Конспект лекций Дин метеорология_2003

У загальному випадку будь-яка метеорологічна величина є функцією координат та часу, тобто ϕ=f(x,y,z,t). Якщо розглядається рух однієї частинки, то її координати змінюються в часі, і, отже: x=x(t), y=y(t), z=z(t). Тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:

dϕ

=

∂ϕ

+

∂ϕ

dx

+

∂ϕ dy

+

∂ϕ dz

=

∂ϕ

+u

∂ϕ

+v

∂ϕ

+ w

∂ϕ

,

(1.7)

dt

∂t

∂y dt

∂z dt

∂t

∂x

∂y

∂z

∂x dt

де

dϕ

-

представляє повну похідну або індивідуальну зміну в частинці

dt

будь-якої величини ϕ. Нагадаємо, що ми скористалися позначенням складових швидкості вітру: u = dd xt , v = dd yt , w = dd zt .

Вираз ∂ϕ∂t = ddϕt −(u ∂∂ϕx +v ∂∂ϕy + w ∂∂ϕz ) являє собою частинну похідну,

що виражає зміну величини ϕ при постійних значеннях координат x, y, z у даній точці поля, тобто локальну зміну величини ϕ, викликану переміщенням у дану точку простору частинок повітря з інших місць з іншими значеннями ϕ. Якщо індивідуальна похідна дорівнює нулю, то таке допущення часто буває цілком виправданим, бо локальна зміна буде обумовлена тільки переміщеннями частинок повітря через дану точку простору. Причому, знак «мінус» буде вказувати на те, що при збільшенні величини ϕ у напрямку руху в кожній точці поля значення даної величини ϕ буде зменшуватися з часом:

∂ϕ	= −(u	∂ϕ	+v	∂ϕ	+ w	∂ϕ	).	(1.8)
∂t		∂x		∂y
						∂z

Сума цих добутків дорівнює скалярному добутку двох векторів:

∂ϕ

∂ϕ

∂ϕ

G

G

u

+ v

+ w

= (V

ϕ ) =

V

ϕ

cosδ ,

(1.9)

∂ x

∂ y

∂ z

де δ - кут між вектором швидкості і gradϕ. У загальному випадку маємо:

	dϕ		∂ϕ	G
		=		+(V	ϕ ) .	(1.10)
	dt		∂ t
					1.1.3	Дивергенція швидкості

11

Для кількісноїG оцінки потужності повітряних течій у заданому напрямку n прийнято користуватися поняттям потоку вектора швидкості через поверхню.

Потоком вектора швидкості V через поверхню S називається скалярна

величина, яка дорівнює об′єму повітря, що протікає через дану поверхню за одиницю часу. (Рис.1.3).

Елементарний потік вектора швидкості через нескінченно малий елемент поверхні dS дорівнює об′єму циліндра з основою dS і твірної, яка дорівнює модулю швидкості V .

Рис.1.3				- Потік вектора швидкості крізь поверхню [10]
Якщо елемент поверхні розглядати як вектор, спрямований по нормалі
до неї, то	G	G					можна
	dS	= n dS . Елементарний потік вектора швидкості
показати уGвигляді скалярного добутку вектора швидкості VG на елемент
поверхні dSG:	G		G		G
dP =(VdS) =			V		dS	cos α =Vn dS ,	(1.11)

де α - кут між напрямком нормалі і вектором швидкості.

Потік вектора швидкості через усю задану поверхню S дорівнює сумі

потоків через всі елементарні поверхні dS і виражається інтегралом:
G	G
Ρ = ∫∫(VdS) = ∫∫Vn dS .		(1.12)
S	S

Якщо S - замкнута поверхня, то Ρ = ∫∫(VdS) = ∫∫Vn dS . Потік вектора

S S

швидкості буде позитивним, якщо з об′єму, обмеженого даною поверхнею, повітря виходить більше ніж приходить.

Повітря як стисливе середовище може в процесі свого руху стискуватися або розширюватися, що супроводжується збільшенням або зменшенням його питомого об′єму, а відносна зміна об′єму залежить від розподілу швидкості руху, тобто пов'язана з потоком вектора швидкості через поверхню, що обмежує даний об′єм.

12

Дивергенцією (розбіжністю) вектора швидкості називається скалярна величина, що виражає відносну зміну об′єму без зміни форми даної маси повітря за одиницю часу. Ця величина пов'язана з потоком вектора швидкості через замкнуту поверхню, що обмежує деякий об′єм у просторі.

Дивергенцією вектора швидкості в даній точці поля ще називають границю відношення потоку вектора швидкості через замкнену поверхню до величини об′єму, обмеженого цією поверхнею, при стягуванні його до точки:

divVG	∫∫Vn dS
	= lim S	τ	.	(1.13)
	τ→0
Хоча поняття дивергенції векторного поля,				як і потоку, визначено

незалежно від вибору системи координат, дана формула не придатна для практичних обчислень. Відповідно до теореми Остроградського-Гаусса проводиться перехід від подвійного інтеграла по поверхні до потрійного інтеграла по об′єму, обмеженого цією поверхнею:

		∫∫∫(	∂u	+	∂v	+	∂w	)d τ
G			∂x		∂y
	= lim	τ					∂z
divV									.
					τ
	τ→0

Використовуючи далі теорему про середнє і переходячи до границі, отримаємо вираз для дивергенції швидкості в декартовых координатах:

	G		∂u		∂v		∂w
	divV	=		+		+		або	divV = ( V )	(1.14)
			∂x		∂y		∂z

Таким чином, теорема Остроградського-Гаусса показує, що потік векторного поля швидкості через замкнену поверхню S дорівнює потрійному інтегралу від дивергенції цього поля по об′єму τ, обмеженому поверхнею S.

Відзначимо три принципово важливих випадки для поля швидкості: divV > 0, коли потік швидкості, який витікає, перевищує той, що

втікає. В горизонтальній площині така ситуація властива для антициклональногоG поля;

divV < 0 , коли потік швидкост, що втікає, перевищує той, що витікає. В горизонтальнійG площині ця ситуація властива для циклонічного поля;

divV = 0; поле, для якого виконується така умова називається соленоідальним. Складові швидкості у плоскому випадку виражаються через скалярну функцію течії ψ:

u = − ∂ψ∂ y , v = ∂ψ∂ x .

13

1.1.4 Циркуляція вектора швидкості

Щоб ввести поняття циркуляції швидкості, розглянемо довільну замкнену геометричну криву, що складається з фізичних частинок, що знаходяться у повітрі, яке рухається. Ця крива буде замкнена таким чином, щоб В співпадало з А. За позитивний напрямок будемо вважати напрямок обходу від А до В, тобто проти ходу годинникової стрілки. Виділимо на

замкненій кривій спрямовані елементарні відрізки dl		іG	відзначимо	на
кожному з них складову швидкості вздовж кривої Vl	=	V	cosα , де V	-

вектор швидкості, α - кут між вектором швидкості і напрямком дотичної. Тоді потік вектора швидкості уздовж цієї кривої від А до В буде мірою циркуляційного руху в деякий момент часу (рис. 1.4):

B G G B

F = ∫(Vdl ) = ∫Vl dl .

А А

Назвемо потік вектора швидкості уздовж замкненої кривої циркуляцією швидкості або просто циркуляцією. Далі під циркуляцією швидкості по замкненому контуру будемо розуміти криволінійний

інтеграл від скалярного добутку (Vdl ) по цьому контуру:

Рис.1.4 - Визначення потоку і циркуляції швидкості [9]

G	G	G
C = ∫(Vdl ) = ∫V dl cos(Vdl ) = ∫Vl dl			(1.15)
l	l	l
або
C = ∫Vl dl =V l l ,			(1.16)
l

де V l - середнє значення складової швидкості вздовж всіэъ довжини контуру l . З приведених визначень очевидно, що якщо замкнена крива розділена на відрізки, то циркуляція є сумою потоків вздовж складових

відрізків. Представимо далі скалярний добуток (Vdl ) у координатній формі:

14

C = ∫(VGdlG) = ∫udx + vdy + wdz ,		(1.17)
l	l

де u, v, w - проекції вектора швидкості, а dx, dy, dz - проекції елемента

контура dl на осі декартової системи координат.

Як видно з виписаних формул, циркуляція швидкості являє собою скалярну величину, що характеризує кількісно міру руху частинок по замкнутому контуру l . Нагадаємо, що в правій системі координат обхід виконується проти годинникової стрілки, тому С>0. Це означає, що сумарна обертальна складова швидкості спрямована проти годинникової стрілки. Тоді при С<0 сумарна складова обертального руху буде за годинниковою стрілкою. Очевидно, що в циклоні С > 0, а в антициклоні C<0. Якщо циркуляція швидкості C = 0, то таке поле називається потенційним. Підінтегральний вираз буде дорівнювати повному диференціалу від потенціалу швидкості Ф: dФ = u dx + v dy + w dz , а

складові відповідно: u = ddФx , v = ddФy , w = ddФz .

Далі покажемо, що циркуляція уздовж замкненої кривої дорівнює площині А, яку охоплює ця крива, помноженій на нормальну до цієї площини складову вихору. Це твердження відоме як теорема Стокса і може бути доведене для будь-якої кривої: плоскої чи просторової. З цією метою розглянемо елементарну ділянку, котра заради простоти буде мати форму прямокутника (рис.1.5). Напрямок обходу цього контура виберемо позитивним, тобто проти годинникової стрілки, а у вузлах отримаємо наступні значення складових швидкостей:

1 - u,v;

2 - u +∂∂ux δx, v +∂∂vx δx ;

3 u +∂∂ux δx + ∂∂uy δy, v + ∂∂vx δx +∂∂vy δy ; 4 - u +∂∂uy δy,v +∂∂vy δy .

Рис.1.5 - Циркуляція швидкості уздовж границь елементарної площини [9]

Обчислимо циркуляцію швидкості для цього елементарного контуру. При цьому складові швидкості на кожному відрізку будуть враховуватися

15

тільки уздовж лінії обходу (нормальні складові не розглядаються) і вважатися середніми на даному відрізку як напівсума на його кінцях. Тоді

δC = 12 (u +u +∂∂ux δx) δx + 12 (v + ∂∂vx δx + v + ∂∂vx δx +∂∂vy δy) δy +

+12 (u + ∂∂ux δx +∂∂uy δy +u + ∂∂uy δy) (−δx)+ 12 (v +∂∂vy δy + v) (−δy) =

=(∂∂vx − ∂∂uy ) δx δy.

Позначивши черезδА = δx δy - площину прямокутника, а

Ωz = ∂∂vx − ∂∂uy - вихор у площині ХОУ як нормальну складову вихору, маємо остаточно

δC=δA Ωz чи Ωz =	δC	.	(1.18)
	δA

Звідси може бути дана інтерпретація, що вихор - це циркуляція уздовж одиничної площини.

Якщо тепер розглянути цей результат для кінцевої площини А (рис.1.6), то сума вихорів усередині довільної замкненої кривої буде дорівнювати сумі циркуляцій уздовж елементарних, одиничних площадок, але, оскільки потоки уздовж загальних границь анулюються, взаємно знищуються, то решта сум потоків уздовж зовнішніх границь дорівнює циркуляції уздовж замкненої кривої, що охоплює дану площину А. Тоді маємо

C=∫Ωz δA.	(1.19)
А

Рис.1.6 - Циркуляція по замкненому контуру [9] Цей результат, власне кажучи, і є представленням теореми Томсона,

відповідно до якої циркуляція по замкненому контуру плоскої чи не

16

плоскої кривої L дорівнює алгебраїчній сумі циркуляцій по всіх кривих, що обмежують частини тієї плоскої чи не плоскої поверхні А, контуром якої служить крива L1.

Очевидно, що згідно з теоремою Стокса, криволінійний інтеграл по замкненому контуру можна перетворити через подвійний інтеграл по

поверхні, обмеженій цим контуром. У загальному випадку
G G
C = ∫(Vdl ) = ∫(udx + vdy + wdz) = ∫∫ (ΩnG)dA,
l	l	А
= ∫∫[Ωx cos( nG	,x ) + Ωy cos( nG, y ) + Ωz cos( nG,z )]dA = ∫∫(ΩnG)dA, (1.20)
A		A

де					Gj
G	G		i
			∂ x ∂ ∂ y
Ω = [ V ]= ∂
			u		v
- вихор швидкості, а
	∂ w	−	∂ v		Ωy
Ωx =	∂y		∂ z	,

	k	= ΩxiG + Ωy Gj + Ωz kG
∂	∂ z									(1.21)
	w
∂ u			∂ w			∂ v		∂u
=	∂ z	−	,	Ωz	=	∂ x	−			(1.22)
			∂ x					∂ y

- його складові. Підінтегральний вираз праворуч в (1.20) є скалярний добуток вектора вихора швидкості на одиничний вектор нормалі до поверхні А. Таким чином, циркуляція швидкості по будь-якому замкненому контуру дорівнює потоку вихора швидкості крізь довільну поверхню, проведену через цей контур.

Отже, кількісною характеристикою обертальної здатності поля швидкості в даній точці, через яку проходить задана площина з нормаллю nG, може служити густина циркуляції, яка дорівнює границі відношення циркуляції швидкості по замкненому контуру до площі обмеженої цим

контуром:	G	G
∫(Vdl )
lim l		G G		(1.23)
	A	= Ωcos(n, Ω) .
A→0
Відзначимо, що якщо рух повітря безвихровий, це означає, що
циркуляція швидкості дорівнює нулю:
	G	G
C =	∫(Vdl ) = ∫udx + vdy + wdz = ∫∫( Ω nG)dA = 0			(1.24)
	l	l	А
Щоб з'ясувати фізичний зміст вихору швидкості, розглянемо
елементарний		об′єм рідини або	газу. Радіус-вектор r	будь-якої точки

1 Вводячи середнє значення нормальної складової вихору для площини А, отримуємо С = qn А або qn = CA .

17

об′єму відносно початку координат буде мати проекції на координатні осі x, y, z. Нехай виділений об′єм обертається відносно початку координат з кутовою швидкістю ω . Тоді лінійна швидкість руху будь-якої точки

виділеного обсягу буде дорівнювати векторному добутку
G	G G	(1.25)
V	= [ω r ] .

Проекції останнього рівняння на осі координат є складові лінійної швидкості, тобто

u = ωy z − ωz y

v = ωz x − ωx z .

(1.26)

w = ωx y −ωy x

Тоді, використовуючи ці вирази, знайдемо проекції складових вихору

Ωx = (	∂ w	−	∂v ) = ωx +ωx = 2ωx ,
	∂ y		∂ z
Ωy = (	∂u	−	∂ w) = ωy +ωy = 2ωy ,	(1.27)
	∂ z		∂ x
Ωz = (	∂v	−	∂u ) = ωz +ωz = 2ωz .
	∂ x
			∂ y

Отже, ΩG = 2ωG (1.28)

Таким чином, вихор швидкості дорівнює подвоєній кутовій

швидкості обертання частинок рідини або газу і є характеристикою обертальної здатності поля швидкості в даній точці.1

У метеорології найчастіше розглядається вертикальна складова вихору швидкості, що виражає вихрові властивості горизонтального поля вітру.

1 Такого ж висновку можно дійти, якщо розглянути твердий диск радіуса r, що обертається з кутовою швидкістю ω. Згідно з визначенням знайдемо вираз для циркуляції та вихору:

L = 2πr,v	= ωr. C = 2πr ωr = 2πr 2ω.q	n	=	C	=	2πr 2ω	= 2ω.
l				A		πr 2

При обертанні твердого тіла навколо миттєвої осі вихор дорівнює подвоєній кутовій швидкості обертання.

18

Розглянемо швидкість зміни циркуляції С. Виділимо подумки в деякий початковий момент часу t = t0 частинки, що будуть утворювати

замкнений контур G (рис.1.7). У силу безперервності руху ці ж самі частинки будуть і через проміжок часу δt утворювати замкнений контур, але вже зміщений і деформований (контур Р). Циркуляція швидкості по цьому контуру також зміниться. Щоб оцінити кількісно її зміну, виконаємо наступні перетворення

dC

= d

∫vl δr =

∫

d

( vl

δr ) = ∫dvl δr + vl

d( δr )

=

∫dvl δr + vl δ dr

=

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

=

∫

dvl δr +v δv =

∫

dvl δr +δ( v2

/ 2 ) =

∫

dvl δr .

dt

l

l

dt

l

dt

Другий доданокG ліворуч очевидно дорівнює нулю. По-перше, векторний елемент δr , що з'єднує дві сусідні частинки, визначається

різницею швидкостей зміни відстані між ними. По-друге, тому що інтегрування ведеться уздовж замкненого контуру, то vА = vB .

Рис. 1.7 - Зміна циркуляції швидкості [9]

Отже, прискорення циркуляції замкнутої фізичної кривої, що

рухається, дорівнює миттєвої циркуляції або прискорення

прискорення циркуляції дорівнює циркуляції прискорення.
dC	= ∫(	dVG	G	) = ∫	dvs	δr.	(1.29)
dt		dt	dl		dt
	l			l

Це є кінематична теорема Кельвіна.

1.1.5 Теорема Коші-Гельмгольца про розкладання швидкостей

19

Розглядаючи далі повітря як суцільне середовище, будемо під повітряною частинкою розуміти дуже малий об′єм у порівнянні із загальною довжиною якого-небудь досліджуваного руху, але досить великий в порівнянні з довжиною вільного пробігу молекул.

Відстані між окремими точками частки повітря (рідини) не залишаються постійними. Вони можуть переміщатися відносно одна одної, що супроводжується деформацією частки. На відміну від твердого тіла швидкість руху будь-якої точки повітряної частки залежить не тільки від її поступального й обертального руху, але і від її деформації.

Розглянемо усередині будь-якої частинки повітря дві нескінченно близькі точки М и M′, з'єднані радіус-вектором dR (рис.1.8)G. Координати точок будуть M ( x, y,z ) і M' ( x + dx, y + dy,z + dz ) , звідси dR ={dx,dy,dz}.

Швидкості руху цих точок є функціями часу і координат. Для точки М маємо u = u( t,x, y,z ), v = v( t,x, y,z ), w = w( t,x, y,z ) .

Рис.1.8 - Деформація повітряної частинки [10]

Необхідно знайти швидкості в точці М′: u' = u( t, x + dx, y + dy, z + dz ),

v' = v( t, x + dx, y + dy, z + dz ), w' = w( t, x + dx, y + dy, z + dz ).

Якщо у деякий момент часу t відома швидкість у точці М, то відповідну швидкість у точці М′ можна отримати шляхом розкладання складових швидкості в околі точки М в ряд Тейлора з точністю до малих першого порядку:

20