4. Декартовы координаты. Координатный метод в курсе геометрии.

Впервые идея координатного метода была систематически развита Пьером Ферма и Рене Декартом. В их формулировках расстояния до координатных осей могли быть только положительными числами или нулем. Важная идея о том, что одно или оба эти расстояния можно так же считать и отрицательными, принадлежит И. Ньютону. А Лейбниц первым назвал эти расстояния «координатами». Координатный метод произвел настоящий переворот в геометрии и не только в ней.

Метод координат дает универсальный способ поставить в соответствие геометрическим объектам – фигурам, линиям и т. д. те или иные алгебраические выражения или соотношения. Иначе, метод координат – это способ перевода с геометрического языка на язык алгебры, после чего геометрические проблемы превращаются в алгебраические, и мы получаем возможность использовать для решения геометрических задач алгебраические методы.

В соответствии с программой по математике для средней общеобразовательной школы координаты впервые появляются уже в 5-ом классе при изучении алгебраического материала: «изображение чисел на прямой; …………..…». Согласно этой программе в геометрии координаты изучаются в девятом классе конце первой четверти в следующем объеме: «координаты вектора; связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; уравнение линии на плоскости, уравнение окружности и прямой; ».

Основной целью изучения координатного метода – познакомить учащихся с методом, отсутствующим в классической элементарной геометрии. Но играющим ведущую роль в современной геометрии, показать учащимся применение координатного метода к решению задач.

С понятием прямоугольной системы координат учащиеся впервые знакомятся в курсе алгебры 7 класса, когда начинается изучение функции.

Рассмотрим пример введения понятия метода координат по учебнику Л.С.Атанасяна: введения системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

Затем учащиеся знакомятся с такими важными формулами как: 1. формула для нахождения координат середины отрезка при условии, что координаты концов отрезка известны: А (х₁;у₁), В (х2; у2). С (х; у) - середина АВ.

х=(х₁+х₂)/2 у=(у₁+у₂)/2

рассматривается два случая: а) когда нужно найти середину отрезка С. б) когда нужно найти один конец А. 2. формула вычисления длины вектора по его координатам. 3.формула для нахождения расстояния между двумя точками с заданными координатами: А (х₁;у₁), В (х₂; у₂).

/АВ/=((х₂-х₁)²+(у₂-у₁)²)^1/2

частный случай этой формулы это формула вычисления длины вектора по его координатам.

При изучении линий методом координат возникают две задачи: 1) по геометрическим свойствам данной линии найти ее уравнение; 2) обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать ее геометрические свойства.

В учебнике А.В. Погорелова почти весь курс геометрии был изложен методом координат. Они вводятся и используются с 7-го класса.

В учебнике Л.С. Атанасяна уделена специальная 10-ая глава, но только после темы «Векторы».

В учебнике И.Ф. Шарыгина методу координат посвящена 11-ая глава после тем: «Площади многоугольников» и «Длина окружности, площадь круга». И автор решил не выделять название главы, а ограничился лишь названием «координаты и векторы»

Изучение координат в пространстве в разных пособиях у разных авторов осуществляется по-разному, однако координаты в пространстве и формула для расстояния между точками в пространстве рассматриваются всегда.

5. Методика изучения преобразования подобия.

Понятия подобия является одним из важнейших в курсе планиметрии. Учащиеся знакомы с реальными предметами, дающими наглядное представление о подобных фигурах (географические карты, фотографии, модели автомобилей, кораблей, и т.д.).

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. эти изображения представления представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом.

Основная цель изучения преобразования подобия – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников.

А.В.Погорелов – 9 класс тема «Подобие фигур» (17ч)

Л.С.Атанасян – 8 класс тема «Подобные треугольники» (19ч)

И.Ф.Шарыгин – 8 класс тема «Подобие» (20ч)

По А.В. Погорелову на изучение подобия фигур отводится 17 часов. Изучается в 9 классах до изучения тем площади. Подобие фигур разделено на 9 тем. В конце главы вводится углы, вписанные в окружность и пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. В начале дается понятие гомотетии и подобии фигур. Затем рассматривается подобие треугольников, признаки подобия треугольников, подобие прямоугольных треугольников.

Определение (А.В. Погорелов). Преобразование фигур F называется преобразованием подобия если при этом преобразование расстояния между точками изменяется в одно и то же число раз, то есть для любых двух точек X и Y фигуры F и точки X’ и Y’ фигуры F’, в которые они переходят, XY=кXY’.

Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Признаки подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:

1. все их соответственные углы равны (достаточно равенство двух углов);

2. все их стороны пропорциональны;

3. две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны.

Два прямоугольных треугольника подобны, если:

1. их катеты пропорциональны;

2. катет и гипотенуза одного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе другого;

3. два угла треугольника равны двум углам другого.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

По Л.С. Атанасяну в главе 7 подобные треугольники отводится 19 часов. Основное внимание в главе уделено подобным треугольникам. Изучается в 8 классах после глав четырехугольники и площади.

Определение подобных треугольников дается на основе теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, весьма просто доказываются признаки подобия треугольников. Они широко используются в курсе геометрии. Кроме того, материал, связанный с подобием, позволяет содержательно реализовать межпредметные связи с алгеброй (пропорциональность, уравнения, квадратные корни) и с физикой (например, геометрическая оптика). В конце главы вводится синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

При изучении данной темы нужно иметь в виду, что свойства подобных фигур будут многократно применяться при дальнейшем изучении курса геометрии. Поэтому следует уделить значительное внимание и время решению задач, направленных на формирование умений доказывать подобие треугольников с использованием признаков и вычислять элементы подобных треугольников.

При изучении признаков подобия достаточно доказать два признака, так как первый доказывается с опорой на теорему об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы, а доказательства двух других аналогичны. Применение метода подобия треугольников к доказательствам теорем учащиеся изучают на примере теоремы о средней линии треугольника. С учащимися интересующимися математикой можно рассмотреть задачи на построение методом подобия.

После изучения подобных треугольников рассматривается вопрос о подобии произвольных фигур на интуитивной основе.

В курсе стереометрии в начале 11 класса 9 в параграфе «Преобразование подобия» (не обязательный пункт для изучения на базовом уровне) дается следующее определение (Л.С. Атанасян): Преобразования подобия с коэффициентом к >0 называется отображение пространства на себя. При котором любые точки А и В переходят в такие точки А₁, В₁, что А₁=кВ₁.

Два тела называются подобными, если существует такое преобразование подобия, при котором одно из них переходит в другое.

Таким образом, мы рассмотрели два способа изучения подобия треугольников: можно рассмотреть подобные треугольники как частные случаи подобных фигур (А.В.Погорелов) или можно определить подобные треугольники как треугольники, имеющие соответственно пропорциональные стороны и соответственно равные углы (Л.С.Атанасян).