [10]

На верхній границі розглянутої області треба задати відповідні граничні умови з урахуванням порядку диференціальних рівнянь по z, що мають характер умов на нескінченності.

60