Конспект лекций Дин метеорология_2003

Звідси випливає, що (ln Ωaz + lnσ) = const або ln(Ωaz σ) = const . Але

логарифмічна функція стала, якщо її аргумент не змінюється, тобто (Ωaz σ) = const , а це означає, що інтенсивність вихрової трубки

(Ωz + 2ωz )σ зберігається при русі, що і було потрібно довести.

Фізичний зміст фактора зсуву легше усвідомити, залучаючи горизонтальні складові вихору. Тоді стає очевидно, що він являє собою

скалярний добуток двох горизонтальних векторів: відносного вихору
G	G	ΩS
ΩS (Ωx ,Ωy ) і градієнта вертикальної швидкості	grad w . Вектор

спрямований уздовж миттєвоїG осі обертання частки у вертикальній площині, а вектор grad w - перпендикулярно ізолініям вертикальної

швидкості. Цей добуток дорівнює нулю при відсутності вертикального зсуву вітру, сталості вертикальної швидкості по горизонталі й ортогональності цих векторів. Величина цього добутку максимальна при їх паралельності, коли обертання часток відбувається навколо горизонтальної осі, уздовж якої сильно змінюється вертикальна швидкість. У результаті відбувається поворот вихрових трубок, тобто обертання навколо горизонтальної осі переходить в обертання навколо вертикальної осі. При цьому утворення нових вихорів не відбувається.

Повернемося до рівняння вихора в ізобаричній системі координат (3.49). Другий доданок в лівій частині рівняння являє собою дивергентний фактор, а інші чотири - фактори зсуву. Оцінки, зроблені М.І.Юдіним у рамках лінеаризованої задачі, показали, що характерне значення дивергентного фактора перевершує характерне значення зсувногофактора.

Останні два фактори, (бароклінність і сила тертя), що містяться у правій частині, є вихоростворюючими. Коротко характеризуючи сили тертя, вкажемо, що їх дія зводиться, в основному, до вирівнювання поля вихору, розщепленню великих вихорів на більш дрібні і диссипації кінетичної енергії найменших вихорів у теплову.

Барокліний фактор зручно представити у вигляді складової уздовж осі z як векторного добутку grad p× grad ρ1 . Нагадаємо, що при збігу

ізобаричних і ізостеричних поверхонь, тобто для баротропного процесу, розглянутий векторний добуток обертається в нуль.

Слід зазначити, що барокліний фактор відсутній у явному вигляді в рівнянні вихора для ізобаричної системи координат (3.49). Щоб розібратися в цьому питанні, перетворимо спочатку складові, що визначають барокліний фактор у рівнянні для вертикальної складової вихору в декартовой системі координат (3.46):

101

1 ∂p ∂ρ

−

∂p ∂ρ

1 ∂p

∂ln

ρ

∂p

∂ln ρ

=

−

=

ρ2

∂y

∂x

∂x

∂y

∂y ∂x

∂x ∂y

ρ

∂p ∂ln

p

∂p ∂ln

p

1

RT

−

RT

=

∂y

∂x

∂x

∂y

ρ

1

∂ p

1 ∂ p

1 ∂T

∂ p

1 ∂ p

1

∂T

=

(

−

) −

(

−

)

=

∂ y

p ∂ x

T ∂ x

∂ x

p

∂y

T

∂ y

ρ

.

(3.51)8

1

1 ∂T ∂ p

1 ∂T

∂ p l

l

∂T

∂T

=

−

+

=

ug

+ vg

T

∂ x ∂ y

T ∂ y

T

∂ x

ρ

∂ x l

∂ y

Тут використані геострофічні співвідношення (3.3) і рівняння стану

(ρ = RpT ). З отриманого виразу випливає, що барокліний фактор являє

собою геострофічну адвекцію температури. Останню можна виразити через термічний вітер:

∂T

=

lT

∂vg

,

∂T

= −

lT

∂ug

.

∂x

g

∂z

∂y

g

∂z

Тоді отримаємо

l 2

∂vg

∂u g

l

∂T

∂T

u g

+vg

=

−vg

(3.52)

T

∂x

g

u g

∂z

∂z

.

∂y

Перетворимо

тепер

частину

доданків,

що

описують дивергентний

∂u

∂v

фактор

в

ізобаричній

системі

координат,

тобто

2ωz

+

,

∂x

∂ y p

використовуючи правило диференціювання неявних функцій. Нехай

ψ = ψ(t,x,y,p) і f = f(t,x,y,z).

Тоді маємо

∂ f

∂ f ∂z

∂ f

∂ f 1

∂Ф

∂ψ

=

+

=

+

,

∂z ∂x

∂z g

∂x

∂x p

∂x z

∂x z

∂ψ

∂ f

∂ f ∂z

∂ f

∂ f 1

∂Ф

=

+

=

+

.

∂z ∂ y

∂z g

∂ y

∂ y p

∂ y z

∂y z

8

∂

(ln

p

RT

) =

∂ln

p

−

∂ln R

−

∂ln T

=

1 ∂p

−

1 ∂T

∂n

∂n

∂n

∂n

p ∂n

T

∂n

102

	Враховуючи геострофічні співвідношення	∂Ф	= lvg ,	∂Ф	= −lug ,
		∂x		∂y
	маємо:

∂u

∂v

∂u

2ωz

+

= l

∂x

∂ y p

∂x z

∂u

∂v

l 2

=l

+

+

vg

∂x z

∂ y

z

g

+ ∂∂uz gl vg + ∂∂vy

∂u	−u g	∂v
			.
∂z
		∂z

			∂v		l
		−				u g	=
			∂z g
	z

(3.53)

Порівняння двох аналогічних доданків у рівнянні абсолютного вихору в (3.52) і (3.53) показує, що доданок в ізобаричній системі практично збігається із сумою дивергентного і барокліного факторів у рівнянні, що записано в декартовой системі координат. Практично, оскільки у вільній атмосфері реальний вітер близький до геострофічного. А це означає, що барокліний фактор обов'язково присутній у рівнянні для абсолютного вихору, інше питання: явно чи неявно. Тепер можна стверджувати, що вплив адвекції температури побічно описується «дивергентним членом» у рівнянні (3.53). Тим більше, що дивергенція швидкості вітру істотно залежить від адвекції температури. Таким чином, хоча «безпосередній»

вплив бароклінності атмосфери на зміну вертикальної складової вихору Ωр дорівнює нулю, вона впливає на горизонтальні складові вихору (Ωх ,Ωу), а ті через зсув вихрових трубок чинять вже непрямий вплив і на Ωр.

3.3.3 Спрощення рівняння вихора

Розглянемо їх послідовно на прикладі рівняння вихора, яке записане в ізобаричній системі координат, оскільки на практиці використовується останнє:

d (Ω

p

+ 2ω

z

)

∂

u +

∂

v

+

∂τ ∂v

−

∂τ ∂u

−2ωx

∂w

−2ωy

∂w

=

+ (Ωp + 2ωz )

dt

∂x ∂p

∂y ∂p

∂x

∂y

∂x

∂y

вплив дивергенції

вплив зсуву вихрових трубок

∂N y

∂N x

вихрових трубок

=

−

.

∂x

∂y

Спрощення 1. У цілому для тропосфери можна знехтувати ефектами в'язкості.

Спрощення 2. Ефект зсуву вихрових трубок складає 10-15 % від головних доданків, при цьому останні два (з похідними по горизонталі від W) дуже малі і можуть не враховуватися навіть у самих точних розрахунках.

103

Спрощення

3. Для

середньої тропосфери оцінки показують, що

τ

∂Ω p

+

∂τ ∂v

−

∂τ ∂u

< τ

∂Ω p

. При цьому облік усієї суми доданків не

∂p

∂x ∂p

∂y ∂p

∂p

має практичного значення, проте вимагає дуже точних обчислень. Спрощення 4. Зміни вихору, які обумовлені вертикальними рухами

	τ	∂Ω p	, можуть бути порівняні з впливом дивергенції
		∂p
				∂u		∂v			∂τ	.
		Ω p			+			= −Ω p
				∂x					∂р
						∂y

Якщо збігаються вертикальний масштаб вихору і вертикальна складова швидкості при різних характерних горизонтальних розмірах, то розглянуті величини мають однаковий порядок і однаково поступаються іншим доданком.

Таким чином, розкриваючи повну похідну і приймаючи до уваги зроблені спрощення, рівняння вихору можна переписати в наступному вигляді:

∂Ω p

+u

∂(Ωр +l)

+v

∂(Ωр +l)

= l

∂τ

(3.54)

∂t

∂p

∂x

∂y

або

∂Ω p

+u

∂Ωр

+v

∂Ωр

= l

∂τ

−v

∂l

(3.55)

∂t

∂x

∂y

∂p

∂y

Оцінки доданків, що залишилися, показують, що всі вони одного порядку. Дане рівняння вихору показує, що при крупномасштабних

рухах атмосфери індивідуальна зміна вихору швидкості частки нестисливої рідини обумовлена змінами вертикальної швидкості.

Рівняння (3.54) може бути перетворене до вищенаведеної форми

	d(Ωa p δσ)	= 0 ,	(3.56)
	dt

з якої випливає, що Ωa p δσ = const . А це, у свою чергу, означає, що

збільшення площі, зайнятої вихором, веде до зменшення його інтенсивності. І навпаки, зменшення площі, охопленої вихором, приводить до посилення вихору.

Інші окремі випадки рівняння вихору можна отримати, відкидаючи послідовно доданки в правій частині рівняння вихору.

Розглянемо додаток цього рівняння до середньої тропосфери, де вертикальна швидкість досягає максимуму. Це означає, що похідна по z від вертикальної швидкості дорівнює нулю. Тоді рівняння вихору приймає вигляд:

104

	∂Ωp	+ u	∂Ωр	+ v	∂Ωр	= −v	∂l	.	(3.57)
	∂t		∂x		∂y		∂y

Внаслідок того, що переносной вихор не залежить від часу й інших координат крім меридіональної, маємо:

d(Ωp	+ l)	=	dΩap	= 0 .	(3.58)
dt			dt

Це рівняння описує сталість абсолютного вихору в горизонтальній площині, оскільки враховуються зміни переносного вихору при меридіональному русі повітряної маси. Якщо повітряна маса

рухається з півдня на північ, то ddlt > 0 й оскільки абсолютний вихор не змінює своєї величини, виходить, що відносний вихор зменшується ddΩtp < 0, і, навпаки, при русі маси з півночі на південь, ddlt < 0 і відносний

вихор збільшується ddΩt p > 0 .

Якщо далі припустити, що права частина рівняння дорівнює нулю, то

	d Ωp	= 0 .	(3.59)
	dt

Це означає сталість відносного вихору. Такий випадок, мабуть, можливий для повітряних течій у середній тропосфері при чисто зональному потоці або при взаємній компенсації доданків, що визначають вплив зміни вертикальної швидкості по вертикалі і β-ефект.

3.3.4 Різні форми використання рівняння вихора

Якщо в лівій частині замінити всі складові швидкості u,v і вихор Ωр

на їх геострофічні значення, то члени, що відкидаються при цьому, будуть мати малий порядок. Це означає, що точність виконання рівняння вихору збігається з точністю виконання квазігеострофічного вихору:

∂Ωg

+u g

∂Ωg

+vg

∂Ωg

+vg

∂l

= −lD .

(3.60)

∂t

∂x

∂y

∂y

Якщо далі підставити в це рівняння вирази для складових

геострофічного вітру

∂Ф

= −lug ,

∂Ф

= lvg , то, крім

явно малих

∂ y

∂x

доданків, отримаємо

105

1 ∂∆Ф

−

1 ∂Ф ∂∆Ф

+

1 ∂Ф ∂∆Ф

+

1 ∂Ф ∂l

= l

∂τ

.

l ∂t

l 2 ∂y ∂x

l 2 ∂x ∂y

l ∂x ∂y

∂p

Використовуючи позначення якобіана

{А, B}=

∂ А

∂B −

∂ А ∂B

∂y ∂x

∂x ∂y

перепишемо рівняння вихору таким чином:

1

∂∆Ф

1

1

1

∂Ф ∂l

∂τ

+

Ф,

∆Ф

+

= l

l ∂t

l

l ∂x ∂y

∂p

l

або

∂∆Ф

∂τ

1

1

1

+

Ф,

∆Ф + l

= l

= −lD .

l

∂t

l

∂p

l

(3.61)

(3.62)

(3.63)

У результаті виконаних перетворень всі члени лівої частини виявилися виражені через одну шукану функцію - геопотенціал Ф. Що стосується правої частини, то дивергенцію D не можна заміняти геострофічною дивергенцією.

Аналогічний результат може бути отримано, якщо підставити вираз для вихору через лапласіан від тиску, головних членів рівняння для дивергенції. Покажемо це на прикладі рівняння вихору в декартовій системі координат з підстановкою виразу для вихору через лапласіан від

тиску: Ωz = l1ρ ∆ р.

Спочатку отримаємо рівняння у вигляді

1 ∂∆ р

+ u

1 ∂∆p

+ v

1 ∂∆p

+ v

∂l

= l

∂w

.

ρl ∂t

lρ ∂x

lρ ∂y

∂y

∂z

Потім, заміняючи складові вітру їх геострофічними значеннями (3.3), запишемо це рівняння так:

∆

∂р

=

1

∂p ∂∆p

−

∂p ∂∆p

−

∂p ∂l

+ l

2

ρ

∂w

(3.64)

∂t

∂y

∂x

∂x

∂y

∂x ∂y

∂z

lρ

або, використовуючи позначення якобіана

∂р

1

∂p

∂l

2

∂w

∆

= −

р,∆p

−

+l

ρ

.

(3.65)

∂t

∂x

∂y

∂z

lρ

Отримані рівняння (3.62) і (3.65) для баричних тенденцій (тиску і геопотенціала) мають одну важливу особливість: похідні за часом мають той же порядок величини, що й інші доданки. Саме ця властивість рівняння вихору обумовлює широке застосування рівняння вихору при аналізі і прогнозі процесів, пов'язаних зі зміною тиску.

Обидві форми рівняння вихору містять дві невідомі величини: тиск (геопотенціал) і вертикальну швидкість. Існують різні способи для виключення останньої. Наприклад, залучення рівняння припливу тепла дозволяє після деяких перетворень виключити вертикальну швидкість і

106

отримати одне диференціальне рівняння для прогноза поля тиску (геопотенціала). З іншого боку, відповідно до крайових умов на верхній і нижній границях атмосфери w = 0 (τ = 0), в атмосфері повинен існувати

	рівень, для якого	∂w	∂τ
			= 0		= 0 , а з рівняння нерозривності випливати,
		∂z		∂р

що горизонтальна дивергенція дорівнює нулю. Очевидно, що тоді рівняння вихору приймає вигляд:

		∂р			1
∆		∂t	= −					р, ∆p + l		(3.66)
			lρ
або
	∂∆Ф		+ Ф,		1			∆Ф+l	= 0	(3.67)
	∂t					l

і може бути основою для прогноза тиску (геопотенціала).

Соленоїдальним називається вектор, дивергенція якого дорівнює нулю. Тоді двовимірний соленоїдальний вектор може бути представлений через одну скалярну функцію - функцію течії ψ, а рівняння вихору перетворено шляхом підстановки в нього замість складових швидкості

функції струму u = −

∂ψ

,

v =

∂ψ

, до вигляду:

∂x

∂y

∂∆Ψ

−

∂Ψ ∂∆Ψ + ∂Ψ ∂∆Ψ +

∂Ψ ∂l

= 0

(3.68)

∂t

∂x ∂y

∂y ∂x

∂x ∂y

або

+ ∂Ψ

∂(∆Ψ + l)

∂∆Ψ

−

∂Ψ ∂(∆Ψ + l)

= 0 .

(3.69)

∂t

∂y

∂x

∂x

∂y

Рівні, для яких справедливий такий запис рівняння вихору і само рівняння одержали назву бездивергентні. У реальній атмосфері не існує рівнів, де б у точності виконувалося припущення про бездивергентність, однак, обробка даних про фактичний вітер і відповідні розрахунки дивергенції показують, що висоти з мінімальною дивергенцією відзначаються в шарі 2-8 км над поверхнею Землі, причому найчастіше цей мінімум знаходиться в шарі 3-5 км. Таким чином, рівень з мінімальною дивергенцією називають середнім рівнем, а відповідні прогностичні моделі

- моделями середнього рівня.

107

4ТУРБУЛЕНТНІСТЬ В АТМОСФЕРІ

4.1Опис турбулентних рухів в атмосфері

Уприроді розрізняють два види рухів:

- ламінарні, характеристики яких зміняються плавно за часом і в просторі. Поводження будь-якого елементарного об′єму характеризує поводження потоку в цілому;

-турбулентні, характеристики яких змінюються хаотично і випадково

впросторі і за часом при практично незмінних зовнішніх умовах. Ці рухи являють собою механічні системи, що володіють великим числом ступенів волі. Відмітними рисами атмосферної турбулентності є багатомасштабність і вплив стратифікації. Слід відзначити, що при турбулентному русі вплив потоку на тіла зростає і процеси дифузії тепла і домішок відбуваються більш інтенсивно. Пояснення полягає в тому, що в ламінарній течії обмін відбувається за рахунок руху окремих молекул, а в турбулентному - за рахунок турбулентних молів.

Ілюстрацією турбулентного руху (Рис.4.1) можуть служити записи часових змін деяких метеорологічних величин (температури повітря, складових швидкості вітру) за допомогою малоінерційних приладів.

Рис.4.1 - Типовий приклад запису турбулентних пульсацій температури (Т), швидкості вітру (V) і вертикальної компоненти швидкості (w) [12]

108

Важливо відзначити, що ці часові зміни будуть характеризувати зміни у фіксованій точці простору. Для того, щоб розглянути просторову структуру турбулентних рухів можна виконати спостереження за поширенням диму, що виходить з труби або рухів повітря, які спеціально «підфарбовани димом». Як у локальному так і в просторовому випадках, турбулентність має явно виражену властивість: багатомасштабність рухів.

Зміни будь-якої фізичної величини в турбулентному потоці описуються функцією, що містить велике число компонентів Фур'є, а траєкторії частинок носять складний характер. Кожну з цих траєкторій можна описати за допомогою рівнянь Нав′є-Стокса, але жодна з них не буде описувати потік у цілому, тому що опис руху будь-якого елементарного об′єму практично мало інформативний. Для опису потоку в цілому необхідно користуватися статистичним описом, тобто виявляти закономірності, характерні для статистичного ансамблю. Під статистичним ансамблем будемо розуміти набір реалізацій розглянутої течії при однакових зовнішніх впливах.

Таким чином, виникає задача знайти лише розподіли ймовірностей гідродинамічних полів, але не їх точні значення. При цьому рівняння гідротермодинаміки можуть бути використані для дослідження розподілів щільності ймовірності або осереднених характеристик випадкових полів, що визначаються цими розподілами. Аналогічна ситуація має місце в кінетичній теорії газів, яка вивчає системи з великим числом молекул, які хаотично рухуються і взаємодіють одна з одною. Точний опис руху однієї молекули неможливий і безглуздий, і тому вивчаються лише середні статистичні властивості сукупності молекул, що рухуються.

У практичному плані для нас має інтерес вивчення осереднених характеристик випадкових метеорологічних величин. Тому далі нами буде розглянута проблема осереднення і отримана система рівнянь для опису середніх полів швидкості, температури і інших характеристик стану атмосфери. Але спочатку розглянемо деякі підходи до дослідження турбулентних течій.

4.1.1 Виникнення турбулентності

Ламінарний і турбулентний рухи являють собою два види рухів, властивості яких істотно відрізняються один від одного, але які за певних умов взаємно переходять один в іншій. Тому важливо визначати умови переходу з ламінарного в турбулентне і навпаки. Вивчення механізмів і умов виникнення турбулентності може здійснюватися декількома способами, у тому числі емпірично, за допомогою енергетичних співвідношень і теоретично. Розглянемо коротко основні особливості кожного з них.

109

Емпіричний. Кількісний критерій виникнення турбулентності був визначений у 1883 р. О.Рейнольдсом. Він виходив з порівняння доданків рівнянь руху, що описують дію інерційних і в′язких сил. Перші сприяють виникненню неоднорідностей у потоці, а другі їхньому згладжуванню. Розглядемо їх відношення і введемо характерні значення швидкості потоку (U) та його розміру (L).

u

∂ u

U 2

U 2 L2

∂ s

L

=

=

U L

=Re.

(4.1)

v U

LvU

v

v

∂ 2u

∂ s

2

L2

де ν - кінематичний коефіцієнт в'язкості. Дослідження показали, що при малих числах p′ui′ рух є ламінарним, а при великих, за рахунок сил інерції,

виникають значні неоднорідності і рух стає турбулентним. Критичне число Reк р встановлюється емпірично для різних типів турбулентних

течій. Причому воно залежить також від початкової турбулізації потоку. Воно тим менше, чим більше початкова турбулізація потоку.

Енергетичний метод. Сутність цього методу полягає у вивченні балансу енергії вихрових збурювань відповідного масштабу і визначенні умов, при яких дане збурювання не затухає. Природна умова існування збурювання полягає в тому, щоб його енергія не убувала. Розглянемо застосування цього методу для типових атмосферних ситуацій.

Нехай у горизонтально однорідному потоці виникло збурювання з наступними параметрами: ui - вертикальний розмір, v - швидкість руху, ϑ - відхилення потенціальної температури від температури навколишнього середовища. Тоді характерний час існування збурювання буде

t =L /V . (4.2)

Від кінетичної енергії основного потоку віднімається енергія для турбулентного руху масштабу L за характерний час t, яка дорівнює

KT	V		2		V 3		.	(4.3)
	=			=
		t				L

Кінетична енергія турбулентного вихору витрачається на роботу проти сил тертя і плавучості.

Сила тертя згідно рівнянь руху може бути оцінена як v V , а робота за

L2

одиницю часу

	Аf =v	V	V = v	V 2	.	(4.4)
		L2		L2
						110