10. Методические подходы к изучению объемов тел вращения (на примере учебников геометрии)

Значение изучения в школе свойств тел вращения трудно переоценить. Важную роль играет знакомство с ними в связи с подготовкой школьников к практической жизни, к труду. Учителю следует подчеркнуть, что форму тел вращения имеют многие детали машин, приборов, архитектурные сооружения, предметы быта, изделия гончарного производства и т.д.

Обычно теоретический материал раздел о телах вращения по объему бывает невелик. Однако тут вводится много новых понятий, способы их введения, методы изучения тоже весьма различны.

При изучении фигур вращения очень велико значение чертежа. Чертеж является основным средством иллюстрации, развития пространственного воображения.

При изучении тел вращения закрепляются и развиваются полученные знания об основных фигурах на плоскости, особенно об окружности, круге, многоугольнике, вписанном и описанном, их основных свойствах.

Тема «Тела вращения» усваивается учащимися неплохо. Однако анализ состояния знаний учащихся показывает, в частности, недостаточно сформированные навыки в решении стереометрических задач (неумение выполнить чертеж рассматриваемого тела вращения), так и в неумении проводить теоретические обоснования отдельных этапов решения, не всегда корректное использование теоретического материала, неаккуратно выполненные записи. Отрицательно сказывается на результатах работы отсутствие прочных вычислительных навыков у учащихся, утрата основных знаний и умений по курсу планиметрии.

Все это требует от учителя постоянного внимания к организации систематического повторения при изучении цилиндра, конуса и шара (тем более что это одна из итоговых тем курса геометрии), к организации вычислений в ходе решения задач и т.п.

Отдельные сведения о цилиндре, конусе, шаре полученные учащимися из повседневной практики, предшествующего обучения математике, изучения других школьных дисциплин, синтезируются, оформляются, логически, систематизируются.

Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на две группы:

1. Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники; б) объем; в) площадь боковой поверхности.

2. Шар и сфера: а) определение, симметрия, касательная плоскость, сечение; б) объем шара; в) площадь сферы.

В настоящее время тела вращения изучаются в 11 классе. Всего на тему отводится 19 ч., при этом предусмотрено проведение двух контрольных работ. Анализ содержания темы, методов изложения отдельных вопросов дает возможность считать целесообразным проведения первой контрольной работы после изучения вопросов 1,а и 2,а и второй – после изучения метрических вопросов 1б,в и 2б,в.

Обычно цилиндр, конус, шар и сфера изучаются в курсе стереометрии после многогранников. При этом такие понятия, как «тело», «поверхность», «ограниченность» ит.п., вводится в теме «многогранники», и сама трактовка фигур вращения (тело или поверхность) согласуется с тем, как понимается многогранник. В учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др., например, цилиндр – это тело, а многогранник поверхность, хотя авторы и отмечают, что «…тело, ограниченное многогранником, часто называют также многогранником»

Последовательность изучаемых тел вращения: цилиндр, конус, шар – соответствует обычно последовательности: призма, пирамида, правильные многогранники. Цилиндр и призма имеют очень много общих свойств. Аналогичное замечание можно сделать и относительно понятий пирамиды и конуса. Во всех школьных учебниках выделяется для изучения поверхность шара – сфера. Цилиндрическая поверхность рассматривается только в учебнике Л. С. Атанасяна и др. Коническая поверхность отдельно не рассматривается.

В учебнике А. Д. Александрова и др. тема «Пространственные фигуры и тела» изучается перед темой «многогранники». В первой рассматриваются такие общие понятия, как: опорная плоскость, размеры фигур, ограниченные фигуры, диаметр фигуры, расстояние от точки до фигуры, тела, граница и внутренность фигуры в пространстве, замкнутая область, выпуклые тела и др. Эти понятия находят непосредственное применение как при изучении многогранников. В этом учебнике тела вращения изучаются в порядке: шар, цилиндр, конус, т.к. понятия сферы и шара находят широкое применение при введении и изучении основных понятий темы. Трактовка цилиндра и конуса также отличается от принятой в большинстве школьных учебников. Так, цилиндром называется объединение параллельных отрезков, идущих из всех точек некоторой плоской фигуры до плоскости, параллельной плоскости этой фигуры. Таким образом, цилиндр может иметь своим основанием точку, отрезок, треугольник, круг, прямую, полуплоскость и т.д. Далее вводится понятие прямого кругового цилиндра или цилиндра вращения.

Если сравнить трактовки цилиндра (конуса) в школьных курсах геометрии, то видно, что: 1) строгого определения цилиндра (конуса) в школьных курсах нет, дается лишь его описание; 2) во всех учебниках под цилиндром (конусом) понимается геометрическое тело, т.е. ограниченная пространственная область с границей. При этом можно выделить 3 основных различных методических подхода к понятию цилиндра (конуса):

1. В учебном пособии А. В. Погорелова цилиндр трактуется как тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих круг в одной из плоскостей.

2. В курсе геометрии Л. С. Атанасяна и др. сначала вводится граница – цилиндрическая поверхность и два круга, расположенных определенным образом относительно этой поверхности – ограниченной пространственной области, а уже затем цилиндр как тело, ограниченное рассмотренной поверхностью.

Третий подход заключается в том, что цилиндр сразу вводится как тело вращения. Примером такого изложения может служить учебное пособие под редакцией З. А. Скопеца. Какое это пособие?

Основной целью введения темы «Объемы тел вращения» в школьном курсе геометрии является продолжение систематического изучения тел вращения в ходе решения задач на вычисление их объемов.

Введение понятия объема см. пункте 9.

В учебнике А.В.Погорелова в одной главе рассматриваются понятия объемов многогранников и тел вращения. По этому учебнику понятие объема и его свойства могут быть изучены на ознакомительном уровне с опорой на наглядные представления и жизненный опыт учащихся. При выводе формул объемов цилиндра, конуса широко привлекаются приближенные вычисления и интуитивные представления учащихся о предельном переходе. Вывод общей формулы объемов тел вращения имеет служебный характер с его помощью выводится формула объема шара. Объем шара выводится с помощью интеграла.

В учебнике Л.С.Атанасяна в главе «Объемы тел» объем цилиндра выводится с применением интуитивных представлений учащихся о предельном переходе из объема призмы. Объемы конуса, шара, шарового сегмента выводятся с помощью интеграла.

В учебнике И.Ф. Шарыгина в отличии от приведенных выше учебников для вывода объема шара использован принцип Кавальери. Его предлагается использовать и при решении задач.

Привести примеры различных способов доказательства из учебников, например объема шара.

11. Методика изучения рациональных чисел в курсе средней школы.

Изучение чисел в школьном курсе математики ведется в такой последовательности: натуральные числа, нуль, дроби, положительные и отрицательные числа и множества рациональных чисел, иррациональные числа и множества действительных чисел. Эта последовательность отражает исторический путь развития понятия числа в математике: (историческая схема развития понятия числа). В математике дроби возникли значительно раньше, чем отрицательные числа.

Первый шаг в изучении чисел состоит в овладении навыкам счета от 1 до 10. Одновременно учащиеся обучаются «обратному» счету, выполнению действий по прибавлению и вычитанию 1, 2, и т.д. На этой основе в начальных классах изучается весь ряд натуральных чисел. В дальнейшем расширение понятия числа учитываются следующие факторы: потребности математики (алгебраическая концепция расширения понятия числа), потребности практики (например, практики измерения величин), возрастные возможности учащихся (психологический фактор). В различных учебниках это проявляется по-разному. Различные подходы к изучению числовых систем проявляется также в выборе места их изучения. Программа по математике предусматривает завершение изучения действительных чисел в 8 классе.

После введения натуральных, целых чисел и десятичных дробей вводятся рациональные числа. При их обучении в соответствии учебными программами предлагается следующий план:

1) Направления и числа. С помощью координатной прямой.

2) Сложение и вычитание. Рассматриваются ве­личины, которые могут изменяться в двух противоположных на­правлениях.

3) Умножение и деление. Большое внимание уделяется знакам чисел при делении и умножении.

Введение дробных чисел в 5 классе является для учащихся первым расширением понятия числа. А потом в 6 классе вводятся отрицательные числа, а затем вводятся понятие рационального числа и изучаются действия над рациональными числами.

В 6 классе в теме «Рациональные числа» продолжается изучение положительных и отрицательных чисел и вводится понятие рационального числа как числа, которое может быть записано в виде дроби. Рассматривая множество рациональных чисел, можно сделать вывод о том, что в этом множестве всегда выполнимы сложение, вычитание, умножение и деление на число, не равное нулю.

В практике преподавания основным методом изучения новых чисел, в частности дробных, являющихся поясняющие описания, которые опираются на знания, жизненный опыт учащихся.

Каждый этап развития понятия числа в школе состоит из двух частей:

1. Мотивировка

2. подтверждение

Мотивировка введения нового числа опирается обычно на жизненный опыт учащихся. Так, введение дробных чисел связывается с изменением, делением целого на части. Мотивировка может быть алгебраической, практической.

Введение дробных чисел связывается с необходимостью более точного измерения величин, с делением чисел. Поэтому целесообразно познакомить учащихся с возникновением дробных чисел в процессе практической деятельности человека, а именно в процессе измерения. Краткая историческая справка поможет учащимся лучше овладеть данным материалом.

Согласно программе и учебнику по математике формирование понятия дроби начинается с умения получать доли при делении какой-либо величины на несколько равных частей. Учащихся должны уметь называть и показывать доли отрезка, круга, прямоугольника и других предметов. Ряд упражнений с широким использованием наглядности призван сформировать у учащихся представление о том, что одно и то же число долей или частей какого-либо предмета означает одну и ту же дробь.

Большое значение в изучении дробей имеет использование графического метода, в частности координатного луча. Ученики выполняют ряд упражнений, с помощью которых формируется умения отмечать на луче точку, соответствующую заданной дроби и наоборот называть дробь, соответствующую отмеченной точке. Координатный луч широко используется также для сравнения дробей и для изучения основного свойства дроби.

В школьных учебниках математики сначала дается обыкновенная дробь, а затем десятичная. Это связано тем, что введение десятичной дроби вне связи с понятием обыкновенной дроби дает формальное представление о десятичной дроби и у учащихся создается впечатление, что обыкновенная и десятичная дроби – это разные числа.

Формирование понятия дроби сопровождается обучением решению простейших задач на нахождение части числа и числа по его части, а также задач, готовящих к решению задач на совместную работу. Доказательства законов сложения и умножения проводятся на характерных числовых примерах с опорой на соответствующие законы для натуральных чисел. Деление вводится как операция, обратная умножению. Смешанная дробь рассматривается как другая запись обыкновенной дроби.

Десятичные дроби вводятся в связи с рассмотрением позиционной системы. Десятичная дробь появляется как частный случай обыкновенной дроби, как способ записи дробей со знаменателем 10ⁿ. Таким образом, школьникам дается пояснение, в которое входят два условия, характеризующие десятичную дробь: это дробь, знаменатель которой 10ⁿ (), второе условие относится к форме записи( 0,1; 0,003 и др)

Сложение и вычитание десятичных дробей дается по аналогии со сложением и вычитанием натуральных чисел. Опыт учащихся по выполнению этих операций позволяет довольно легко сформулировать правила сложения и вычитания десятичных дробей.

Изучения умножения и деления десятичных дробей начинается с рассмотрения простейших случаев, т.е. с умножения и деления десятичной дроби на натуральное число.

При делении десятичной дроби на натуральное число важным моментом является подстановка запятой после окончания деления целой части данного числа.