16. Методика изучения уравнений и неравенств, содержащий знак абсолютной величины.

Нет решение методом интервалов. Рассматриваются ли уравнения и неравенства с двумя и более модулями.

Уравнения и неравенства, содержащие знак абсолютной величины в школьном курсе математики как отдельная тема не изучается. Впервые понятие модуля встречается в 6 классе, где дается определение модуля числа. Но в учебниках разных авторов даются в различных главах. В учебниках Г.В. Дорофеева модуль числа дается при сравнении рациональных чисел на примере: модуль числа -6,5 равен 6,5, модуль числа -4 равен 4.

Потом объяснение происхождения модуль и после этого вводится обозначение |а|.

В учебнике Н.Я. Виленкина дается при изучении положительных и отрицательных чисел как отдельный пункт «Модуль».

Понятие модуля числа вводится как расстояние от точки, изображающей это число, до начальной точки на координатной прямой.

Затем формулируется правило нахождения модуля числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным, ибо модуль числа – это расстояние, что модуль положительного числа и нуля он равен самому числу, а для противоположного – противоположному числу и противоположные числа имеют равные модули |-а|=|а|.

Далее понятие модуля встречается при решении уравнений и неравенств, начиная с 7 класса.

По учебнику Ю.Н. Макарычева, модуль встречается в дополнительных упражнениях в главе 7 «Графики», параграфа «функции и их графики».

Например: определите область определения у=10/(|х|-1)

А в 8 классе при решении неравенств с одной переменной и их системы.

В учебнике Никольского 8 класс рассматривают функцию у=|х| и ее график у= х, если х≥0

-х, если х≤0

В курсе девятилетней школы рассматриваются простейшие уравнения с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля. К ним относится уравнения вида |ах+в|=с.

При решении таких уравнений надо различить случаи:

1. с < 0,

2. с = 0,

3. с > 0.

Если с < 0, то уравнение |ах+в|=с не имеет корней.

Если с = 0, то уравнение |ах+в|=с равносильно уравнению ах+в=0.

Если с > 0, то уравнение |ах+в|=с равносильно ах+в= -с или ах+в=с.

Кроме указанного вида уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, учащиеся 8 класса встречается еще с уравнениями вида |ах+в|= ах+в или вида |ах+в|= -(ах+в). К таким уравнениям сводится, например, уравнения √ х²=х, √х²-4х+4=2-х.

Так как равенство |m|=m верно тогда и только тогда, когда m≥0,

а равенство |m|=-m верно тогда и только тогда, когда m ≤ 0,

то уравнение |ах+в|= ах+в равносильно неравенству ах+в≥0,

а уравнение |ах+в| = -(ах+в) равносильно неравенству ах+в≤0.

Из неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, в курсе девятилетней школы рассматриваются только неравенства вида |ах+в|>в и |ах+в|<в.

В качестве дополнительных заданий даются более сложные задания, например, двойное неравенство к<|ах+в|< m. Это двойное неравенство можно записать в виде системы |ах+в| > к

|ах+в|< m и, решив каждое из неравенств системы, найти пересечение множеств их решений с помощью координатной прямой.

Способы решений неравенств:

1. Решение связывается с понятием расстояния между точками координатной прямой.

2. Исходя из определения модуля.

3. Наглядно – графический прием.

4. В других случаях бывает полезно сначала установить, в каких точках обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, внутри которых выражения сохраняют постоянный знак (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачу к решению нескольких уравнений — по одному на каждом промежутке. Этот метод называется методом интервалов.