Таблица 23
				Варианты выбора
	Критерий
		Модель 1		Модель 2		Модель 3
	Мощность	160	— 6	100	— 4	130 — 5
	Öåíà	4400	— 6	3600	— 7	5000 — 10
	Внешний вид	3	— 6	2 — 3		4 — 8
	Сумма	18		14		23
				(минимум!)

							Таблица 24
	Весовой			Вариант выбора
Критерий	коэффициент	Модель 1			Модель 2		Модель 3
	(Êâ)	Ð	Ð Êâ		Ð Ð Êâ		Ð Ð Êâ
Мощность	0,5	6	3,0		4	2	5	2,5
Öåíà	0,2	6	1,2		7	1,4	10	2
Внешний вид	0,3	6	1,8		3	0,9	8	2,4
Сумма	1,0	—	6		—	4,3	—	6,9
					(минимум!)

Цена, как наиболее важный критерий, получает наименьшее значение коэффициента (0,2); внешний вид — несколько больше (0,3), а мощность — (0,5).

Вносим безразмерные характеристики для каждой модели машины из таблицы 16 и умножаем их на весовые коэффициенты, соответствующие трем критериям. Подсчитаем суммы этих произведений для каждой модели и найдем минимум. При таком подходе к выбору варианта покупка второй модели — наилучшее решение.

3.3.2.Принятие решения с использованием диаграммы, построенной в полярных координатах

Это способ отображения результата принятия решения с несколькими критериями и двумя вариантами. Представим подобное решение на примере (рис. 25).

187

Рис. 25. Сравнение двух вариантов трудоустройства с помощью диаграммы

При трудоустройстве на работу специалист получает два предложения, резко отличающиеся друг от друга, однако каждое имеет свои достоинства и свои недостатки.

В первом случае речь идет об административной должности, заманчивой с материальной стороны и означающей возможное продвижение по службе. Естественно, руководящая работа связана с большой нагрузкой. Другое предложение в денежном отношении менее выгодно, но не связано с нервными перегрузками. Решение приходится принимать еще и в условиях, связанных

188

с изменением места жительства и перехода жены на новое место работы.

Последовательность принятия решения:

1.Выбираются критерии, влияющие на выбор: оклад, самостоятельность, профессиональный интерес, культура взаимоотношений с сослуживцами, возможность получения жилплощади, возможность нового места работы для жены, психофизиологические нагрузки, дополнительные выгоды (премии, отпуска и т. п.).

2.Рисуется круг и в нем восемь радиальных шкал (по выбранным критериям), на которые наносятся числовые и словесные обозначения. Лучшие значения располагаются ближе к центру. При этом не имеет значения, как проградуированы шкалы — в относительных единицах, условных обозначениях или словесно. Надо отразить тенденцию к ухудшению при движении от центра

êпериферии.

Для критерия “оклад” более высокие цифры расположены ближе к центру. “Самостоятельность” (оценивается по системе оценок, обратных школьным) — более высокие баллы — на периферии.

При словесных обозначениях остальных критериев все зависит от формулировки критерия — должны ли такие оценки, как “очень большой”, “очень высокий”, располагаться ближе к центру или дальше от него. Большая нагрузка — недостаток и значение критерия — должно располагаться дальше от центра. Большие дополнительные выгоды — достоинство и место этого значения — ближе к центру.

На внутренней окружности должны указываться лучшие, но не утопические цифры. К примеру, зарплата в 1000 долларов пока нереальна. При оценке возможностей для получения жилья или работы для жены, напротив, оценка “немедленно” не исключается. На внешней окружности должны располагаться низкие оценки, но не меньше известного минимума.

3.Осуществляется выбор подходящих оценок и отметка их на соответствующих шкалах (рис. 25).

Это может представлять сложную задачу, если не владеть необходимой информацией.

4.Замкнутой линией соединяются точки, проставленные на осях. Получается неправильный многоугольник. Очерченная наименьшая площадь соответствует лучшему варианту.

189

3.3.3. Теория игр

Впервые теоретико-игровая задача (задача о справедливом разделе ставки между двумя игроками в кости) была поставлена в конце XV века итальянским математиком Л. Пачиоли (1445– 1514), которому также принадлежит открытие двоичной системы счисления. Решение же этой задачи было получено только через 150 лет французским математиком и физиком Б. Паскалем (1623–1662).

Âнастоящее время аппарат теории игр получил существенное развитие. Появились методы, дающие возможность найти оптимальное решение некоторых игровых задач. Однако гораздо чаще эти методы позволяют только глубже разобраться в ситуации, оценить каждое решение с различных точек зрения, взвесить его преимущества и недостатки. При этом выбор решения в условиях неопределенности сопряжен с неизбежностью элемента риска.

Наибольших успехов теория игр добилась в изучении так называемых парных игр с нулевой суммой. В этом случае имеются две враждующие стороны: выигрыши, полученные одной стороной в процессе развития конфликта в результате выбора обеими сторонами определенных способов действия, равны проигрышам противной стороны.

Âтаких играх “работает” доказанный фон Нейманом принцип “минимакса” — принцип получения максимума из того минимума, который тебе оставляет антагонистически настроенный противник.

Теория игр в бизнесе используется для прогнозирования реакции конкурентов на изменение цен, предложения дополнительного обслуживания, модификацию старой и освоение новой продукции и т. п.

При решении ряда практических задач приходится принимать решения в конфликтных ситуациях. Конфликтная ситуация характеризуется наличием двух или более противоборствующих сторон. Интересы этих сторон не совпадают, причем каждая из сторон не в состоянии полностью определить исход событий.

Примеры конфликтных ситуаций весьма многообразны. Необходимость выбора оптимального образа действий в подобных условиях и вызвала к жизни специальный математический аппарат — теорию игр. Задачей теории игр является выработка реко-

190

мендаций по рациональному образу действий участников конфликта.

Предметом исследования теории игр являются формализованные модели реальных ситуаций, предназначенные для количе- ственного анализа различных способов поведения участников. Особенность такой модели — отражение наиболее существенных сторон рассматриваемой ситуации без уделения внимания второстепенным факторам. Именно этим обеспечивается возможность анализа. Предполагается, что, в отличие от реального конфликта, игра развивается по вполне определенным правилам.

Модель характеризуется следующими свойствами:

•известны все исходы конфликтной ситуации;

•известны значения не только переменных, определяющих исходы игры, но и переменных, на которые могут влиять в какой-то степени участники конфликта;

•каждому исходу конфликтной ситуации участник может дать количественную оценку соответствия этого исхода его интересам.

В теории игр предполагается, что игра состоит из ходов, выполняемых игроками одновременно или последовательно. Ходом называется выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Совокупность ходов, предпринятых игроками от начала до окончания игры, называется партией. Партия — это частная реализация игры.

Различают личные и случайные ходы. Личным ходом называется сознательный, оправданный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление. Например, каждый ход в шахматах является личным ходом. Первый ход — это ход белыми одним из 20 возможных вариантов. Случайный ход — это также выбор одного из возможных вариантов действий, обусловленных правилами игры. Выбор определяется с помощью случайного механизма (бросания монеты, игральной кости).

При анализе игры со случайными ходами необходимо для каждого случайного хода знать распределение вероятностей возможных исходов.

Некоторые игры, например, состоят только из случайных ходов (чисто азартные игры), другие — только из личных ходов (шахматы, шашки). Играми, содержащими только случайные ходы, теория игр не занимается.

191

Одним из основных понятий теории игр является понятие стратегии. Стратегией игрока называется полная система указаний, однозначно определяющих выбор последующего хода игрока в каждой возможной ситуации. Обычно игрок, принимающий участие в игре, не следует жестким, фиксированным правилам. Действия игрока при каждом личном ходе обусловлены конкретной сложившейся ситуацией. Однако теоретически дело не изменится, если мы представим, что все эти решения предусмотрены игроком заранее по принципу: если сложится такая-то ситуация, то я поступаю так-то. Если такой порядок решений будет принят, это будет означать, что игрок выбрал определенную стратегию.

Стратегии могут быть хорошими, удачными, плохими и неудачными. Стратегию считают удачной, если она обеспечивает игроку выигрыш. Каждый игрок стремится направить свои действия на получение максимального выигрыша, соперник же, при данных обстоятельствах, всеми возможными средствами добивается снижения выигрыша противника до минимума. Поэтому в теории игр анализ конфликтных столкновений проводят в предположении разумного противодействия противника.

Отсюда целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтной ситуации, т. е. определение “оптимальной стратегии” для каждого из них.

Оптимальной стратегией игрока называется стратегия, обеспечивающая ему при любых действиях противника наибольший выигрыш.

Теория игр, как всякая математическая модель, описывающая сложные явления, имеет свои ограничения. Важнейшим из них является то, что выигрыш искусственно сводится к одному-един- ственному числу. В большинстве же конфликтных ситуаций при выборе разумной стратегии приходится принимать во внимание не один, а несколько числовых параметров — показателей эффективности. Стратегия, оптимальная по одному показателю, необязательно будет оптимальной по другим. Кроме того, одним из ограничений является также представление о полной (“идеальной”) разумности соперника. В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник “глуп”, и использовать это в своих интересах. Схемы тео-

192

рии игр не включают элементов риска, неизбежно сопровождающих разумные решения в реальных конфликтах. В теории игр выявляется наиболее осторожное, “перестраховочное” поведение участников конфликта.

Сознавая эти ограничения, игроку не следует слепо придерживаться рекомендаций, полученных игровыми методами, но все же разумно использовать математический аппарат теории игр для собственной стратегии.

Теория игр рассматривает различные игровые модели, отли- чающиеся друг от друга многими признаками.

В качестве примера возьмем матричную игру. Рассмотрим игру двух лиц с конечным числом стратегий у обоих игроков, в которой игрок А имеет m стратегий, а игрок B (соперничающая фирма) — n стратегий.

Стратегиям первого игрока поставим в соответствие порядковые номера i = 1, 2, ..., m; стратегиям второго игрока — номера j = 1, 2, ..., n. Партия такой игры состоит в том, что первый игрок выбирает одну из своих стратегий (стратегию с номером i), а второй игрок — одну из своих стратегий (с номером j). Исход игры (выигрыш первого игрока) обозначим через aij. Всего в такой игре возможно m Ч n исходов.

Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий AiBj однозначно определяет исход игры — выигрыш aij игрока A. Если игра, кроме личных, содержит случайные ходы, то выигрыш при выбранных для игры стратегиях AiBj будет вели- чиной случайной. Он будет зависеть от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша игрока служит математическое ожидание случайного выигрыша. Для удобства выигрыши в играх со случайными ходами будем обозначать так же, как и в играх без случайных ходов через aij. Представим значение функции выигрыша для различных исходов игры М матрицей.

a11 a21 ... a1n

M = a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

am1 am2 ... amn

193

Матрицу М называют матрицей игры, а игру матричной.

Для практического расчета воспользуемся задачей. Фирма разработала три вида продукта. Конкуренты, с целью недопущения выхода на рынок данного продукта, используют четыре стратегии борьбы. В результате комплекса мер конкурирующей фирмы с вероятностью 0,8; 0,9; 0,6; 0,7 продукт А1, с вероятностью 0,9; 0,75; 0,7; 0,8 продукт А2, с вероятностью 0,4; 0,7; 0,5; 0,6 продукт А3 не выдерживают конкуренции на рынке.

Матрица выигрышей для такой игры имеет вид:

	Â
À	Â1	Â2	Â3	Â4
À1	0,8	0,9	0,6	0,7
À2	0,9	0,75	0,7	0,8
À3	0,4	0,7	0,5	0,6

Требуется определить оптимальные стратегии выбора товаров

Ai, i = 1,3 игроком I и комплекса мер Bj, j = 1,4 фирмы-конку- рента (игрок II) для борьбы на рынке товаров.

Для решения найдем нижнюю цену игры V1. Для этого в каждой строке матрицы М необходимо найти наименьший элемент и из этих наименьших элементов выбрать наибольший.

Например, для игры, заданной матрицей

0,8 0,9 0,6 0,7

M = 0,9 0,75 0,7 0,8

0,4 0,7 0,5 0,6

mina1j = 0,6; mina2j = 0,7; min a3j = 0,4.

Наименьший элемент первой строки равен 0,6; второй строки — 0,7; третьей строки — 0,4. Следовательно, V1 = 0,7 и максимальная стратегия игрока I состоит в том, чтобы выбрать вторую строку (стратегию А2 ). Максимальная стратегия I-го игрока гарантирует ему при любом поведении конкурента выигрыш не меньший V1. Этот гарантированный минимум I-й игрок обеспе- чивает себе, придерживаясь своей наиболее осторожной (“перестраховочной”) стратегии.

194