Глава 3. Тригонометрические функции.

§4. Тригонометрические уравнения

п.4 Решение тригонометрических уравнений

Объяснение данной темы дается на решении конкретных примеров.

4- примера на уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций

2- примера на уравнения, решаемые понижением их порядка

2- примера на уравнения, решаемые с помощью преобразований тригонометрических формул

2- примера на однородные уравнения

В конце параграфа даются контрольные вопросы. Задачи для тренировки знаний помещены в конце главы. Упражнения даются по тематике. Например, на решение простейших уравнений отведено два номера, по 16 пунктов. Далее помещен материал для контрольной работы. Всего три варианта, по пять заданий, одно из которых на решение тригонометрического уравнения.

А.Н.Колмогоров. Алгебра и начала анализа для 10-11 класса. М, Просвещение, 2006г

(13 часов)

Глава 1. Тригонометрические функции.

§3. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

п.9 Решение простейших тригонометрических уравнений

п. 10 Решение простейших тригонометрических неравенств

п.11 Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений

Решение тригонометрических уравнений и неравенств иллюстрируются с помощью единичной окружности. Приводят несколько примеров с подробным решением. Упражнения для тренировки знаний делятся на две части. В первую часть входят задачи обязательного уровня, во вторую входят более сложные. Упражнения расположены после теоретического материала. Для знакомства с основными идеями решения предложенных задач приводятся множество примеров решения, выделенных значками разных цветов.

По п.9 всего предложено 15 задач, из них 8 задач обязательного уровня. В п.10 всего 13 упражнений. В п.11- 13 упражнений. В конце главы приводятся сведения из истории тригонометрии и дополнительные задачи на повторение.

Н.Я Виленкин. Алгебра и математический анализ 10 класс. Уч-к для углубленного изучения мат-ки. Мнемозина, 2005г.

()

Глава 6. Тригонометрические функции.

§5. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Теоретический материал дается цельно, иногда разрывается на упражнения. Всего имеется 11 пунктов, из которых 10 обязательных и последний для необязательного прослушивания. Предполагается, что учитель будет давать урок в форме лекции.

20. Методика изучения показательной и логарифмической функции.

Значение, место и методика изучения показательной и логарифмической функций.

В природе существует такие процессы, которые не поддаются описанию с помощью алгебраических функций, но с достаточной точностью характеризуются трансцендентными функциями. Среди этих функций важное значение имеют показательная и логарифмическая функции. Показательная функция служит математической формой выражения обширная класса процессов, происходящих в реальной действительности и имеющих общее название процессов естественного роста или убывания величин, например: численности населения, скорости распада радиоактивных веществ, изменения атмосферного давления с высотой над уровнем моря, падения температуры охлаждаемых тел, скорости размножения бактерий, скорости движения тела в сопротивляющейся среде и т.д.

В раскрытии закономерностей этих процессов используется и логарифмическая функция.

Логические и дидактические соображения говорят о том, что изучение показательной и логарифмической функций с произвольным показателем.

В 9 классе в связи с повторением, а затем дальнейшим, а затем дальнейшим повторением и обобщением понятия степени последовательно формируются и понятие показательной функции на множестве действительных чисел. Этот процесс состоит в изучении свойств функции у=а^х на разлиnчных этапах расширения и обобщения понятия степени:

1. аεQ, хεN;

2. аεQ, а≠0, хεZ;

3. аεQ, а>0, хεQ;

4. аεR, а>0, хεR.

Сведения о понятии действительного числа, накопленные до 9 класса, недостаточны для строгого определения показательной и логарифмической функций и описание их свойств. Поэтому к показательной и логарифмической функциям, изучаемым в 9 классе на индуктивной и наглядной основе, приходится возвращаться в 11 классе, с тем чтобы завершить логически удовлетворительное изложение материала.

В 9 классе учащиеся впервые встречаются с функцией у=а^х, где хεN при изучении формулы n-го члена геометрической прогрессии: bn=b1 * q^n-1= b1/q *q^n.

Здесь следует рассмотреть частного вида последовательность q,q ^2,q ^3,…, q^n,…с формулой n-го члена bn= q^n (q>0) и в порядке упражнений построить графики функций при конкретно заданных q>1 и q<1 соответственно, отметив по графикам их свойства: возрастание (q>1), убывание (q<1), положительные значение функции на всей ее области определения при любых значениях q>0. Этой функцией можно дать название показательной, определенной на множестве N, но можно этого и не делать, если основной материал темы усваивается учащимся с затруднением.

Основная цель - познакомить учащихся с показательной, логарифмической функциями, их свойствами и графиком.

Какие методические подходы к изучению этих функций существуют в школьных учебниках? В чем их различие? Дается ли понятие обратной функции? И если дается, то когда?

Учебники «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл.	1.Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.	2.А.Н.Колмогоров,А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.	3. Виленкин Н.Я.
В каких классах	Изучают в 10 классе	Изучают в 11классе	Изучают в 11 классе
В каком главе и сколько часов дается.	Глава1. Показательная функция (10ч) 1.Свойства показательной функции и ее график.(2Ч) 2.Показательные уравнения и неравенства Упражнения к главе 1 Глава2. Логарифмическая функция (14ч) Логарифмы Свойства логарифмов Десятичные и натуральные логарифмы. Лог.функция и ее график.(2ч) Обратная функция Лог.ур-я Лог.нер-ва	Глава 4. Показательная и логарифмическая функции (36ч). § 9. Обобщение понятия степени 32.Корень n-й степени и его свойства 33. Иррациональные уравнения 34.Степень с рациональным показателем. § 10. Показательная и логарифмическая функция(18ч) 35.Показательная функция(2ч) 36. Решение показательных уравнений и неравенств 37. Логарифмы и их свойства 38. Логарифмическая функция(3ч) 39. Решение лог.ур-й и нер-в 40. Понятие об обратной функции	Глава 8. Показательная, логарифмическая и степенная функции.(40ч) § 1. Показательная функция и ее свойства 1.Процессы ограниченного роста и убывания 2.Обобщения понятие степени 3Определение функции lnx, ее свойства и график 4.Логарифми- ческая функция и степень с любым показателем 5. Показательная функция, ее свойства и график
	Прежде чем вводить понятие показательной функции, рекомендуется повторить понятие степени с действительным показателем и ее свойства, а также свойства степенной функции. Свойства монотонности показательной функции обосновывается аналитически и иллюстрируются на графике. В дальнейшем основное внимание уделяется иллюстрации свойств функции по графику (чтение графика). Приводятся примеры применения показательной функции для описания различных физических процессов.	Понятия корня n-й степени и степени с рациональным показателем являются обобщением понятий квадратного корня и степени с целым показателем. Следует обратить внимание учащихся, что рассматриваемые здесь свойства корней и степеней с рациональным показателем аналогичны тем свойствам, которыми обладают изученные ранее квадратные корни и степени с целыми показателями. Необходимо уделить достаточно времени отработке свойств степеней и формированию навыков тождественных преобразований. Понятие степени с иррациональным показателем вводится на наглядно-интуитивной основе. Этот материал играет вспомогательную роль и используется при введении показательной функции. Изучение свойств показательной, логарифмической функций построено в соответствии с принятой общей схемой исследования функций. При этом обзор свойств дается в зависимости от значений параметров.	Здесь показательную функцию проходят после изучения логарифмической функции. Описывает процессы органического изменения. Производная и первообразная показательной функции. Число е. Натуральный логарифмы. (Вычисление пределов, связанных с числом е). радиоактивный распад. Затухающие колебания.
Задачный материал	На показательную функцию-12 задач. Из них 6 обязательных. На логарифмическую функцию-14 задач. Из них 10 обязательных. Одна задача сложный, 2 задачи трудные.	На показательную функцию-15 задач. Из них 6 обязательных: 1. Постройте свойства функции и постройте ее график: а) у=4^х; 2. Найдите область значений функции: а) у=-2^х 3. Сравните числа: а) 2,5^-√2 и 1 4. Решите графически уравнения: а) 3^х=4-х На логарифмическую функцию-13 задач. Из них 6 обязательных Найдите область определения выражения: loqπ (10-5х); Сравните числа: а) loq2 3,8 и loq2 4,7; Перечислите основные свойства функции и постройте ее график: а) у=loq3 х; 4.Верно ли, что лог. функция: а) имеет экстремумы; б) Является нечетной; в) является периодической; г) является четной?	На логарифмическую функцию-23 задач. Найдите область определения функций: а) loq1/3 (4х-8); Начертите график функции loq2 (х-4)+ loq2 (8-х); | loq3 (х-2)| Какая из функций loq3 х, loq2 х – быстрее возрастает, когда х→+∞? Какая из этих функций больше на промежутке 0<x<1? На показательную функцию-8 задач. 1.Постройте на одном чертеже графики функций у=2^х и у=3^х при -1<х<1 в масштабе 1:5 см. 2.Как по графику функции у=с*а^х определить основание а и коэффициент с? 3.Вычислить предел Limх→+∞ 1/х^2+3^х