12. Иррациональные уравнения и неравенства. Способы их решения.

Добавит в конце: Последовательность изучения иррациональных уравнений и неравенств по их видам (анализ задачного материала)

Определения различных классов иррациональных уравнений и неравенств, которые приводятся в школьных учебниках, обычно имеют вид; Уравнение называется иррациональным, если оно содержит неизвестное под знаком корня или уравнение А(х)=В(х), в котором хотя бы одно из выражений А(х), В(х) иррационально, называется иррациональным. Несмотря на формальную расплывчатось, определения такого типа достаточны для того, чтобы указать некоторую область, уравнения или неравенства из которой решаются способами, изучаемыми при прохождении соответствующей темы. В каждом из таких классов можно указать подклассы простейших уравнений или неравенств, к которым и сводится решение более сложных заданий. Н-р, для иррациональных уравнений это уравнение вида .

Каждый простейший класс тесно связан с классом соответствующих функций; по существу формулу решений и исследование простейших уравнений и неравенств здесь опираются на свойства функций. Значительно чаще, чем в предшествующей части курса, в решении уравнений и неравенств используются неравносильные преобразовангия, широко используются подстановки. Поэтому весь материал требует в еще большей мере, чем изучение квадратных уравнений, достаточной логичесокй грамотности учащихся.

Специфика иррациональных уравнений. Здесь применяется характерное преобразование – “освобождение неизвестного из-под знака корня”, обычно состоящее в возведении обеих частей уравнения в одинаковую чтепень. Необходимо довести до понимания учащихся причины возможного появления при этом посторонних корней. Они появляются при возведении в четную степень, т.к. получаемое при этом уравнение – логическое следствие данного, но может быть и неравносильным ему. Н-р, уравнение =х-2 имеет один корень х=4, а уравнение х=(х-2)² имеет два корня х=1, х=4; первый из них является корнем уравнения=-(х-2).

Кроме того посторонние корни могут появиться при переходе к выражениям с большей областью определения. Н-р, область определения уравнения =состоит из чисел х≥, при возведении в квадрат обеих его частей получается уравнение, определнное при всех значениях х, и из двух его корней х₁=-2, х₂=10 только второй – корень исходного уравнения.

При решении таких уравнений возможны два пути. Первый состоит в переходе от уравнения к его следствию и проверке корней полученного уравнения подстановкой в исходное. Второй – использование равносильных преобразований, но при этом приходится переходить к системам, пр-р:

=g(x) <=>

также существует еще схема одного вида иррациональных уравнений:

=<=><= здесь можно проверять любое из неравенств любое из неравенств А(х)≥0 или В(х)≥0

При решении иррациональных неравенств, так же как и при решении иррациональных уравнений, большую роль играет определение ОДЗ, но особенно существенно предварительное изучение знаков двух частей неравенства. Т.к. при решении иррациональных неравенств, как неравенств вообще, проверка невозможна, то все преобразования должны быть равносильными.

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод сведения исходного неравенства к равносильной системе или к совокупности систем иррациональных неравенств.

1. <=>

2. <=>

3. <=>

4. <=>

При решении иррациональных уравнений (неравенств) полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень «уединить радикал» (метод уединения радикала). Или применить метод замены переменных и перейти к решению рационального уравнения (неравенства).

Последовательность изучения иррациональных уравнений:

1. =а; 2. =g(x); 3. +f(x)=a; 4. +=а. (3 и 4 вид решаются только в классах с углубленным изучением математики) Рассматриваются корни второй, третьей степени, четвертой степени, решаемые методом замены переменных.

Иррациональные неравенства рассматриваются видов: ;;;(3 и 4 вид решаются только в классах с углубленным изучением математики).

В учебнике М.И.Башмакова «Алгебра и начала анализа 10-11 кл» в § «Уравнения с одним неизвестным» в пункте: «Примеры решения уравнений» разобран подробно один пример решения иррационального уравнения (); в §: «Неравенства с одним неизвестным» в пункте: «Примеры решения неравенств» разобран подробно один пример (). Здесь нет отдельной темы.

В учебнике А.Н.Колмогрова и др. в главе: „Показательная и логарифмическая функции" представлены общие понятия степени, где дается определение иррациональных уравнений: «Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными» и подробно рассмотрены семь иррациональных уравнений, также в главе* «Задачи на повторение» в параграфе: «Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств» для иррациональных уравнений и неравенств отдельно выделены упражнения.

И, наконец, в учебнике С.М.Никольского и др. представлена глава с обширным материалом: «Уравнения. Неравенства. Системы», где в каждом восьми параграфе рассмотрены различные способы решения более сложных иррациональных уравнений и неравенств.

Рассмотрим количество практических задач по исследуемой теме:

Авторы учебников	Иррациональные уравнения	Задачи на повторение	Иррациональные неравенства	Задачи на повторение
А.Н. Колмогоров	55	16	8	8
	71		16
М.И.Башмаков	35	-	8	-
	35		8
С.М.Никольский	253	95	208	55
	348		263

По учебнику М.И.Башмакова ученик может самостоятельно работать с дополнительной литературой по теме „Иррациональные уравнения и неравенства". По, учебнику А.Н.Колмогорова и др. ученик может самостоятельно работать по теме „Иррациональные уравнения", так как в данном учебнике подробно рассматриваются примеры, а по теме „Иррациональные неравенства" ученику необходима дополнительная литература. Наконец, по учебнику СМ.Никольского и др. по теме „Иррациональные уравнения и неравенства" ученик может самостоятельно работать, так как эта тема наиболее подробно рассматривается.