Конспект лекций Дин метеорология_2003

де g - прискорення вільного падіння, Yi - складові прискорення інших

масових сил. Однак, прискорення вільного падіння значно більше, ніж прискорення всіх інших масових сил Yi і індивідуального прискорення

частинок в осередненому русі DDutα . Тому в більшості метеорологічних

задач можна покласти, що
B = −ρ u3′g .	(4.76)

Якщо при наявності пульсацій густини ρ′ на турбулентні елементи діє сила плавучості − ρ′g , то В буде являти собою середню роботу сили

плавучості при турбулентних переміщеннях елементів рідини. При стійкий стратифікації рідини вертикальні переміщення турбулентних елементів будуть супроводжуватися витратою енергії на роботу проти сили плавучості, в цьому разі В < 0. При нестійкий стратифікації, навпаки, при вертикальних зміщеннях елементів рідини робота сили плавучості відбувається за рахунок потенціальної енергії стратифікації і призводить до росту турбулентності, так що в цьому випадку В > 0. Таким чином, величина В описує взаємні перетворення кінетичної енергії турбулентності і потенціальної енергії вертикального стовпа рідини змінної густини в полі

сили ваги. Для обчислення величини ρu3′ використовують спрощення

теорії вільної конвекції, відповідно до якої пульсації тиску вважаються малими в порівнянні з пульсаціями температури. Тоді, використовуючи рівняння стану і виконуючи нескладні перетворення, приходимо до наступного виразу

ρ′ = −

T

′

.

(4.77)

ρ

T

У цьому випадку

B =

g

g q

,

ρ

=

(4.78)

T ′ w

′

T

cp T

тобто турбулентний потік маси виявляється пропорційним турбулентному потоку тепла. Далі, після підстановки (4.78) у рівняння (4.76), знаходимо:

g

ρ

gq

′ ′

B =

T

T w

= cp T

,

(4.79)

де q = cp ρT ′w′ - вертикальний турбулентний потік тепла. Відповідно, для консервативної величини θ маємо

g

ρ

gq

′

′

B =

θ

w

=

(4.80)

cp

θ

θ

141

Надалі з усіх ефектів, пов'язаних зі стисливістю рідини, будемо враховувати тільки ефект взаємних перетворень кінетичної енергії турбулентності і потенціальної енергії розшарування по густині. Причому пульсації густини будемо вважати залежними тільки від пульсацій температури. Рідину, як і раніше, будемо вважати нестисливою. Тоді рівняння для кінетичної енергії турбулентних пульсацій перепишемо у вигляді:

∂b

∂

1

′ ′ ′

′ ′

′ ′

+

buα

+

∂t

∂ xα

2

ρuβ uβ uα + p uα −uβ σβα =

u

∂

β

g

′ ′

′ ′

= −ρuαuβ ∂ xα

+ ρ T

T w − ρε

(4.81)

Ми бачимо, що це рівняння відрізняється від рівняння (4.73) тільки

заміною складової ρ

uα′

Xα′

доданком, пов'язаним з В.

∂ u

′

∂ uβ′

4) υuβ′

α

+

- в'язкі

напруження в умовах розвинутой

∂ x

β

∂ xα

турбулентності малі в порівнянні з турбулентними напруженнями Рейнольдса. Тому перенос турбулентної енергії за рахунок сил молекулярної в'язкості (неупорядкованих молекулярних рухів) буде малим у порівнянні з переносом енергії турбулентними пульсаціями. Це ствердження справедливе за винятком області в'язкого підшару. Але оскільки ми надалі не будемо цікавитися описом процесів у цій області, то цими доданками можна з достатньою точністю зневажити. Перепишемо рівняння балансу інтенсивності турбулентності з урахуванням зроблених допущень у вигляді:

db

∂b

∂b

∂ uβ

g

ρ

=

+u

= − u′

u′

− ε

t

+

T ′w′+

dt

∂t

α ∂ xα

α β ∂ xα

T

+

∂

−

1

−

1

.

(4.82)

u′ u′ u

′

p′u′

2

β β

α

ρ

α

∂ xα

Використання рівняння турбулентної енергії, як доповнення до рівнянь Рейнольдса, уперше було запропоновано А.М.Колмогоровим у

1942 р.

4.4Теорія ізотропної турбулентності Колмогорова:

"b − l " замикання

Вище ми вже розглядали в рамках підходу Ж.Буссінеска поняття про коефіцієнт турбулентної в'язкості. Однак, відповідні підстановки параметризованих турбулентних напружень та потоків тепла в рівняння

142

Рейнольдса і припливу тепла призвели тільки до заміни одних невідомих іншими. Зараз ми знову звернемося до деяких положень К-теорії, але як би на новому витку спіралі, маючи пропозицію А.М.Колмогорова використовувати рівняння для інтенсивності турбулентної енергії разом з рівняннями Рейнольдса, і спробуємо виразити невідомі, що містяться в ньому, за допомогою К-теорії.

1)Очевидне припущення полягає в тому, що приймається гіпотеза про те, що А>0, тобто що кінетична енергія турбулентності генерується в результаті переходу частини енергії осередненого руху. Тоді напруження Рейнольдса й інші статистичні характеристики турбулентності повинні залежати від диференційованих характеристик поля середньої швидкості.

2)Можливі два варіанти зв'язку напружень Рейнольдса й осередненого руху.

А) Осереднений рух рідини не супроводжується ніякими деформаціями рідких частинок, тобто розглядається рух рідини в цілому як

твердого тіла. Тоді тензор ρui′u′j буде ізотропним. Це означає, що з усіх

напружень Рейнольдса будуть діяти тільки нормальні напруження, і тоді турбулентна енергія Et буде аналогічна тиску і отже

ρ

=

2

ρb δ

=

2

E

δ

.

(4.83)

u′u′

3

3

i j

ij

t

ij

В) Якщо рух рідини супроводжується деформаціями рідких частинок, то напруження Рейнольдса повинні залежати від похідних поля середньої швидкості по координатах і в загальному випадку лінійно залежати від тензора деформації

Ф =	∂ u j	+	∂ ui	,	(4.84)
	∂ xi
ij			∂ x j

а як коефіцієнти для цієї лінійної функції повинні виступати коефіцієнти турбулентної в'язкості.

Що стосується природи цих коефіцієнтів, то можна привести такі міркування. Якщо коефіцієнти молекулярної в'язкості пов'язані співвідношенням υ umlm , то можна припустити, що для коефіцієнтів

турбулентної в'язкості можуть мати місце подібні співвідношення, в яких роль зазначених характеристик молекулярних рухів будуть грати відповідні характеристики неупорядкованих турбулентних рухів: середньо

квадратичне значення пульсацій швидкості (величина b ) і масштаб турбулентності l - прандтлевський шлях перемішування - середня відстань, на яку здатні переміщатися турбулентні утворення, зберігаючи свою індивідуальність. При цьому турбулентність може характеризуватися різними масштабами в різних напрямках. Тому в кожній точці простору

143

повинен бути визначений еліпсоїд масштабів, тобто тензор другого рангу lij При такому визначенні масштабів довжини величини

Kij = b lij .

(4.85)

будуть мати значення коефіцієнтів турбулентної в'язкості. А.С.Моніним у 1950 р. була запропонована наступна формула зв'язку:

ρui′u′j = 2 / 3ρbδij − 1 / 2 ρ b(liα Фαj + l jα Фαi ) .

(4.86)

Ми бачимо, що ця формула при Фij = 0 перетворюється у формулу

для ізотропної турбулентності при відсутності деформацій рідких частинок. Зауважимо, що ця формула може розглядатися і як уведення нових характеристик турбулентності lij замість напружень τij . Проте,

використання замість тензора напружень величин lij і b часто має сенс,

оскільки тензор довжин має більш наочний зміст. Якщо знехтувати анізотропністю тензора масштабів, тобто прийняти як перше наближення гіпотезу ізотропності розмірів турбулентних вихорів

lij = lδij ,	(4.87)
то по суті приймається гіпотеза для напружень Рейнольдса у вигляді
ρui′u′j = 2 / 3 ρbδij −1 / 2 ρ l b Фij .	(4.88)

При цьому очевидно, що даний тензор залишається анізотропним. Ця гіпотеза виявляється близькою до тієї, котру пропонував Ж.Буссінеск, тому що величина, що тут фігурує

K = l b ,

(4.89)

має сенс скалярного коефіцієнта турбулентної в'язкості. Скористаємося даною гіпотезою і представимо невідомі величини в рівнянні для турбулентної енергії через перші і другі моменти середніх і пульсаційних величин.

				∂ uβ		∂ uβ		1		Ф2 .
	1. A = −ρuα′ uβ′				= ρ K Фαβ		=		ρ K ∑		(4.90)
				∂ xα		∂ xα		2
									α,β	αβ

Тут умова А>0 еквівалентна умові К>0.

2. Використовуючи аналогічні формули до турбулентного переносу тепла (чи домішки) можна записати відповідні турбулентні потоки

c

p

ρθ′u′ = −c

p

α

ϑ

ρ l b ∂θ

= −c

p

α

ϑ

ρ K ∂θ

,

(4.91)

i

∂ xα

∂ xα

де αϑ - безрозмірні параметри, які, власне кажучи, вводять нові невідомі і є виразом нових гіпотез: Kϑ = αϑ K , де Kϑ мають сенс коефіцієнтів турбулентної теплопровідності (дифузії) (4.29).

144

3. Підставимо формально θ′ = b′ = 1 / 2 uα′ uα′ и використаємо

вищенаведену формулу для обчислення третіх моментів пульсацій швидкості

1 ρu′ u′ u′ = ρb′u′ = −α				b	ρ l	b ∂ b = −α	b	ρ K ∂ b	,	(4.92)
2	α α	i	i			∂ xi		∂ xi

деαb ще одна безрозмірна константа, що представляє собою ще один

гіпотетичний зв'язок, відношення коефіцієнтів турбулентності для кількості руху і дифузії турбулентної енергії.

4. Використовуючи аналіз розмірності, можна знайти функціональний зв'язок між питомою дисипацією турбулентної енергії і величинами l і b

			b3/2		K 3
	εt =					,	(4.93)
				=
					c4 l 4
			c4 l

де c4 - емпірічна стала.

Слід зазначити, що, приймаючи зазначені вище гіпотетичні співвідношення для других і третіх моментів, які входять у рівняння для кінетичної енергії турбулентності і використовуячи їх вирази через l і b , ми тим самим істотно зменшуємо число невідомих величин.

Якщо далі припустити, що перенос енергії, обумовлений роботою сил тиску малий у порівнянні з її переносом пульсаціями швидкості, то

напівемпіричне рівняння для турбулентної енергії набуває вигляд:

d b

1 l

− b3/2

g

∂

+

∂

∂ b .

=

b ∑

Ф2

− α

K

θ

α

b

l

b

(4.94)

d t

∂ xα

2

α,β

α,β

c4 l 4

ϑ T

∂ xα

∂ xα

Проте для його рішення необхідно виписати відповідне рівняння для шляху перемішування або відповідну гіпотезу для його визначення. (Див. наприклад, формули (4.42) – (4.46) з розділу 4.2.2). У противному разі це рівняння виявиться не замкненим.

В даний час крім зазначеної гіпотези про ізотропність масштабу перемішування існує ряд інших гіпотез, зокрема для атмосферної турбулентності більш фізично обґрунтованою здається наступна гіпотеза.

У тензорі масштабів турбулентності зневажають всіма членами, крім діагональних, і при цьому приймається гіпотеза про ізотропність тільки в горизонтальній площині, тобто

l11 = l22 = lS , l33 = lz	(4.95)
і відповідно
K11 = K22 = K S , K33 = K z .	(4.96)

Природно, що ці коефіцієнти турбулентної в'язкості повинні визначатися поряд з інтенсивністю турбулентності b, але для цього необхідно визначити масштаби довжини lS , lz . Останні можна інтерпретувати як розміри областей турбулентних пульсацій одного знака

145

в горизонтальній і вертикальній площинах. Для вертикальної площини граничне значення визначається відстанню до підстильної поверхні і в загальному випадку для нього повинно бути встановлена відповідна напівемпірична формула або прогностичне рівняння. У той же час горизонтальний масштаб турбулентності можна зв'язати з горизонтальним кроком сітки ∆i . Відповідно коефіцієнти горизонтальної турбулентності

можуть бути визначені таким чином:
Ks = αs (∆2x + ∆2y ) DT2 + DS2 .	(4.97)

Це так звана формула Дж.Смагоринського, де αs - емпірична стала,

DT2 , DS2 - подовжня і поперечна складові деформації поля швидкості, які обумовлені дотичними турбулентними напруженнями, а саме:

D2

=

∂

u

−

∂

v

,

D2

=

∂

v

+

∂

u

.

(4.98)

T

∂ x

∂ y

S

∂ x

∂ y

Перенос тепла чи домішки визначається однаковими механізмами і розміри вихорів для них також приймаються однаковими. З прийняттям цих гіпотез рівняння для інтенсивності турбулентної енергії можна переписати у вигляді:

)

2

2

d b

D2

+ D2

∂ u

∂ v

= K

+ K

+

− ε

∂ z

d t

s ( T

s

z

∂ z

t

2

1

6

+

∂

Ks ∂ b

+

∂

Ks

∂ b

+

∂

Kz

∂ b .

∂ x

∂ y

∂ z

∂ x

∂ y

∂ z

	− αϑ	g	K	∂	θ	+
				∂ z
		T

3

(4.99)

4 5

Ще раз звернемо увагу на фізичний зміст складових правої частини рівняння (4.99):

1 - передача кінетичної енергії від середнього руху турбулентним вихорам за рахунок втрати стійкості зсувних хвиль при утворенні збурювань з характерним масштабом lz ;

2 - розтягання турбулентного вихору у формі еліпсоїда, яке обумовлене деформацією поля швидкості, й утворення нових еліпсоїдів менших розмірів;

3- робота сили плавучості;

4- обмін кінетичною енергією вихорами за рахунок горизонтального перемішування;

5- обмін кінетичною енергією між шарами по вертикалі за рахунок вертикального турбулентного переносу;

6- дисипація кінетичної енергії самих дрібних турбулентних вихорів

утепло.

146

Відзначимо, що зазначена напівемпірична теорія не єдина. В останні десятиліття дістало розвиток «b − ε » замикання, у якому як визначальні параметри використовуються інтенсивність турбулентності і швидкість дисипації. Для останньої будується спеціальне рівняння з залученням рівнянь Нав′є-Стокса і Рейнольдса на підставі методу Фрідмана-Келлера. А для нових невідомих проводиться замикання за допомогою напівемпіричних гіпотез.

Незважаючи на висловлений негативний висновок про неможливість побудувати замкнену систему рівнянь для вищих моментів, можна вказати на ряд численних досліджень з використанням рівнянь для третіх і четвертих моментів пульсаційних величин з відповідними замиканнями. Але усі вони також можуть розглядатися як розвиток більш складних напівемпіричних теорій. І хоча в цих замиканнях вдалося реалізувати ряд необхідних загальних вимог, все-таки отримана система рівнянь виявляється досить громіздкою й усе ще містить багато довільності. Зазначимо також, що фізична інтерпретація відповідних рівнянь для других, третіх і більш високого порядку моментів вкрай утруднена, якщо не неможлива. Тому створення і формулювання відповідних фізичних гіпотез замикання також зовсім не очевидна.

147

Списоквикористаноїлітератури

1.Гандин Л.С., Лайхтман Д.Л., Матвеев Л.Т., Юдин М.И. Основы динамической метеорологии. Л.:Гидрометеоиздат,1955.-647с.

2.ГандинЛ.С,ДубовА.С. Численныеметодыкраткосрочногопрогнозапогоды.Л.: Гидрометеоиздат,1968.–428c.

3.Динамическаяметеорология.//Подред.ЛайхтманаД.Л. Л.:Гидрометеоиздат,1976.-607с.

4.КошмидерГ.Динамическаяметеорология.Гостехиздат,1938.–344с.

5.ЛойцянскийЛ.Г. Механикажидкостиигаза. –М.:Наука,1973.–847с.

6.МатвеевЛ.Т. Курсобщейметеорологии.–Л:Гидрометеоиздат,1984.-752с.

7.МонинА.С.,ЯгломА.М. Статистическаягидромеханика,Т.1.С.-Пб.1992. -695с.

8.Палагин Э.Г., Славин И.А. Основы гидромеханики. Л.: Гидрометеорологический институт,1974.–244с.

9.ПетерсенС. Анализипрогнозпогоды.Л.:Гидрометеоиздат,1961.-652с.

10.СергеевН.И., АргучинцевВ.К. Введениевдинамическуюметеорологию. Иркутск: Государственныйуниверситет,1974.-215с.

11.Шнайдман В.А., Тарнопольский А.Г., Степаненко С.Н. Геофизическая гидродинамика.Одесса,Гидрометеорологическийинститут,1998.-312с.

12.ТарнопольскийА.Г Физикапограничногослояатмосферы. Одесса, гидрометинститут,2001.–155с.

13.ЮдинМ.И. Новыеидеииметодыкраткосрочногопрогнозапогоды. Л.: Гидрометеоиздат,1963.–402с.

148