22. Методика изучения логарифмических уравнений и неравенств.

I.Цель изучения темы- это научить решать логарифмические уравнения и неравенства

II. В каких классах и сколько часов изучается. В школьном курсе алгебры и начала анализа, понятие логарифма вводится по учебнику Алимова ( 14 часов) и Никольского (13 часов). А по учебнику Виленкина (40 часов), Колмогорова (18 часов), Мордковича и Башмакова (20 часов) в 11 классе изучается.

III. Характеристика содержания учебного материала. По учебнику Колмогорова определение логарифмического уравнения и неравенства не дается, рассматриваются 7 примеров на простейшие логарифмические уравнения и неравенства. По учебнику Мордковича не дается простейшие логарифмические уравнения и неравенства.

1. Характеристика теоретического материала.

Определение. Простейшим логарифмическим уравнениям (т.е. уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является loqa=b, где а>0, a≠1. Так как равенство равносильно равенству х=а^b, то получаем: если а>0, a≠1, то корень уравнения loqaх=b равен а^b.

В силу монотонности логарифмической функции решение логарифмических неравенств вида loqaх<b ( а также loqaх>b, loqaх≤b, loqaх≥b) сводится к решению уравнения loqaх=b. Корнем этого уравнения является число х=а^b. Если а>1, то функция loqaх возрастает, и потому при х> а^b имеем loqaх>b, а при 0<x< а^b имеем loqaх<b. Мы доказали следующее утверждение: Если а>1, то решением неравенства loqaх>b является открытый луч (а^b; +∞), а неравенства loqaх<b- интервал (0; а^b).При 0<а<1 функция loqaх убывает, и потому верно следующее утверждение: Если 0<а<1, то решением неравенства loqaх>b является интервал (0; а^b), а неравенства loqaх<b- открытый луч (а^b; +∞).

Теорема1. уравнение loqa f(х)= loqa g(х), где а>0, a≠1 равносильно системе

f(х)= g(х)

f(х)>0

g(х)>0

состоящей из уравнения и неравенств.

Замечание. В этой системе можно опустить одно из неравенств, т.к. каждое из них вытекает из уравнения и другого неравенства. Т.о., для решения уравнения loqa f(х)= loqa g(х) при а>0, a≠1:

1. решить уравнение f(х)= g(х)

2. из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f(х)>0 (или, что то же самое, неравенству g(х)>0; Обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они является для данного уравнения посторонними.

Теорема 2. Если а>1, то неравенство loqa f(х)> loqa g(х) равносильно двойному неравенству:

f(x) > g(x) > 0.

Если 0 < a < 1, то неравенство loqa f(х)> loqa g(х) равносильно двойному неравенству 0 < f(x) < g(x).

Логарифмическое уравнение вида f(logax)=0 решаются с помощью подстановки

logax=t.

Она приводит уравнение к виду f(t)=0. Если t1,…,tn – корни полученного уравнения, то корнями заданного уравнения являются числа a^t1,…, a^tn.

Неравенства вида f(logax)>0.

Сделаем подстановку logax=t. Тогда неравенство примет вид: f(t)>0.

Решая это неравенство, получаем конечное или бесконечное множество интервалов вида (dk; ck). Для каждого из них имеем: dk < logax < ck. Если а>1,

То отсюда следует, что a^dk < x < a^ck, если 0<a<1, то a^ ck<x<a^ dk . Решение является объединением найденных интервалов.

Три основных метода решения логарифмических уравнений и неравенств:

1) Функционально-графический метод. Он основан на использования графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

2) Метод потенцирования. Он основан на теореме 1.

3) Метод введения новой переменной.

По учебнику Колмогорова лог. ур-я и нер-ва решаются с опорой на изученные свойств функций. По учебнику Алимова решения лог. ур-й и неравенств продолжается формирования понятий равносильности и следствия. Хотя в ряде случаев уравнения решается, а затем выполняется проверка. По учебнику Виленкина и Мордковича лог.ур-я, нер-ва решаются по основным видам и методам решения.

2. Характеристика задачного материала.

В учебнике Колмогорова по данной теме есть 19 задач. Из них 10 задач – обязательные. А остальные 9 задач чуть по сложнее. В конце главы есть задачи на повторения- 9 упражнений.

В учебнике Алимова есть 41 задач. Из них 7 задач- обязательные, 6 задач- трудные, 5 сложных задач. Дополнительные упражнения-13.

В учебнике Башмакова есть 6 задач. Из них 3 варианта контрольных задач.

В учебнике Виленкина есть 4 задач. Из них 2 задачи на простейшие лог.ур-я и нер-ва

В учебнике Мордковича есть 33. Из них упражнении средней трудности-29. Нет задачи повышенной трудности.

В какой последовательности (по видам) решаются уравнения и неравенства? Это должно следовать из анализа теоретического и задачного материала.