24. Формирование понятия определенного и неопределенного интеграла.

Для введения понятия первообразной функции можно обратиться к таблице, в которой записаны функции и их производные, и поставить задачу воспользоваться ею для отыскания функции, производная которой равна данной (взятой из столбца производных). Это можно сделать, на примере физической задачи о восстановлении закона движения по известному закону изменения скорости.

Дальнейшее развитие этой задачи: найти функции, производные которых равны х², х³, х^-2, х^-3.

Нетрудно заметить, что построенная задача решается неоднозначно: для каждой функции найдется бесконечное множество функций, производная которых равна данной функции; эти функции отличаются только постоянной.

После такого рода упражнений вводится определение первообразной функции, или просто первообразной:

Опр. Функция F(х)называется первообразной для функции f(x) в данном промежутке, если для всех х из этого промежутка F’(х) = f(x).

Далее доказываются теоремы: Теорема 1: Если F(х) – одна из первообразных для данной функции f(x) в некотором промежутке(конечном или бесконечном), то любая функция F(х)+С, где С – произвольная постоянная, также является первообразной для f(x) в этом промежутке.

Теорема 2: Если F(х)- первообразная для f(x), то любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(х)+С, где С – какая-то постоянная.

Таким образом, F(х)+С обозначает множество всех первообразных данной функции.

Введение понятия ∫f(x)dx для его обозначения не является строго необходимым в том небольшом курсе математического анализа, который возможен в школе, тем более что запись ∫f(x)dx вызывает трудности в объяснении происхождения символа. Вместе с тем введение такой символики позволяет в более наглядной форме записывать формулы интегрирования. Заметим еще, что возникающая здесь определенная трудность, связана с пониманием того, что при проверке интегрирования дифференцированием мы имеем дело не с одной функцией а с бесконечным множеством их, записанным в форме ∫f(x)dx, сохраняется отчасти и в случае, когда понятие неопределенного интеграла не вводится. Еще один аргумент в пользу введения символа ∫f(x)dx – общепринятость его: ученики должны быть подготовлены к чтению литературы, а там они с таким обозначением встречаются. Символ ∫f(x)dx и термин «неопределенный интеграл» можно ввести после доказательства приведенных выше теорем 1 и 2. При этом разъясняется, почему употребляется слово «неопределенный», показывается связь между интегрированием и дифференцированием.

Можно ограничиться упражнениями, направленными на непосредственное применение таблицы и правил нахождения первообразных.

Применение интеграла к вычислению площадей. Вывод формулы площади криволинейной трапеции.

Займемся теперь применением первообразной к вычислению площадей плоских фигур. Поставим задачу найти способ для вычисления площади криволинейной трапеции.

Предварительно у учеников должно быть создано правильное представление о криволинейной трапеции как о фигуре, ограниченной графиком непрерывной функции, осью х и прямыми, параллельными оси у.

Теорема: Пусть f(x) – непрерывная функция, неотрицательная на отрезке [a;b], S – площадь соответствующий криволинейной трапеции. Если F(х) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b], то S=F(a)-F(b) применению первообразных на отрезке [a;b] (рисунок).

Данная теорема в различных учебниках доказывается по-разному: в учебнике Алимова поясняется геометрически; в учебнике Колмогорова, а также в учебнике Никольского доказательство рассматривается полностью (выводят формулу, используя определение производной и геометрический смысл, также используют различные графики). Но эту формулу можно дать и без доказательства.

Решая задачи на вычисление площади криволинейной трапеции, нетрудно убедится, что площадь полностью определяется функцией у=f(х) и концами промежутка а и в.

Любые две первообразные для функции f(х) имеют на отрезке [а;в] одно и то же приращение.

Приращение первообразной для функции f(х) на отрезке [а;в] будем называть определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [а;в] и обозначать ∫f(х)dx (от а до в).

Т.е. ∫f(х)dx (от а до в)= F(в)-F(а), где F`(х)=f(х).

Надо сказать, что и без так введенного понятия определенного интеграла можно решать задачи на вычисление площадей, вывести нужные в школьном курсе формулы для вычисления объемов: для этого достаточно понятия первообразной. Но символом определенного интеграла пользоваться удобно (сокращаются записи), он общепринят, с ним ученики в дальнейшем могут встретиться при чтении математической литературы.

В случае его присутствия в школьном курсе формулы для вычисления будут выглядеть так: S=∫f(х)dx (от а до в), а вычисления приобретут вид:

S=∫(х²-4х+5)dx (от 1 до 3)=(х³/3-2х²+5х)׀ (от 1 до 3)= 2 2/3.

Таким образом, сначала мы предлагаем пользоваться для решения задач на вычисление площадей формулой, выражающей площадь как разность значений первообразной. Только тогда, когда на примерах ученики усвоят формулу, предлагаем перейти к использованию символа определенного интеграла.

В более сложных задачах будем использовать символ определенного интеграла. Усложнение упражнений идет в следующих направлениях:

1) Функция f(х) задается, а пределы интегрирования надо найти из условия задачи (например, вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс, если парабола пересекает ось абсцисс).

2) Задаются две функции, графики которых имеют точку пересечения, и пределы интегрирования. Криволинейную трапецию приходится разбить на части.

3) Как и в предыдущем случае, задаются две функции, но пределы интегрирования приходится находить в процессе решения задачи. Пример: заданы функции у=х³, у=2-х. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиком этих функций и осью абсцисс.

4) Случай, когда площадь фигуры вычисляется как разность площадей двух криволинейных трапеций.

5) Сочетание предыдущих случаев.

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугами парабол у=х², у=1/4х² и прямой у=4.

В этой задаче полезно использовать симметрию фигуры относительно оси у.

6) Случай, когда функция f(х) на отрезке [а;в] удовлетворяет условию f(х)≤0.

Здесь либо в каждой конкретной задаче используется симметрия относительно оси х (чтобы можно было воспользоваться прежней формулой для вычисления площади), либо выводится специальная формула для случая f(х)≤0, S=-∫f(х)dx (от а до в), которая затем используется в конкретных задачах.

Для решения большого числа задач, которые здесь рассмотрены, оказалось достаточно понятия определенного интеграла как приращения первообразной. Вместе с тем возможно и введение понятия определенного интеграла как предела интегральных сумм.

Формула Ньютона-Лейбница:

∫f(х)dx (от а до в)=F(в)-F(а), если F-первообразная для а на [а;в].

В учебнике Алимова и др. получение формулы поясняют геометрически. Отдельного параграфа или пункта на изучение формулы нет. А в учебниках Колмогорова и др. и Никольского и др. выделяют отдельно параграф для рассмотрения данной формулы, на изучение выделяется 3 часа. Формула доказывается с помощью вычисления площади криволинейной трапеции как предел площадей ступенчатых фигур, составленных из построенных бесконечного множества прямоугольников.

Применение определенного интеграла к вычислению объемов.

Данный раздел не во всех учебниках рассматривают. Их можно найти в учебниках Колмогорова и др. и Никольского и др. под названием: «Применения интеграла». В этих учебниках задается тело объемом V, причем известна площадь S сечения тела плоскостью перпендикулярной оси Ох. Данная плоскость пересекает ось Ох на отрезке [а;в] в любой точке х, тем самым на отрезке [а;в] задана функция S(x). Если функция S непрерывна на отрезке [а;в], то справедлива формула:

V=∫S(x)dx (от а до в).

Полное доказательство этой формулы не приводится, останавливаются на наглядных соображениях, приводящих к ней.

Анализ учебников.

1. А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс:

• Первообразная – 9 часов;

• Интеграл – 10 часов;

  • Площадь криволинейной трапеции;

  • Формула Ньютона – Лейбница;

  • Применение интеграла;

2. Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс:

• Глава Х. Интеграл – 19 часов:

• Первообразная;

• Правила нахождения первообразных;

• Площадь криволинейной трапеции;

• Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов. Применение производной и интеграла к решению практических задач.

• Урок обобщения и систематизации знаний.

3. С.М. Никольский, М.К.Потапов, Н.Н Решетников, А.В.Шевкин. «Алгебра и начала анализа», 11 класс: Первообразная и интеграл.

• Понятие первообразной;

• Замена переменной, интегрирование по частям;

• Площадь криволинейной трапеции;

• Определенный интеграл;

• Приближенное вычисление определенного;

• Формула Ньютона – Лейбница;

• Свойства определенных интегралов;

• Применение определенных интегралов в геометрических и физических задачах;

• Понятие дифференциального уравнения;

• Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

4. А.Л.Вернер, А.П.Карп «Математика»,11 класс: